4.3 对数及对数运算 专项训练2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕对数概念、运算及应用，以题型分层构建从定义辨析到综合应用的训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数定义的辨析|5题（含多选）|考查定义域、底数真数范围及概念辨析|概念生成基础，为后续互化奠基| |对数式与指数式互化|4题（含判断与互化）|指数式与对数式双向转换|建立指数与对数的本质联系| |解简单对数方程|7题|应用互化与定义求解|概念应用的直接体现| |对数运算性质化简|5题（含多步求值）|直接应用运算性质化简求值|性质的理解与运算能力培养| |用已知对数表示其他对数|5题|结合换底公式与运算性质表达|性质的灵活应用与符号意识| |换底公式证明恒等式|4题|证明与推理结合|深化性质理解，培养推理意识|

人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网 - 徽率数学 第四章 指数函数与对数函数 专项分层训练 §4.3  对数及对数运算 对数定义的辨析题型01 1．（25-26高一上·陕西宝鸡·期末）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．，且 D． 【答案】C 【分析】要使式子有意义，则，解得答案. 【详解】有意义，则，解得，且. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得：，解得：且. 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课前预习）在中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的概念以及不等式计算求解. 【详解】要使式子有意义， 则，解得或.故A，C，D错误. 故选：B. 4．（24-25高一下·重庆巫山·阶段检测）（多选）(多选)下列说法正确的有（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 【答案】ACD 【分析】根据对数的定义即可判断答案. 【详解】由对数的定义可知A,C,D正确； 对B，当且时，才能化为对数式. 故选：ACD. 5．（2025·广东阳江·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．任何一个指数式都可以化成对数式 B．以10为底的对数是常用对数 C．对于，实数m的取值范围是 D．对数式中的底数必须大于0且不等于1 【答案】BCD 【详解】负数的指数不能化成对数，例如不能写成对数，故A错误；以10和e为底的对数都是常用对数，故B正确；对数要有意义，则其真数要大于0，即，即，故C正确；根据对数的定义，对数式中的底数必须大于0且不等于1，故D正确． 对数式与指数式的互化题型02 1．（25-26高一上·湖南·期中）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 2．（24-25高一上·上海崇明·期中）以下对数式中，与指数式等价的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据指数式和对数式的关系即可得出. 【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于. 故选：A. 3．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答. 【详解】（1）因为，所以有：. （2）因为，所以有：. （3）因为，所以有：. （4）因为，所以有：. （5）因为，所以有：. （6）因为，所以有：. 4．（25-26高一·全国·课堂例题）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据指数式与对数式的相互转化，即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 解简单的对数方程题型03 1．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得，且，解得. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解． 【详解】由得，即，又且，所以， 故选：C． 3．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得．因为， 所以， 得． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 5．（25-26高一上·重庆·期末）若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 【答案】D 【分析】由对数的运算性质计算得出结果. 【详解】由对数的运算性质可知. 故选：D. 6．（25-26高一下·重庆·阶段检测）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 若，则，上式成立； 若，则，则，得， 故方程的解为. 7．（15-16高一上·上海杨浦·期末）方程：的解为__________. 【答案】 【分析】移项化简，然后求解指数方程可得. 【详解】原方程等价于， ，即有， 整理得， 解得，即. 故答案为：. 利用对数运算性质化简题型04 1．（24-25高一上·江苏南京·期末）______． 【答案】 【分析】根据指数对数的运算可得答案. 【详解】 . 故答案为： 2．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)－12 (2)13 【分析】（1）利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案. （2）利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用对数换底公式，结合对数性质及运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 4．求值： （1）； （2）（log2125＋log425＋log85）（log52＋log254＋log1258）． （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）13．（3）；（4）1． 【分析】根据对数的基本运算公式，合理进行化简运算，即可得到化简的结果. 【详解】（1）． （2）方法一：原式= ． 方法二：原式= ． （3）因为， ， 所以． （4）． 5．化简求值 （1）； （2）；. （3）；． （4）. 【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2. 【分析】（1）由对数的运算法则对数恒等式即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解； （3）由对数的运算法则与运算性质结合换底公式即可求解： （4）由对数的运算法则与对数恒等式结合换底公式即可求解： 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 用已知对数表示其他对数题型05 1．（25-26高一上·天津滨海新区·期末）已知，，用表示______. 【答案】 【分析】利用指对转换、换底公式变形即可求解. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 2．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，用a、b表示____________． 【答案】. 【分析】因为，又，根据换底公式，又，代入即可得到结果. 【详解】由已知可得，，又， 则. 由，所以， 所以，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，，则______（用，表示）． 【答案】 【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式化简可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示． 【答案】 【分析】应用对数运算及已知化简表示即可. 【详解】∵，， ∴ ． 5．（25-26高一·全国·随堂练习）用，，表示下列式子： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】利用对数运算求解. 【详解】（1）；         （2）； （3）；         （4）. 利用换底公式证明恒等式题型06 1．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)因为，所以命题得证. (2)因为，所以命题得证. (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以， 故，即的值为. 2．（24-25高一下·上海·课后作业）已知正实数x，y，z满足． (1)求证：； (2)比较的大小． 【答案】(1)令， 利用指数式和对数式的互化知，， 则，， ∴. (2). 【分析】（1）令，利用指数式和对数式的互化求出，再利用对数的运算即可的证得结果； （2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系. 【详解】（1）略 （2） 证明：因为正实数x，y，z，， 又，， 又，， ∴． 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2) 由，得，. 所以，， 则，故. 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）略 4．（25-26高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明：令且， 则，，， 所以， ， 故成立. 由（1）知， (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 2．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出，即可选出答案. 【详解】， 所以 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为， 所以，即，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 4．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）（多选）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由根与系数的关系结合对数的运算即可求解. 【详解】由根与系数的关系，得，， ， . 故选：. 6．（25-26高一上·四川·期中）（多选）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性，则下列选项正确的是（参考数据：取）（    ） A．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是1.6 B．若纯净水的氢离子浓度是海水的倍，则海水的是9.1 C．若某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，则该溶液呈酸性 D．若某个新鲜的鸡蛋蛋白的是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升 【答案】ACD 【分析】根据题中公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】胃酸的，A正确． 海水的氢离子浓度为摩尔/升，则海水的，B错误． 选项C中溶液的，溶液呈酸性，C正确． 新鲜的鸡蛋蛋白的，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升，D正确． 故选：ACD. 7．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则___________ 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以，解得. 8．（25-26高一上·广东江门·期中）1614年，纳皮尔发明了对数和对数表．1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年．1770年，欧拉才第一个指出：“对数源于指数”，并发现了对数与指数的关系；即当，时，，这时对数和指数已经发明一百多年．已知，．则______． 【答案】 【分析】由题知，再根据换底公式与对数运算法则计算即可. 【详解】由题知， 故， 所以 故答案为： 9．（25-26高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)已知，，请求出的用a，b表示的数学表达式． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先将带分数化为假分数，再利用指数与对数的运算性质计算； （2）利用对数的运算性质，换底公式和指数恒等式计算； （3）结合指数与对数的运算性质求解； （4）利用指数与对数的运算性质和结合指数与对数的计算； （5）结合指数与对数的换底公式及运算性质求解. 【详解】（1） ， . （2）     （3） （4） （5）由，得； 因为，由换底公式得： . 10．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）在有声的世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标，其单位为（分贝），声强级由公式给出，其中，为声强，其单位为（瓦／平方米）（参考数据：，）． (1)一般人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围； (2)某企业对其生产车间进行升级降噪，噪声从87分贝降低到77分贝，求升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的多少倍？ (3)已知点声源发出的声音在空气中传播的声强与距离的平方成反比．若在距离声源10米处的声强级为70分贝，求在距离声源50米处的声强级． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】（1）分别将最高声强和最低声强代入声强级公式，即可求出声强级的范围； （2）根据声强级公式分别求出升级降噪前和升级降噪后的声强，再计算两者的倍数关系； （3）先求出声强与距离的关系，再结合声强级公式求解即可. 【详解】（1）当时，代入公式可得：， 当时，代入公式可得：， 所以人听觉的声强级范围为， （2）已知升级降噪前声强级，代入公式可得：， 解得：； 已知升级降噪后声强级，代入公式可得：， 解得：； 所以， 所以升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的10倍； （3）设声强为，距离为， 因为声强与距离的平方成反比，所以设（为常数）， 已知在距离声源10米处的声强级为70分贝，即时，， 代入声强级公式可得：，解得， 将，代入得：，解得， 所以， 当时，， 此时 ， 所以在距离声源50米处的声强级约为 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数、满足，，则___________． 【答案】 【分析】构造函数，分析该函数的单调性，由已知等式得出、，可得出，再利用指数与对数的互化代入等式化简可得结果. 【详解】构造函数，其中， 因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数 由可得，由可得， 即,由函数的单调性可知，则， 于是，则得， 所以. 故答案为：. 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）正实数a满足不等式，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】通过换元法设，得到，再构造函数并判断单调性即可求出. 【详解】设，则， 则不等式化为， 两边同除以，得， 令，由指数函数的性质可知在上单调递减， 又，，， ，即. 故答案为：. 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册高一上学期数学 学科网 - 徽率数学 第四章 指数函数与对数函数 专项分层训练 §4.3  对数及对数运算 对数定义的辨析题型01 1．（25-26高一上·陕西宝鸡·期末）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．，且 D． 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3．（24-25高一上·全国·课前预习）在中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·重庆巫山·阶段检测）（多选）(多选)下列说法正确的有（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 5．（2025·广东阳江·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．任何一个指数式都可以化成对数式 B．以10为底的对数是常用对数 C．对于，实数m的取值范围是 D．对数式中的底数必须大于0且不等于1 对数式与指数式的互化题型02 1．（25-26高一上·湖南·期中）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·上海崇明·期中）以下对数式中，与指数式等价的是（    ） A． B． C． D． 3．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．（25-26高一·全国·课堂例题）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 解简单的对数方程题型03 1．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 2．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 3．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 5．（25-26高一上·重庆·期末）若，则（    ） A． B．12 C．48 D．144 6．（25-26高一下·重庆·阶段检测）方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．（15-16高一上·上海杨浦·期末）方程：的解为__________. 利用对数运算性质化简题型04 1．（24-25高一上·江苏南京·期末）______． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的值． (1)； (2)． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 4．求值： （1）； （2）（log2125＋log425＋log85）（log52＋log254＋log1258）． （3）； （4）． 5．化简求值 （1）； （2）；. （3）；． （4）. 用已知对数表示其他对数题型05 1．（25-26高一上·天津滨海新区·期末）已知，，用表示______. 2．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，用a、b表示____________． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，，则______（用，表示）． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示． 5．（25-26高一·全国·随堂练习）用，，表示下列式子： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 利用换底公式证明恒等式题型06 1．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 2．（24-25高一下·上海·课后作业）已知正实数x，y，z满足． (1)求证：； (2)比较的大小． 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 4．（25-26高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 4．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）（多选）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川·期中）（多选）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性，则下列选项正确的是（参考数据：取）（    ） A．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是1.6 B．若纯净水的氢离子浓度是海水的倍，则海水的是9.1 C．若某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，则该溶液呈酸性 D．若某个新鲜的鸡蛋蛋白的是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升 7．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则___________ 8．（25-26高一上·广东江门·期中）1614年，纳皮尔发明了对数和对数表．1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年．1770年，欧拉才第一个指出：“对数源于指数”，并发现了对数与指数的关系；即当，时，，这时对数和指数已经发明一百多年．已知，．则______． 9．（25-26高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)已知，，请求出的用a，b表示的数学表达式． 10．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）在有声的世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标，其单位为（分贝），声强级由公式给出，其中，为声强，其单位为（瓦／平方米）（参考数据：，）． (1)一般人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围； (2)某企业对其生产车间进行升级降噪，噪声从87分贝降低到77分贝，求升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的多少倍？ (3)已知点声源发出的声音在空气中传播的声强与距离的平方成反比．若在距离声源10米处的声强级为70分贝，求在距离声源50米处的声强级． 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数、满足，，则___________． 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）正实数a满足不等式，则a的取值范围为________． 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $