第一章 二次函数 综合练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年浙教版数学九年级上册第一章二次函数综合练习卷，浙江地区单元复习适用，覆盖二次函数定义、性质、图像及应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|二次函数定义（1）、图像平移（3）、性质应用（8）|结合气温与高度关系（5），考查函数类型判断，体现数学眼光| |填空题|6|二次项系数（11）、增减性（13）、函数关系（16）|矩形周长面积问题（16），区分一次与二次函数，培养推理意识| |解答题|8|解析式确定（20）、实际应用（23）、动点综合（24）|养殖场面积最值（23）、对称轴动点周长最小（24），发展模型意识与创新意识|

2026-2027学年浙教版数学九年级上册 第一章二次函数综合练习卷（浙江地区适用） 一、选择题 1.下列函数关系中，是二次函数的是（　　）。 A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键。根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可。 【详解】解：A．关系式为：，故A错误； B．关系式为：，故B错误； C．关系式为：，故C错误； D．关系式为：，故D正确； 故选：D。 2.二次函数有最小值，则m等于（ 　）。 A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的最值公式列式计算即可得解。 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， 故选：A。 3.将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（      ）。 A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到。 4.若是关于的二次函数，则的值为（     ）。 A．2 B．-4 C．2或-4 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数。其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式。 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可。 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解方程得或， 又∵， ∴， ∴， 故选 ：A。 5.已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（     ）。 A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可。 【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D。 6.函数与y=-kx²+k（k≠0）在同一坐标系的图象是（　　）。 A．   B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，分类讨论：当时，则，当时，则，得出反比例函数的图象及二次函数的图象，进而可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键。 【详解】解：当时，则， 反比例函数图象经过一、三象限，二次函数开口向下，且与y轴交于正半轴， 当时，则，反比例函数图象经过二、四象限，二次函数开口向上，且与y轴交于负半轴， 则满足条件的图象为： 故选B。 7.已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（       ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可。 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为。 8.若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（      ）。 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况。 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点。 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方， 抛物线与轴无交点， 方程无实数根， 故选：C。 9.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（      ）。 A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答。 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是， 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1； ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1。 10.已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于、两点。给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为。 其中，所有正确结论的个数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④。 【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ∠CEP=∠BDP=90°， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D。 二、填空题 11.二次函数的二次项系数是______。 【答案】 【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答。 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：。 12.函数为开口向下的抛物线，则__________。 【答案】 【分析】根据抛物线的定义和开口向下即可得到，由此进行求解即可。 【详解】解：∵函数为开口向下的抛物线， ∴， ∴， ∴解得或（舍去），故答案为：-4。 13.已知二次函数，当_______（填写x的取值范围）时，函数值y随着自变量x的增大而增大。 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先化为顶点式，再求出二次函数图象的开口方向和对称轴方程，再根据二次函数的增减性求解即可。 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而增大， 故答案为：。 14.若二次函数的图象上有点，则_______（填“”“”或“”）。 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性比较函数值的大小即可。 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称， ， 故答案为：。 15.如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________。 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围。 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为、， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为。 16.如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为。 （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数。 【答案】（1） 一次 （2） 反比例 （3） 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键。 （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案。 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次； （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例； （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数， 故答案为：，二次。 三、解答题 17.下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）。 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数； 结论：（2），（3）是二次函数。 18.二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程有且只有一个实数根，写出的值。 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可。 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根。 19.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大。 （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大。可得出函数解析式，再描点画图即可； （2）当时，，当时，，当时，n取最大值，，并结合函数图象求出n的取值范围。 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示： （2）解：点是此二次函数的图象上一点，， 当时，， 当时，， 当时，n取最大值，， ∴当时，。 20.已知抛物线交轴于点和（点在点左侧），交轴于点。 （1）求出三点的坐标； （2）这条抛物线有最高点还是最低点？并求出这一点的坐标。 【答案】（1），， （2）有最低点， 【分析】本题主要考查抛物线的相关性质，掌握抛物与坐标轴交点的求法及在对称轴上取得最值是解题的关键。 （1）令，可得与轴的交点和坐标，令可得与轴的交点的坐标； （2）根据抛物线开口方向可判断抛物线有最小值，再利用抛物线在对称轴上取得最值即可求解。 【详解】（1）令，则，解得， ， 令，则， ， 故，，； （2）， 这条抛物线有最低点， 当的最小值是， 这条抛物线最低点的坐标是。 21.解一元二次不等式：。 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和。画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：或。 （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 。（只填序号） ①转化思想     ②分类讨论思想    ③数形结合思想 （2）一元二次不等式的解集为多少？ （3）用类似的方法解一元二次不等式：。 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【分析】（1）根据题意容易得出结论； （2）由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即，即可得出结果； （3）设，解方程得出抛物线与x轴的交点坐标，画出二次函数的大致图象，由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，即可得出结果。 【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③； （2）解：由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：； （3）解：设， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； 画出二次函数的大致图象（如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：或。 22.将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位。 （1）用配方法将写成的形式； （2）求平移后的解析式； （3）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； （4）对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】（1） （2） （3）对称轴为直线，与轴交点坐标为 （4）当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围。 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小。 23.如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入。已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米。 （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】（1） （2）23米 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键。 （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可。 【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米。 24.如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点。 （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小。 【答案】（1） （2）当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解。 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学九年级上册 第一章二次函数综合练习卷（浙江地区适用） 一、选择题 1.下列函数关系中，是二次函数的是（　　）。 A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 2.二次函数有最小值，则m等于（ 　）。 A．1 B． C． D． 3.将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（      ）。 A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 4.若是关于的二次函数，则的值为（     ）。 A．2 B．-4 C．2或-4 D．0 5.已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（     ）。 A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 6.函数与y=-kx²+k（k≠0）在同一坐标系的图象是（　　）。 A．   B．  C．   D．   7.已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（       ）。 A． B． C． D． 8.若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（      ）。 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 9.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（      ）。 A．5 B．4 C．2 D．1 10.已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于、两点。给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为。 其中，所有正确结论的个数是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 11.二次函数的二次项系数是______。 12.函数为开口向下的抛物线，则__________。 13.已知二次函数，当_______（填写x的取值范围）时，函数值y随着自变量x的增大而增大。 14.若二次函数的图象上有点，则_______（填“”“”或“”）。 15.如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________。 16.如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为。 （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数。 三、解答题 17.下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）。 18.二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程有且只有一个实数根，写出的值。 19.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大。 （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围。 20.已知抛物线交轴于点和（点在点左侧），交轴于点。 （1）求出三点的坐标； （2）这条抛物线有最高点还是最低点？并求出这一点的坐标。 21.解一元二次不等式：。 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和。画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：或。 （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 。（只填序号） ①转化思想     ②分类讨论思想    ③数形结合思想 （2）一元二次不等式的解集为多少？ （3）用类似的方法解一元二次不等式：。 22.将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位。 （1）用配方法将写成的形式； （2）求平移后的解析式； （3）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； （4）对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 23.如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入。已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米。 （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 24.如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点。 （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $