第25章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 2024新版九年级数学上册一元二次方程单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合杨辉数学文化、长征文创等情境，适配单元复习，培养运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|定义、解法、根的判别式|第6题杨辉田亩问题渗透文化传承| |填空|5|开放题、增长率、倍根方程|第15题“倍根方程”概念辨析提升推理能力| |解答|8|实际应用、创新探究|第21题矩形面积问题培养模型意识，23题“和美数”融合配方法发展创新思维|

第25章 一元二次方程2026-2027学年人教（2024新版）版九年级数学上册单元测试卷 一、选择题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．把方程 化成 的形式，其中m，n为实数，则n的值是 （　　） A．1 B．5 C．16 D．17 4． 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若关于 x的一元二次方程 x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围为(　　) A．k≥1 B．k>1 C．k≤1 D．k<1 6．杨辉与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”.他所著《田亩比类乘除捷法》提出的这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步).问阔及长各几步.”若设阔为x步，则可列方程为(　　) A．x(x+6)=864 B．x(x-6)=864 C．x(x+12)=864 D．x(x-12)=864 7．小明准备完成题目：解一元二次方程x2-4x+□=0.若“□”表示一个数字，且方程x2-4x+□=0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．若方程的两个根是和，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 9．某厂家2025年1~5月份销售的电车数量如图所示.若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 10．嘉嘉在解关于 x的一元二次方程 时，不小心将一次项系数写成了-b，解出其中一个根是 x=1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是-1； 乙：当 a≠3时，原方程有两个不相等的实数根. 则下列判断正确的是(　　) A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 二、填空题 11．请写出一个关于x的一元二次方程；并且方程有两个相等的实数根．则这个一元二次方程可以是　 　． 12．已知代数式 与代数式 的值互为相反数，则 的值为　 　. 13．某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为 500 元，连续两次降价，最终售价为 320 元，则平均每次降价的百分率m的值为　 　. 14．已知一元二次方程有两个实数根，点在第 　 　象限． 15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．给出以下关于“倍根方程”的说法：①方程是“倍根方程”；②若关于x的方程是“倍根方程”，则；③若p，q满足，则关于x的方程是“倍根方程”；④若关于x的方程是“倍根方程”，则必有其中说法正确的是　 　填序号 三、解答题 16．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 17．解方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 18．已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 19．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品.已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示. （1）求y与x的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元. 20．某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片。2023年底，每颗甲种芯片的售价为2000元，每颗乙种芯片的售价为 1800元。随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到 2025年底，每颗甲种芯片的售价为 1620元，每颗乙种芯片的售价为 1300元。 （1）求2023年底至 2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率。 （2） 2025年底，某芯片使用企业计划用不超过 14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片? 21．如图，为了节约材料，利用一面墙(墙长20米)用总长度43米的篱笆围成一个矩形鸡舍ABCD，中间用篱笆隔开，且留两个1米宽的小门，设篱笆BC 长为x 米. （1）用含x 的代数式表示AB 的长； （2）若矩形鸡舍ABCD 的面积为150平方米，求篱笆BC 的长； （3）矩形鸡舍ABCD 的面积是否有可能达到210平方米?若有可能，求出相应x的值；若不可能，请说明理由. 22．某书店推出一套珍藏版书籍，每套进价为50元，原售价为100元/套． 普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套，已知当售价为100元时，日均销量为40套，会员规则： 银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠 金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠 （1）在普通顾客销售模式中，设售价降低x元（，且x为整数）用含x的代数式表示： 实际售价______；日均销量______． （2）在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价． （3）某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？ 23．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一. 我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“和美数”.例如，10是“和美数”.理由：因为 再如， (x，y是整数)，所以M 也是“和美数”.解决问题： （1）请你再写一个小于10的“和美数”：　 　；并判断40是否为“和美数”：　 　； （2）若二次三项式 (x是整数)是“和美数”，可配方成( (m，n为常数)，则mn的值为　 　； （3）探究问题： 已知“和美数’ (x，y是整数)的值为0，则x+y的值为　 　； （4）已知 (x，y是整数，k是常数)，要使 S 为“和美数”，试求出符合条件的k值. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】x1= ，x2=-3 13．【答案】20% 14．【答案】四 15．【答案】②③④ 16．【答案】解： 化成一般形式为： 二次项系数为3，一次项系数为--5，常数项为1. (2)(x+2)(x-1)=6化成一般形式为： 二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-8. 化成一般形式为： 二次项系数为-7，一次项系数为0，常数项为4. 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3 1 1 0 4 17．【答案】（1）解：∵， ∴， 解得，，； （2）解：移项：， 整理得：， ∴， ∴， 解得，． （3）解：因式分解得，， 或， 解得，； （4）解：提公因式得， ， ∴． 或， 解得，． 18．【答案】（1）证明： ， ∵， ∴方程总有实数根； （2）解：∵，， ∴ ． 19．【答案】（1）解：设 与的函数表达式为 ， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 20．【答案】（1）解：设2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为x， 根据题意得： 2000(1-x)2=1620， 2分 解得： x1=0.1=10%， x2=1.9(不符合题意，舍去)， 答：2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为10% （2）设购进m万颗甲种芯片，则购进(100-m)万颗乙种芯片， 根据题意得： 1620m+1300(100-m)≤142800， 解得： m≤40， 答：最多购进40万颗甲种芯片 21．【答案】（1）设篱笆BC长为x米， ∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门， ∴AB＝43＋2－3x＝（45－3x）米 （2）依题意，得（45－3x）x＝150， 整理，得x2－15x＋50＝0，解得x1＝5，x2＝10. 当x＝5时，AB＝45－3x＝30＞20，不合题意，舍去； 当x＝10时，AB＝45－3x＝15，符合题意. 答：篱笆BC的长为10米 （3）不可能，理由如下： 依题意，得（45－3x）x＝210， 整理得x2－15x＋70＝0， ∵Δ＝（－15）2－4×1×70＝－55＜0， ∴方程没有实数根， ∴矩形鸡舍ABCD的面积不可能达到210平方米. 22．【答案】（1）元；套 （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵尽可能让利于顾客， ∴， ∴， 答：此时的售价为68元； （3）解：设售价降低元， 由（1）得普通顾客的销售量为套， ∴银卡会员和金卡会员的销售量均为套， 由题意得 整理得， 解得或， ∵为非负整数， ∴， ∴， 答：当日普通顾客售价为80元． 23．【答案】（1）4；是 （2）2 （3）-1 （4）解：S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k＝（x＋2）2＋（2y－3）2＋k－13， 由题意得k－13＝0， ∴k＝13. 1 学科网（北京）股份有限公司 $