广东中山市秋季纪雅学校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测试题

**基本信息** 2026-2027学年中山纪雅学校初三数学开学考，聚焦二次函数、几何综合与统计应用，融入新能源遮阳棚等真实情境，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、一元二次方程、统计量、函数图像|视力统计考中位数（数据意识），一次函数图像解不等式（几何直观）| |填空题|5/15|绝对值化简、矩形折叠、应用题方程、网格几何|劳动基地篱笆问题（模型意识），正方形综合证AH=DF（推理能力）| |解答题|7/85|解方程、函数表达式、统计分析、几何动态、二次函数应用|遮阳棚抛物线求解析式及钢架最值（应用意识），动态四边形EGFH判定（空间观念）|

2026-2027学年广东省中山市秋季纪雅学校初三数学开学考 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．二次根式有意义的条件是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 3．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k＜2且k≠1 C．k≤2且k≠1 D．k≥2且k≠1 4．如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（　　） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，上四分位数 B．中位数，下四分位数 C．众数，上四分位数 D．众数，下四分位数 5．如图，一次函数y＝kx+b的图象过点（2，﹣1），则关于x的不等式kx+b＜﹣1的解集为（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 6．已知二次函数y＝ax2+6ax+b（a、b为常数，a≠0），若其图象上有两点A（m﹣1，n），B（m+1，n），则m的值为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．3 D．﹣3 7．如图，在矩形ABCD中分别以B，D为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与AD，BC相交于点E和点F．若AB＝2，AD＝4，则EO的长为（　　） A． B． C．1 D． 8．设x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则x13﹣5x22+10＝（　　） A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣9 9．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11．若1≤x≤4，则：|1﹣x|化简的结果为 　 　 ． 12．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于　 　 °． ( 第5题图 第7题图 第9题图 第10题图 第12题图 ) 13．为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为620m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设垂直于墙的长方形边长为x（m），则根据题意，可列方程　 　 ． 14．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　 　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH＝DF； ②∠AEF＝45°； ③AH＝DE；④S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有　 　 ．（填正确的序号） ( 第13题图 第14题图 第15题图 ) 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共计24分 16．解方程：（1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 17．已知y﹣3与x+2成正比例，当x＝1时，． （1）求y与x的函数表达式； （2）若点（3，m）在（1）中的函数图象上，请求出m的值 18．如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC． （1）尺规作图：在AE上作点D，连接BD，使得BD平分∠ABC． ( 第18题图 )（保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共计27分 19．某电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 20.为了调查八年级学生课余时间体育锻炼情况，某校在八年级350名学生中随机抽取了男生、女生各18名，收集他们课余体育锻炼时间得到了以下数据：（单位：分钟） 女生：28，31，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，10，61，69，91，99，105． 分析数据：两组数据的平均数、四分位数和众数如表所示： 整理数据：制作了如下统计图： (1)请将上面的表格补充完整：________，________．男生课余体育锻炼的时间落在这一组的人数是_________人． (2)请补全女生直方图和男生箱线图． (3)若该校学生为男生，根据调查的数据，估计八年级课余体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的约有多少人？ (4)体育老师分析表格数据和箱线图后，认为八年级的男生课余时间体育锻炼做得比女生好，请你结合统计数据，写出同意体育老师观点的理由． 21．【代数推理】 若代数式x2+bx+c（其中a，b为常数）能分解因式：x2+bx+c＝（x﹣x1）（x﹣x2），则一元二次方程x2+bx+c＝0即（x﹣x1）（x﹣x2）＝0必有两根x1，x2．反过来，若一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则代数式x2+bx+c也一定能分解为（x﹣x1）（x﹣x2）． 例如：解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0，得其两根为：x1＝1， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： （1）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为x1＝5，x2＝﹣2，则代数式x2+mx+n分解因式后等于　　 ； （2）用求根法将代数式x2﹣6x+3分解因式； （3）若代数式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则a的值为　　 ． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共计24分 22．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　 　 ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 23．【综合与实践】近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在棚顶上某处取点C，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD．求出第二段钢架CD长度的最大值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．二次根式有意义的条件是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴2x+1≥0， ∴， 故选：C． 2．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 【解答】解：A、x2﹣5x＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、3x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k＜2且k≠1 C．k≤2且k≠1 D．k≥2且k≠1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0且k﹣1≠0， ∵Δ＝22﹣4（k﹣1）×1＝8﹣4k≥0， 解得k≤2， 综上，k的取值范围是k≤2且k≠1． 故选：C． 4．如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（　　） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，上四分位数 B．中位数，下四分位数 C．众数，上四分位数 D．众数，下四分位数 【解答】解：根据表格数据，可得视力为4.8和4．的总人数为：40﹣9﹣15﹣2＝14（人）， 视力为5.0所占人数最多为15，即众数为5.0， 上四分位数为5.0， 故选：C． 5．如图，一次函数y＝kx+b的图象过点（2，﹣1），则关于x的不等式kx+b＜﹣1的解集为（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【解答】解：由函数图象可知， 当x＞2时，一次函数y＝kx+b的图象在直线y＝﹣1的下方，即kx+b＜﹣1， 所以不等式kx+b＜﹣1的解集为x＞2． 故选：B． 6．已知二次函数y＝ax2+6ax+b（a、b为常数，a≠0），若其图象上有两点A（m﹣1，n），B（m+1，n），则m的值为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．3 D．﹣3 【解答】解：二次函数的对称轴为直线 ， 由条件可知点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴m＝﹣3． 故选：D． 7．如图，在矩形ABCD中分别以B，D为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与AD，BC相交于点E和点F．若AB＝2，AD＝4，则EO的长为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，∠A＝90°， ∵AD＝4，AB＝2， ∴，， 由作图可得：EF是BD的垂直平分线， ∴∠BOE＝∠DOE＝90°，BE＝DE， 设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x， ∴22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x＝2.5， ∴BE＝DE＝2.5， ∴， 故选：A． 8．设x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则x13﹣5x22+10＝（　　） A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣9 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根， ∴x12＝4﹣x1，x22＝4﹣x2，x1+x2＝﹣1， ∴x13﹣5x22+10＝x1（4﹣x1）﹣5（4﹣x2）+10， ＝4x1（4﹣x1）﹣20+5x2+10， ＝4x1﹣4+x1﹣20+5x2+10， ＝5（x1+x2）﹣24+10， ＝﹣5﹣14， ＝﹣19． 故选：B． 9．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【解答】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO； ∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°， ∴∠AOE＝∠DOF； 在△AOE与△DOF中， ， ∴△AOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF（设为λ）； ∴△EOF是等腰直角三角形， 由勾股定理得： EF2＝OE2+OF2＝2λ2； ∴EFOEλ， ∵正方形ABCD的边长是4， ∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度）， 由题意可得：2≤λ≤2， ∴2EF≤4． 所以线段EF的最小值为2． 故选：D． 10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵x1， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．若1≤x≤4，则：|1﹣x|化简的结果为 　2x﹣5　 ． 【解答】解：∵1≤x≤4， ∴|1﹣x| ＝|1﹣x|﹣|x﹣4| ＝x﹣1﹣（4﹣x） ＝x﹣1﹣4+x ＝2x﹣5； 故答案为：2x﹣5． 12．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于　56　 °． 【解答】解：∵矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合， ∴∠CFP＝∠GFP，HE∥GF ∴∠CFG＝2∠GFP＝124°， ∴∠HFG＝180°﹣∠CFG＝56°， ∴∠EHF＝∠HFG＝56°． 故答案为56． 13．为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为620m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设垂直于墙的长方形边长为x（m），则根据题意，可列方程x（82﹣2x）＝620　 ． 【解答】解：设靠墙的长方形边长为x（m）， 根据题意得x（82﹣2x）＝620， 故答案为：x（82﹣2x）＝620． 14．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　45°　 ． 【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F， 由题意得： AB2＝12+32＝10， AE2＝12+22＝5， EB2＝12+22＝5， ∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAE＝45°， ∵BD∥EC， ∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC， ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴∠AFD＝∠ADF， ∵∠AFD是△ABF的一个外角， ∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°， ∴∠ADB﹣∠ABD＝45°， 故答案为：45°． 15．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH＝DF； ②∠AEF＝45°； ③AH＝DE；④S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有　①②③　 ．（填正确的序号） 【解答】解：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC， ∵BE＝BC， ∴AB＝BE， ∵BG⊥AE， ∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°， 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°， ∵∠AGH＝90°， ∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°， ∴∠ABH＝∠DCF， 在Rt△ABH和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABH≌Rt△DCF（ASA）， ∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°， ∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF， ∴67.5°＝22.5°+∠AEF， ∴∠AEF＝45°，故①②正确； ∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°， ∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴DF＝DE， ∵AH＝DF， ∴AH＝DE，故③正确； 如图，连接HE， ∵BH是AE垂直平分线， ∴AG＝EG， ∴S△AGH＝S△HEG， ∵AH＝HE， ∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°， ∴∠DHE＝45°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°， ∴EH＝ED， ∴△DEH是等腰直角三角形， ∵EF不垂直DH， ∴FH≠FD， ∴S△EFH≠S△EFD， ∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误， ∴正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三．解答题（共7小题） 16．解方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， x+1＝±， x11，x21； （2）3x（2x+1）＝4x+2， 3x（2x+1）＝2（2x+1）， 3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （3x﹣2）（2x+1）＝0， 3x﹣2＝0或2x+1＝0， x1，x2． 17．已知y﹣3与x+2成正比例，当x＝1时，． （1）求y与x的函数表达式； （2）若点（3，m）在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【解答】解：（1）由题意，∵y﹣3与x+2成正比例， ∴设y﹣3＝k（x+2）， ∵当x＝1时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）由题意，∵点（3，m）在函数的图象上， ∴，即m． 18．如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC． （1）尺规作图：在AE上作点D，连接BD，使得BD平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 【解答】（1）解：如图，点D即为所求； （2）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AE∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 19．某电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【解答】解：（1）设每台B型空气净化器的进价为x元，则每台A型净化器的进价为（x+300）元， 根据题意得：， 解得：x＝1200， 经检验，x＝1200是原方程的根， ∴x+300＝1500． 答：每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元． （2）设B型空气净化器的售价为x元， 根据题意得：（x﹣1200）（4）＝3200， 整理得：（x﹣1600）2＝0， 解得：x1＝x2＝1600． 答：电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元． 20.为了调查八年级学生课余时间体育锻炼情况，某校在八年级350名学生中随机抽取了男生、女生各18名，收集他们课余体育锻炼时间得到了以下数据：（单位：分钟） 女生：28，31，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，10，61，69，91，99，105． 整理数据：制作了如下统计图： 分析数据：两组数据的平均数、四分位数和众数如表所示： 平均数 众数 女生 67 80 男生 55 88 69 (1)请将上面的表格补充完整：________，________．男生课余体育锻炼的时间落在这一组的人数是_________人． (2)请补全女生直方图和男生箱线图． (3)若该校学生为男生，根据调查的数据，估计八年级课余体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的约有多少人？ (4)体育老师分析表格数据和箱线图后，认为八年级的男生课余时间体育锻炼做得比女生好，请你结合统计数据，写出同意体育老师观点的理由． 【解答】（1）解：把女生的体育锻炼的时间从小到大排列为：10，28，31，32，39，46， 57， 61，66，68，69，70，70，80，91，95，99，105． 方法一：取前面个数的中位数， ∴， 方法二： ∵， ∴第个数为， ∴， ∵70出现的次数最多， ∴； 男生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是人； （2）解：女生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是人， 补全图形略． （3）解：（人） 答：估计八年级课余体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的约有66人． （4）言之合理即可 21．【代数推理】 若代数式x2+bx+c（其中a，b为常数）能分解因式：x2+bx+c＝（x﹣x1）（x﹣x2），则一元二次方程x2+bx+c＝0即（x﹣x1）（x﹣x2）＝0必有两根x1，x2．反过来，若一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则代数式x2+bx+c也一定能分解为（x﹣x1）（x﹣x2）． 例如：解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0，得其两根为：x1＝1， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： （1）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为x1＝5，x2＝﹣2，则代数式x2+mx+n分解因式后等于　　 ； （2）用求根法将代数式x2﹣6x+3分解因式； （3）若代数式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则a的值为　　 ． 【解答】解：（1）∵x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为x1＝5，x2＝﹣2， ∴x2+mx+n＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x﹣5）（x+2） 故答案为：（x﹣5）（x+2）； （2）利用公式法求出x2﹣6x+3＝0的根， x， a＝1，b＝﹣6，c＝3， ∴x3±， x1＝3，x2＝3， ∴x2﹣6x+3＝（x﹣3）（x﹣3）； （3）x2﹣ax+2a﹣3＝（x+b）2， 则x2﹣ax+2a﹣3＝x2+2bx+b2， ﹣a＝2b，2a﹣3＝b2 解得b＝﹣1，b＝﹣3， ∴a＝2，或a＝6． 22．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　四边形EGFH是平行四边形　 ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 【解答】解：（1）∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下： 由题意得：AE＝CF＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵G，H分别是AD，BC中点， ∴AGAD，CHBC， ∴AG＝CH， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH， ∴∠FEG＝∠EFH， ∴EG∥HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； 故答案为：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图1，连接GH， 由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴GH＝AB＝6， ①如图1，当四边形EGFH是矩形时， ∴EF＝GH＝6， ∵AE＝CF＝t， ∴EF＝10﹣2t＝6， ∴t＝2； ②如图2，当四边形EGFH是矩形时， ∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t， ∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6， ∴t＝8； 综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8； （3）如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O， ∵四边形EGFH为菱形， ∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF， ∴OA＝OC，AG＝AH， ∴四边形AGCH为菱形， ∴AG＝CG， 设AG＝CG＝x，则DG＝8﹣x， 由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2， 即：62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴MG4，即t， ∴当t时，四边形EGFH为菱形． 23．近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在棚顶上某处取点C，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD．求出第二段钢架CD长度的最大值． 【解答】（1）由题可得：抛物线的顶点B的坐标为（6，4）． 设y与x的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（0≤x≤6）， ∴抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+4． ∵点A的坐标为（0，2）， ∴将点A代入函数解析式中，得2＝a（0﹣6）2+4，解得a． ∴抛物线的函数解析式为y（x﹣6）2+4（0≤x≤6）； （2）根据题意：设点P的坐标为（x，2.5）， 将y＝2.5代入y（x﹣6）2+4中， 得：2.5（x﹣6）2+4， 解得：x1＝6+3（舍去），x2＝6﹣3． ∴6﹣35＜6， ∴车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． （3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+2（k≠0）． 将点A（6，4）代入y＝kx+2中， 得k， ∴yx+2． ∵抛物线的一般式为yx2， ∴设点C的坐标为（x，）． ∵CD∥y轴，点D在AB上，点D的横坐标为x， ∴D（x，）， ∴CDx， ∴当x＝3时，CD取最大值，最大值为． ∴钢架CD长度的最大值是米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/24 16:17:01；用户：鲍美臻；邮箱：18022102971；学号：21460356 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $