第四章 指数函数和对数函数单元检测卷-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数单元核心，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合定义、性质、运算及实际应用（如病毒复制问题），考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|定义域、单调性、图像识别|基础概念辨析，如第4题指数函数图像与底数关系| |多选题|3/18|奇偶性、复合函数单调性|多维度性质判断，如第9题函数奇偶性与零点分析| |填空题|3/15|定点问题、实际应用|数学建模，如第13题病毒内存复制的指数增长模型| |解答题|5/77|反函数、对数运算、函数性质综合|逻辑推理与综合应用，如第15题反函数求解与不等式结合，第19题奇偶性证明|

指数函数和对数函数单元测试 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.若x＜3，则（　　） A．3﹣x B．3+x C．﹣3﹣x D．x﹣3 解：∵x＜3，∴3﹣x．故选：A． 2.已知，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 解：根据题意，设f（x）＝2x，则f（x）在（0，+∞）单调递增，所以a＝f（0.4）＜b＝f（0.6），设g（x）＝x0.6，则g（x）在（0，+∞）单调递增，所以， 因为a＞20＝1，，所以a＞c，综合可得：c＜a＜b．故选：B． 3.下列函数中定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 解：A：x＞0，f（x）＞1，不符合题意；B：x＞0，函数的值域为R，不符合题意； C：由2x﹣1≥0得x≥0，定义域[0，+∞）函数的值域[0，+∞），定义域与值域一致，符合题意； D：由题意得，解得x≥1，即定义域[1，+∞），函数的值域[0，+∞），不符合题意． 故选：C． 4.函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四 个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解：直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，由， 故选：C． 5.若log2m+log4n＝2，则m2n＝（　　） A．3 B．4 C．9 D．16 解：因为log2m+log4n＝2，所以， 故得，化简得， 所以，故m2n＝16，故D正确．故选：D． 6.函数y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）与函数y＝x2﹣2ax+1在同一直角坐标系中的图象大 致是（　　） A． B． C． D． 解：函数y＝x2﹣2ax+1的对称轴为x＝a，且恒过定点（0，1），观察选项可知，选项C可能符合，若选C，则由图象可知，此时0＜a＜1，函数y＝loga（x+1）单调递减，且恒过定点（0，0），符合题意．故选：C． 7.函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 解：令t＝﹣x2+x+2，则该函数的减区间为（，+∞），函数y是定义域内的减函数， 由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是（，+∞），故选：C． 8.设a＝log20242023，b＝log20232022，c＝log0.20240.2023，则（　　） A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c 解：由对数函数的性质知c＝log0.20240.2023＞log0.20240.2024＝1， 0＝log20241＜log20242023＜log20242024＝1，0＝log20231＜log20232022＜log20232023＝1， 所以c＞1，0＜a＜1，0＜b＜1，当n＞2时，ln（n+1）＞lnn＞ln（n﹣1）＞0， 所以 ，取n＝2023，则lg2022•lg2024﹣（lg2023）2＜0， 所以，即b＜a，综上，b＜a＜c．故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）已知函数f(x)＝ax－，其中a>0且a≠1，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)是奇函数 B．函数f(x)在其定义域上有零点 C．函数f(x)的图象过定点(0,1) D．当a>1时，函数f(x)在其定义域上为增函数 解：f(x)＝ax－＝ax－a－x，定义域为R，f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，∴f(x)为奇函数， 且f(0)＝0，故选项A，B正确，选项C错误； a>1,0<<1，y＝ax，y＝－在R上均为增函数，f(x)在其定义域上为增函数，所以选项D正确．故选：ABD. 10.（多选）函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递减，那么(　　) A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值 B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值 C．f(x)在定义域内是偶函数 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 解：由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}． 设g(x)＝|x－1|＝，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确； 因为f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递减，所以a>1， 所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误； 又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选：AD. 11.（多选）下列命题中正确的是(　　) A．函数y＝－x2在区间(0,1)上有且只有1个零点 B．若函数f(x)＝x2＋ax＋b，则 C．如果函数y＝x＋在[a，b]上单调递增，那么它在[－b，－a]上单调递减 D．若定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数y＝f(x＋a)－b为奇函数 解：对于A选项，函数y1＝在区间(0,1)上单调递减，函数y2＝x2在区间(0,1)上单调递增，所以，函数y＝－x2在区间(0,1)上单调递减，因为－02>0，－12<0，所以，函数y＝－x2在区间(0,1)上有且只有1个零点，A选项正确； 对于B选项， ，B选项正确； 对于C选项，令f(x)＝x＋，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f(－x)＝－x＋＝－（x＋）＝－f(x)，所以，函数f(x)＝x＋为奇函数，由于该函数在区间[a，b]上单调递增，则该函数在区间[－b，－a]上也单调递增，C选项错误； 对于D选项，由于函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(a＋x)＋f(a－x)＝2b， 令g(x)＝f(x＋a)－b，定义域为R，且g(－x)＋g(x)＝f(－x＋a)－b＋f(x＋a)－b＝2b－2b＝0，即g(－x)＝－g(x)，所以，函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，D选项正确．故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.已知函数f(x)＝ax－1＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则P点的坐标是________． 解：由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作是由y＝ax的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，则P点坐标为(1,4)．故答案为：(1,4)． 13.一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次， 复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 分钟，该病毒占据64MB内存（1MB ＝210KB） 解：因为开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据内存22KB，两个3分钟后占据内存23KB，三个3分钟后占据内存24KB，故n个3分钟后，所占内存是原来的2n倍，则应有2n+1＝64×210＝216，∴n＝15，15×3＝45，故答案为：45. 14.已知正实数a，b满足，则2a+b的最小值是 . 解：令f（x）＝x+lnx，则f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增， 由可得，即，所以，即ab＝1， 由基本不等式可得，当且仅当2a＝b时，即时，等号成立， 所以2a+b的最小值是．故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）已知指数函数y＝（a2﹣3a+3）ax（a＞0，a≠1）的反函数为y＝f（x）． （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）已知函数g（x）＝f（x2+1），求不等式g（2x+1）＜g（3﹣x）的解集． 解：（1）指数函数y＝（a2﹣3a+3）ax（a＞0，a≠1）中， a2﹣3a+3＝1，解得a＝1或a＝2，所以a＝2，函数y＝2x； 反函数为y＝f（x）＝log2x，x∈（0，+∞）； （2）函数g（x）＝f（x2+1）＝log2（x2+1）， 是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增； 所以不等式g（2x+1）＜g（3﹣x）可化为|2x+1|＜|3﹣x|， 即（2x+1）2＜（3﹣x）2，即3x2+10x﹣8＜0， 解得﹣4＜x，所以不等式的解集为（﹣4，）． 16.（15分）（1）若已知10m＝2，10n＝3，求的值； （2）计算：（lg2）2+lg2×lg50+lg25+lg0.01； （3）计算：． （4）已知．求的值． 解：（1）由已知10m＝2，10n＝3，可得， （2）（lg2）2+lg2×lg50+lg25+lg0.01＝（lg2）2+lg2×（lg5+1）+lg0.25 ； （3）原式． （4）由，可得，可得a+a﹣1＝14， 所以， 因此可得． 17.（15分）已知函数f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 解：（1）当a＝﹣1时，f（x），令g（x）＝﹣x2﹣4x+3， 由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减， 而y＝（）t在R上单调递减， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增， 即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）． （2）令h（x）＝ax2﹣4x+3，y＝（）h（x），由于f（x）有最大值3， 所以 h（x）应有最小值﹣1，因此1，解得a＝1． 即当f（x）有最大值3时，a的值等于1． （3）由指数函数的性质知，要使y＝h（x）的值域为（0，+∞）． 应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，因此只能有a＝0． 因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．故a的取值范围是{0}． 18.（17分）已知函数f（x）＝lg[（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5]， （1）若函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围． 解：函数f（x）＝lg[（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5]， （1）∵f（x）的定义域为R， ∴g（x）＝（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5的图象恒在x轴上方， （m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5＞0恒成立， 当m＝1时，5＞0恒成立， 当m＝2时2x+5＞0不恒成立， 当时，不等式恒成立．即m或m＜1， 所以实数m的取值范围为：m或m≤1， （2）∵f（x）的值域为R， ∴g（x）＝（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5图象不能在x轴下方， 当m＝2时g（x）＝2x+5，符合题意， 当时，即2＜m 实数m的取值范围：2≤m 19.（17分）已知f（x）＝loga（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）证明函数f（x）为奇函数； （3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围． 解：（1）∵f（x）＝loga（a＞0，且a≠1）， ∴0，解得﹣1＜x＜1， ∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1）． （2）证明：定义域为（﹣1，1）关于原点对称， f（﹣x）logaf（x）． ∴函数f（x）为奇函数． （3）当a＞1时，由f（x）＝loga0， 得1，即0，即0，解得0＜x＜1， ∴当a＞1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（0，1）． 当0＜a＜1时，由f（x）＝loga0， 得1，即0，即0， 结合﹣1＜x＜1，解得﹣1＜x＜0， ∴当0＜a＜1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数和对数函数单元测试 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.若x＜3，则（　　） A．3﹣x B．3+x C．﹣3﹣x D．x﹣3 2.已知，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 3.下列函数中定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 4.函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四 个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5.若log2m+log4n＝2，则m2n＝（　　） A．3 B．4 C．9 D．16 6.函数y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）与函数y＝x2﹣2ax+1在同一直角坐标系中的图象大 致是（　　） A． B． C． D． 7.函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 8.设a＝log20242023，b＝log20232022，c＝log0.20240.2023，则（　　） A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）已知函数f(x)＝ax－，其中a>0且a≠1，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)是奇函数 B．函数f(x)在其定义域上有零点 C．函数f(x)的图象过定点(0,1) D．当a>1时，函数f(x)在其定义域上为增函数 10.（多选）函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递减，那么(　　) A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值 B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值 C．f(x)在定义域内是偶函数 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 11.（多选）下列命题中正确的是(　　) A．函数y＝－x2在区间(0,1)上有且只有1个零点 B．若函数f(x)＝x2＋ax＋b，则 C．如果函数y＝x＋在[a，b]上单调递增，那么它在[－b，－a]上单调递减 D．若定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数y＝f(x＋a)－b为奇函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.已知函数f(x)＝ax－1＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则P点的坐标是________． 13.一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次， 复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 分钟，该病毒占据64MB内存（1MB ＝210KB） 14.已知正实数a，b满足，则2a+b的最小值是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）已知指数函数y＝（a2﹣3a+3）ax（a＞0，a≠1）的反函数为y＝f（x）． （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）已知函数g（x）＝f（x2+1），求不等式g（2x+1）＜g（3﹣x）的解集． 16.（15分）（1）若已知10m＝2，10n＝3，求的值； （2）计算：（lg2）2+lg2×lg50+lg25+lg0.01； （3）计算：． （4）已知．求的值． 17.（15分）已知函数f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 18.（17分）已知函数f（x）＝lg[（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5]， （1）若函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围． 19.（17分）已知f（x）＝loga（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）证明函数f（x）为奇函数； （3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $