第13章 三角形的13大题型分类练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以13大题型为框架，融合高频考点、重点模型与分层训练，构建“概念-模型-应用”三阶解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算与分类|题型1-6（含6类核心概念）|三边关系筛选法、内角和方程思想、高的位置分类|从三角形定义出发，通过边、角性质延伸至中线、高的应用，形成概念网络| |模型构建与应用|题型7-11（含5类几何模型）|“8”字/风筝模型角关系推导、双角平分线公式、折叠对应角转化|基于内角和与外角性质，提炼模型结论并迁移应用，培养模型意识| |综合探究与多解|题型12-13（含2类综合题型）|折叠角度方程法、等腰三角形分类讨论|整合前序知识，通过动态变换（折叠）和多解情境（分类讨论）提升综合思维|

第13章三角形的13大题型分类 高频题型 · 重点模型 · 原题分层训练｜由易到难 题型1 三角形三边关系 【例题1】 三角形的两边长分别为 6 cm 和 11 cm，第三边长 x 为整数且是 3 的倍数。求 x 的所有可能值，并求周长的最大值。 【分析】 先用三边关系确定开区间，再利用“整数且是3的倍数”筛选。 解：由三角形三边关系，11－6＜x＜11＋6，∴ 5＜x＜17。在这个范围内，3 的倍数为 6、9、12、15，∴ x＝6、9、12、15。周长最大时 x＝15，∴ 最大周长为 6＋11＋15＝32（cm）。答：x 的所有可能值为 6、9、12、15，最大周长为 32 cm。 【例题2】 一个等腰三角形的周长为 30 cm，其中一边长为 8 cm。求这个三角形三边长的所有可能情况。 【分析】 8 cm 既可能是底边，也可能是腰，分别计算并检验能否构成三角形。 解：① 若 8 cm 为底边，则两腰均为（30－8）÷2＝11（cm），三边为 11 cm、11 cm、8 cm。② 若 8 cm 为腰，则另一腰为 8 cm，底边为 30－8－8＝14（cm）。∵ 8＋8＞14，∴ 8 cm、8 cm、14 cm 能构成三角形。答：三边长为 11 cm、11 cm、8 cm，或 8 cm、8 cm、14 cm。 变式训练 【变式1】下列各组长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　）。 A．3、4、7　B．5、7、11　C．2、6、9　D．4、5、10 【变式2】从长度分别为 4 cm、6 cm、8 cm、10 cm、13 cm 的五条线段中任选三条作为三角形的三边。能组成多少个三边长度不完全相同的三角形？ 【变式3】一根长 28 cm 的细木条截成三段，其中第一段长 9 cm，第二段长 x cm，第三段长（19－x）cm。若 x 为整数，且三段能组成三角形，求 x 的所有可能值。 【变式4】一个等腰三角形的两边长分别为 6 cm 和 13 cm，求这个三角形的周长。 题型2 三角形按边、按角分类 【例题1】 一个三角形三个内角的度数比为 3∶4∶5，判断这个三角形按角分类属于哪一类。 【分析】 先求三个角，再比较最大角与90°的大小。 解：设三个内角分别为 3x、4x、5x。∵ 三角形内角和为 180°，∴ 3x＋4x＋5x＝180°，解得 x＝15°。∴ 三个内角分别为 45°、60°、75°，均小于 90°。答：该三角形是锐角三角形。 【例题2】 如图，在 △ABC 中，AD 把 ∠A 分成 25° 和 35°，且 ∠B＝60°。判断 △ABC 按角分类属于哪一类。 【分析】 先求∠A，再由内角和求∠C，最后比较三个角。 解：∠A＝25°＋35°＝60°。∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－60°－60°＝60°。∴ △ABC 的三个内角都为 60°，按角分类是锐角三角形；同时它也是等边三角形。 变式训练 【变式1】下列说法中正确的有（　　）个：①三角形至少有两个锐角；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③一个三角形最多有一个直角。 A．0　B．1　C．2　D．3 【变式2】一个三角形的三个内角分别为 28°、62°、90°，按角分类是什么三角形？ 【变式3】在 △ABC 中，∠A＝∠B－∠C，且 ∠B＞∠C。证明：△ABC 是直角三角形。 题型3 三角形中线与面积、周长问题 考查重点：中线等分面积、同高面积比、两条中线的面积传递、中线分割周长。面积统一采用教材常用的下标记法，如 S△ABC。 【例题1】 如图，AD 是 △ABC 的中线，点 E 在 AD 上，AE∶ED＝3∶2。若 S△ABC＝100 cm²，求 S△BDE。 【分析】 先由中线得到 S△ABD，再利用 △BDE 与 △BAD 对应底边在同一直线 AD 上且高相同。 解：∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ S△ABD＝S△ACD＝100÷2＝50（cm²）。∵ AE∶ED＝3∶2，∴ ED∶AD＝2∶5。△BDE 与 △BAD 分别以 ED、AD 为底，且从 B 到直线 AD 的高相同，∴ S△BDE∶S△BAD＝2∶5。∴ S△BDE＝50×＝20（cm²）。答：S△BDE＝20 cm²。 【例题2】 如图，AD 是 △ABC 的中线，E 是 AC 的中点，BE 与 AD 相交于点 P，连接 DE。若 S△ABC＝96 cm²，且 S△BPD＝16 cm²，求 S△ABP。 【分析】 由 AD 为中线可得 S△ABD；因为 P 在 AD 上，BP 将 △ABD 分成 △ABP 和 △BPD，再用面积的和差关系求解。 解：∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ S△ABD＝S△ACD＝96÷2＝48（cm²）。∵ P 在线段 AD 上，BP 将 △ABD 分成 △ABP 和 △BPD，∴ S△ABP＝S△ABD－S△BPD＝48－16＝32（cm²）。答：S△ABP＝32 cm²。 【例题3】 如图，AD 是 △ABC 的中线，点 F 在 AB 上，连接 CF。已知 △ABC 的周长为 46 cm，△ABD 与 △ACD 的周长分别为 31 cm、27 cm。求 AD 的长及 AB－AC 的值。 【分析】 利用 BD＝DC。两个小三角形周长相加可求AD；相减可求AB－AC。 解：∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ BD＝DC。∵ △ABD 与 △ACD 的周长之和为 AB＋AC＋BC＋2AD，∴ 31＋27＝46＋2AD，解得 AD＝6（cm）。又∵ 两个小三角形的周长之差为（AB＋BD＋AD）－（AC＋DC＋AD）＝AB－AC，∴ AB－AC＝31－27＝4（cm）。答：AD＝6 cm，AB－AC＝4 cm。 变式训练 【变式1】如图，AD 是 △ABC 的中线，E 是 BD 的中点。若 S△ABC＝88 cm²，求 S△ADE。 【变式2】如图，AD 是 △ABC 的中线，E 是 AC 的中点，连接 DE；F 在 AB 上，连接 CF，CF 与 DE 交于点 P。若 S△CDE＝18 cm²，求 S△ABC。 【变式3】如图，AD 是 △ABC 的中线，点 E 在 AC 上，连接 BE 作为辅助线。若 △ABD 的周长为 29 cm，△ACD 的周长为 25 cm，AC＝10 cm，求 AB。 【变式4】如图，AD 是 △ABC 的中线，△ABC 的周长为 52 cm，△ABD 与 △ACD 的周长之和为 70 cm。点 E 在 AC 上，图中另连 BE、DE 作为辅助线。求 AD。 题型4 三角形高的多解易错题型 考查重点：高的垂足在边上或边的延长线上；根据三角形形状筛选位置。 【例题1】 如图，AD⊥BC 所在直线，点 D 在 C 的外侧，∠B＝40°，∠CAD＝14°。求 ∠A、∠C。 【分析】 先在直角三角形 ABD 中求 ∠BAD，再根据点 D 位于 C 外侧确定角的加减关系。 解：∵ AD⊥BC，∠B＝40°，∴ 在直角三角形 ABD 中，∠BAD＝90°－40°＝50°。∵ D 在 C 的外侧，且 AC 位于 AB 与 AD 之间，∠CAD＝14°，∴ ∠A＝50°－14°＝36°。在直角三角形 ACD 中，∠ACD＝90°－14°＝76°。∵ CB、CD 为反向射线，∴ ∠C＝180°－76°＝104°。答：∠A＝36°，∠C＝104°。 【例题2】 已知 AD⊥BC 所在直线，∠B＝32°，∠CAD＝18°，且 △ABC 是锐角三角形。下面两幅图给出垂足 D 的两种位置。判断哪一种符合条件，并求 ∠A、∠C。 【分析】 分别计算两种位置下的∠A、∠C，再利用“锐角三角形”的条件筛选。 解：∵ AD⊥BC，∠B＝32°，∴ ∠BAD＝90°－32°＝58°。① 若 D 在线段 BC 上，则 ∠A＝58°＋18°＝76°，∠C＝180°－76°－32°＝72°，三个内角均小于 90°，符合题意。② 若 D 在 C 的外侧，则 ∠A＝58°－18°＝40°，∠C＝180°－40°－32°＝108°，为钝角，不符合题意。答：第一种位置符合条件，∠A＝76°，∠C＝72°。 变式训练 【变式1】一个钝角三角形中，钝角顶点为 A。三条高所在直线中，有几条高的垂足落在三角形边的延长线上？ 【变式2】如图，AD⊥BC 所在直线，D 在 C 的外侧，在 AC 上取点 E，连接 BE 作为辅助线。若 ∠B＝36°，∠CAD＝12°，求 ∠A、∠C。 【变式3】如图，AD⊥BC，D 在线段 BC 上，E 为 AC 上一点，连接 DE。若 ∠B＝34°，∠CAD＝21°，判断 △ABC 是锐角、直角还是钝角三角形。 题型5 三角形内角和（由易到难） 考查重点：直接计算、和差关系、分割三角形、多步角度追踪。 【例题1】 如图，在 △ABC 中，D 在 AB 上，连接 CD 作为辅助线。若 ∠A＝52°，∠B＝63°，求 ∠C。 【分析】 直接利用三角形内角和。 解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－52°－63°＝65°。答：∠C＝65°。 【例题2】 如图，在 △ABC 中，D 在 BC 上，∠BAD＝28°，∠CAD＝32°，∠ADB＝106°。求 ∠B、∠C。 【分析】 先在△ABD中求∠B，再用邻补角求∠ADC，最后在△ACD中求∠C。 解：在 △ABD 中，∵ ∠BAD＝28°，∠ADB＝106°，∴ ∠B＝180°－28°－106°＝46°。∵ B、D、C 三点共线，∴ ∠ADC＝180°－106°＝74°。在 △ACD 中，∵ ∠CAD＝32°，∠ADC＝74°，∴ ∠C＝180°－32°－74°＝74°。答：∠B＝46°，∠C＝74°。 【例题3】 如图，D 在 BC 上，E 在 AD 上，F 在 AC 上，连接 EF 作为辅助线。已知 ∠BAD＝∠ABC，∠CAD＝26°，∠ADC＝70°。求 △ABC 的三个内角。 【分析】 利用 B、D、C 共线先得到 ∠ADB，再把 ∠BAD 与 ∠ABC 设为同一个未知角。 解：∵ B、D、C 三点共线，∠ADC＝70°，∴ ∠ADB＝180°－70°＝110°。设 ∠BAD＝∠ABC＝x。在 △ABD 中，∵ x＋x＋110°＝180°，∴ x＝35°。∴ ∠A＝35°＋26°＝61°，∠B＝35°，∠C＝180°－61°－35°＝84°。答：∠A＝61°，∠B＝35°，∠C＝84°。 变式训练 【变式1】如图，在 △ABC 中，D 在 BC 上且靠近 C，在 AC 上取点 E，连接 DE。已知 ∠A＝41°，∠B＝69°，求 ∠C。 【变式2】如图，D 在 BC 上，DE 与 AB 相交于点 E。已知 ∠BAD＝33°，∠ADB＝95°，∠CAD＝27°，求 ∠B、∠C。 【变式3】如图，BC 延长至 D，在 AB 上取点 E 并连接 CE 作为辅助线。若 △ABC 中 ∠A＋∠B＝128°，且 ∠A 比 ∠B 大 16°，求三个内角。 【变式4】如图，D 在 BC 上，E 在 AC 上，F 在 AB 上，另连 BE、CF 形成辅助线。若 ∠BAD＝2∠ABC，∠CAD＝18°，∠ADC＝84°，求 ∠A、∠B、∠C。 题型6 直角三角形两锐角互余 考查重点：互余、比例与和差、斜边高角度转化、反向判定。 【例题1】 一个直角三角形的两个锐角相差 14°，求这两个锐角。 【分析】 两个锐角的和为90°，利用和差关系列方程。 解：设较小的锐角为 x°，则另一个锐角为（x＋14）°。∵ 直角三角形的两个锐角互余，∴ x＋x＋14＝90，解得 x＝38。∴ 另一个锐角为 52°。答：两个锐角分别为 38°、52°。 【例题2】 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，D 为垂足。证明：∠BCD＝∠A。 【分析】 ∠A与∠B互余；在直角三角形BCD中，∠BCD与∠B也互余。 证明：∵ ∠C＝90°，∴ ∠A＋∠B＝90°。∵ CD⊥AB，∴ 在 △BCD 中，∠BCD＋∠B＝90°。∴ ∠BCD＝∠A。 变式训练 【变式1】一个直角三角形的一个锐角为 31°，求另一个锐角。 【变式2】一个直角三角形两个锐角的度数比为 4∶5，求这两个锐角。 【变式3】 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，E 在 BC 上，图中另连 AE。若 ∠A＝37°，求 ∠BCD、∠ACD。 【变式4】如图，在 △ABC 中，BC 延长到 D。若 ∠A＋∠B＝90°，判断 △ABC 的形状并说明理由。 题型7 内角和方程思想求角度 考查重点：比例、代数式、和差、等差数列情境，用一元一次方程求角。 【例题1】 如图，在 △ABC 中，E 在 AC 上，连接 BE 作为辅助线。若 ∠A∶∠B∶∠C＝2∶5∶5，求三个内角。 【分析】 按比例设同一份数x，再用内角和列方程。 解：设 ∠A＝2x，∠B＝5x，∠C＝5x。∵ 三角形内角和为 180°，∴ 2x＋5x＋5x＝180°，解得 x＝15°。∴ ∠A＝30°，∠B＝75°，∠C＝75°。 【例题2】 如图，D 在 BC 上。∠BAD＝x＋5°，∠CAD＝2x－10°，∠B＝x＋20°，∠C＝2x＋15°。求 x 与 ∠A。 【分析】 把∠A写成两部分之和，再利用△ABC内角和列方程。 解：∠A＝（x＋5°）＋（2x－10°）＝3x－5°。∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ （3x－5°）＋（x＋20°）＋（2x＋15°）＝180°，化简得 6x＋30°＝180°，解得 x＝25。∴ ∠A＝3×25°－5°＝70°。答：x＝25，∠A＝70°。 变式训练 【变式1】如图，在 △ABC 中，∠A＝3x，∠B＝2x＋15°，∠C＝x＋15°。求 x 的值及三个内角的度数。 【变式2】如图，D 在 BC 上，E 在 AC 上，连接 DE 作为辅助线。若 ∠A∶∠B＝1∶2，且 ∠C 比 ∠A 大 20°，求三个内角。 【变式3】一个三角形中，中间大小的角比最小角大 18°，最大角又比中间角大 18°。求三个内角。 【变式4】如图，D 在 BC 上，E 在 AB 上，CE 与 AD 相交。∠BAD＝2x－8°，∠CAD＝x＋7°，∠B＝x＋13°，∠C＝2x＋18°。求 x 与 ∠A。 题型8 三角形内外角综合计算 考查重点：内角和、外角、角平分线、高线综合；目标角优先放进最小三角形。 【例题1】 如图，BC 延长到 D，CE 平分外角 ∠ACD。若 ∠B＝46°，∠ACE＝63°，求 ∠A、∠C。 【分析】 先由角平分线求整个外角，再利用外角性质和邻补角。 解：∵ CE 平分外角 ∠ACD，∠ACE＝63°，∴ ∠ACD＝2×63°＝126°。∵ ∠ACD＝∠A＋∠B，∠B＝46°，∴ ∠A＝126°－46°＝80°。又∵ ∠C 与 ∠ACD 互为邻补角，∴ ∠C＝180°－126°＝54°。答：∠A＝80°，∠C＝54°。 【例题2】 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC，AE 平分 ∠A。若 ∠B＝50°，∠C＝66°，求 ∠DAE。 【分析】 先求∠A及其一半，再在直角三角形ABD中求∠BAD。 解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝66°，∴ ∠A＝64°。∵ AE 平分 ∠A，∴ ∠BAE＝32°。∵ AD⊥BC，∴ 在直角三角形 ABD 中，∠BAD＝90°－50°＝40°。∴ ∠DAE＝40°－32°＝8°。答：∠DAE＝8°。 【例题3】 如图，BC 延长到 D，BE 交 AC 于点 E，且 BE 平分 ∠ABC。若 ∠A＝74°，∠C＝56°，求 ∠ABE 与 △ABE 中的 ∠AEB。 【分析】 先求∠B，再利用角平分线，最后在△ABE中计算。 解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝74°，∠C＝56°，∴ ∠B＝50°。∵ BE 平分 ∠ABC，∴ ∠ABE＝25°。在 △ABE 中，∵ ∠BAE＝74°，∴ ∠AEB＝180°－74°－25°＝81°。答：∠ABE＝25°，∠AEB＝81°。 变式训练 · 原题精选（由易到难） 【变式1】如图，CE 是 △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线，若 ∠B＝35°，∠ACE＝60°，则 ∠A＝________。 【变式2】如图，点 D 在 AC 上，BD 平分 ∠ABC，且 BD⊥AC 于点 D。若 ∠C＝55°，则 ∠ABC 的度数是（　　）。 A．35°　B．55°　C．60°　D．70° 【变式3】 如图，AD 是 △ABC 的角平分线，点 O 在 AD 上，且 OE⊥BC 于点 E，∠BAC＝60°，∠C＝80°，则 ∠EOD 的度数为（　　）。 A．20°　B．30°　C．10°　D．15° 【变式4】 如图，已知 D 为 △ABC 边 BC 延长线上一点，DF⊥AB 于 F，交 AC 于 E，∠A＝35°，∠D＝42°，求 ∠ACD 的度数。 【变式5】 如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，AD 交 BE 于 F。已知 EG∥AD，交 BC 于 G；EH⊥BE，交 BC 于 H；∠HEG＝50°。 （1）求 ∠BFD 的度数； （2）若 ∠BAD＝∠EBC，∠C＝42°，求 ∠BAC 的度数。 题型9 “8”字模型（八字模型） 考查重点：先由两个三角形内角和与对顶角推导结论，再进行直接、比例和方程应用。 模型结论与推导 【模型结论】 如图，直线 AD、BC 相交于点 O，连接 AB、CD，则 ∠A＋∠B＝∠C＋∠D。 【推导证明】 证明：∵ 在 △AOB 中，∠A＋∠B＝180°－∠AOB。 ∵ 在 △COD 中，∠C＋∠D＝180°－∠COD，且 ∠AOB＝∠COD（对顶角相等）。 ∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D。 【例题1】 如图，在交叉结构内部另连一条辅助线段 EF。已知 ∠A＝41°，∠B＝56°，∠C＝39°，求 ∠D。 【分析】 先识别由A、B、C、D和交点O构成的两个相对三角形，辅助线段 EF 不参与。 解：由两个相对三角形的内角和及对顶角相等，可得 ∠A＋∠B＝∠C＋∠D。∴ ∠D＝41°＋56°－39°＝58°。答：∠D＝58°。 【例题2】 如图，在交叉结构的一侧另连辅助线段 EF。∠A＝2x＋8°，∠B＝37°，∠C＝x＋26°，∠D＝61°。求 x。 【分析】 将四个角代入刚刚推导的角和关系。 解：由两个相对三角形的内角和及对顶角相等，可得 ∠A＋∠B＝∠C＋∠D。∴ （2x＋8°）＋37°＝（x＋26°）＋61°，化简得 x＝42。答：x＝42。 变式训练 · 原题精选（由易到难） 【变式1】 如图，我们称之为“8字形”。请直接写出 ∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系。 【变式2】如图，求 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数。 【变式3】 （2024秋·正阳县期末）如图，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB。在此基础上，∠DAB 和 ∠BCD 的平分线 AP、CP 相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N。当 ∠D＝50°，∠B＝40° 时，求 ∠P 的度数。 【变式4】 如图，已知 ∠1＝∠2，∠3＝∠4。猜想 ∠B、∠P、∠D 之间的数量关系，并证明。 题型10 风筝模型（飞镖/箭头模型） 考查重点：从凹四边形角关系的推导出发，结合角的拆分、外角、角平分线和方程思想进行应用。 模型结论与推导 【模型结论】 如图，在 △ABC 中，点 P 在三角形内部，连接 AP、BP、CP，则较小的 ∠BPC＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP。 【推导证明】 在 △ABP 中，∠BPA＝180°－∠BAP－∠ABP；同理，在 △ACP 中，∠APC＝180°－∠PAC－∠ACP。 ∵ 点 P 周围的角度和为 360°，∴ ∠BPC＝360°－∠BPA－∠APC。 将上面两式代入，得 ∠BPC＝∠BAP＋∠PAC＋∠ABP＋∠ACP。 ∵ ∠BAP＋∠PAC＝∠BAC，∴ 较小的 ∠BPC＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP。 【例题1】 如图，四边形 KLNM 为凹四边形，N 为凹点，连接 KN。已知 ∠LKN＝24°，∠NKM＝18°，∠KLN＝31°，∠KMN＝28°，求较小的 ∠LNM。 【分析】 先把 K 点的角合并，再把 KLNM 识别为箭头结构。 解：∠LKM＝∠LKN＋∠NKM＝24°＋18°＝42°。由凹四边形的角关系，较小的 ∠LNM＝∠LKM＋∠KLN＋∠KMN＝42°＋31°＋28°＝101°。答：较小的 ∠LNM＝101°。 【例题2】 如图，在 △ABC 中，点 P 在三角形内部，BP 平分 ∠ABC，连接 CP。若 ∠A＝50°，∠ABC＝64°，较小的 ∠BPC＝108°，求 ∠ACP。 【分析】 先由角平分线求 ∠ABP，再用刚推导的箭头关系逆向求角。 解：∵ BP 平分 ∠ABC，∠ABC＝64°，∴ ∠ABP＝32°。由箭头结构的角关系，∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP。∴ ∠ACP＝108°－50°－32°＝26°。答：∠ACP＝26°。 变式训练 · 原题精选（由易到难） 【变式1】 （2024秋·宁津县期末）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝（　　） A．180°　　B．240°　　C．360°　　D．540° 【变式2】 （2025春·忠县期末）如图，△ABC 与某长方形相交于图示的 A、E、D、F 四点。若 ∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，则 ∠CDE＝（　　） A．35°　　B．40°　　C．45°　　D．50° 【变式3】 将一块直角三角板 DEF 放置在锐角 △ABC 上，使三角板的两条直角边 DE、DF 恰好分别经过点 B、C。如图，改变直角三角板 DEF 的位置，使点 D 在 △ABC 内。请探究 ∠ABD＋∠ACD 与 ∠A 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论。 题型11 三角形双角平分线模型 考查重点：两内角平分线、一内一外角平分线、两外角平分线三种情形；先推导，再结合内角和、外角及方程关系应用。 模型① 两内角平分线 【模型结论】 如图，BP、CP 分别平分 ∠ABC、∠ACB，则 ∠BPC＝90°＋∠A。 【推导证明】 ∵ BP、CP 分别平分 ∠ABC、∠ACB，∴ ∠PBC＝∠B，∠PCB＝∠C。 在 △BPC 中，∠BPC＝180°－（∠B＋∠C）。 ∵ ∠B＋∠C＝180°－∠A，∴ ∠BPC＝90°＋∠A。 模型② 一内一外角平分线 【模型结论】 如图，BP 平分 ∠ABC，CP 平分 C 点的一个外角，取图中的较小 ∠BPC，则 ∠BPC＝∠A。 【推导证明】 设 C 点外角为 ∠ACD。∵ ∠ACD 是 △ABC 的外角，∴ ∠ACD＝∠A＋∠B。 ∵ CP 平分 ∠ACD，∴ ∠PCD＝（∠A＋∠B）。 ∵ B、C、D 三点共线，∴ ∠BCP＝180°－∠PCD；又∵ BP 平分 ∠ABC，∴ ∠PBC＝∠B。 在 △BPC 中，∠BPC＝180°－∠B－[180°－（∠A＋∠B）]＝∠A。 模型③ 两外角平分线 【模型结论】 如图，BP、CP 分别平分 B、C 两点的外角，取较小的 ∠BPC，则 ∠BPC＝90°－∠A。 【推导证明】 B、C 两点与三角形内角相邻的外角分别为 180°－∠B、180°－∠C。 ∵ BP、CP 分别平分这两个外角，∴ ∠PBC＝90°－∠B，∠PCB＝90°－∠C。 在 △BPC 中，∠BPC＝180°－（90°－∠B）－（90°－∠C）＝（∠B＋∠C）＝90°－∠A。 【例题1】 如图，在 △ABC 中，BP、CP 分别平分 ∠ABC、∠ACB，交于点 P；另连接 AD，D 在 BC 上。若 ∠BPC＝126°，∠B＝58°，求 ∠A、∠C。 【分析】 先由两内角平分线关系逆向求 ∠A，再利用三角形内角和求 ∠C。 解：∵ BP、CP 分别平分 ∠ABC、∠ACB，∴ ∠BPC＝90°＋∠A。∵ ∠BPC＝126°，∴ ∠A＝36°，∠A＝72°。又∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝58°，∴ ∠C＝50°。答：∠A＝72°，∠C＝50°。 【例题2】 如图，在 △ABC 中，CQ 平分 ∠ACB，将 CB 向 B 点外延长至 D，BQ 平分外角 ∠ABD，BQ、CQ 交于点 Q。若较小的 ∠BQC＝28°，且 ∠B－∠C＝20°，求 ∠A、∠B、∠C。 【分析】 先由一内一外角平分线关系求 ∠A，再利用 ∠B＋∠C 与 ∠B－∠C 联立求解。 解：一内一外角平分线相交时，较小的 ∠BQC＝∠A。∵ ∠BQC＝28°，∴ ∠A＝56°，从而 ∠B＋∠C＝124°。又∵ ∠B－∠C＝20°，∴ 解得 ∠B＝72°，∠C＝52°。答：∠A＝56°，∠B＝72°，∠C＝52°。 【例题3】 如图，在 △ABC 中，A、B 两点的外角平分线交于点 P。若较小的 ∠APB＝65°，且 ∠C＝2∠A，求 ∠A、∠B、∠C。 【分析】 两外角平分线所夹的较小角由未参与平分的第三个内角决定，先求 ∠C，再利用倍角关系。 解：A、B 两点的外角平分线相交，∴ 较小的 ∠APB＝90°－∠C。∵ ∠APB＝65°，∴ ∠C＝50°。又∵ ∠C＝2∠A，∴ ∠A＝25°。∴ ∠B＝180°－25°－50°＝105°。答：∠A＝25°，∠B＝105°，∠C＝50°。 变式训练 · 原题精选（由易到难） 【变式1】 （如图，在 △ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线相交于点 P。若 ∠ABC＋∠ACB＝130°，求 ∠BPC 的度数。 【变式2】 （参考题库原题节选）如图，在 △ABC 中，∠ABC 的角平分线与外角 ∠ACE 的角平分线相交于点 D，B、C、E 三点共线。若 ∠ABC＝70°，∠A＝80°，求 ∠BDC 的度数。 【变式3】 （参考题库原题节选）如图，点 P 是 △ABC 在 B、C 两点的外角平分线 BP 与 CP 的交点。请直接写出 ∠BPC 与 ∠A 的关系。 【变式4】 （2024秋·曲靖期末）如图，在 △ABC 中，∠BAC＝128°。P₁ 是内角 ∠ABC 的平分线 BP₁ 与外角 ∠ACE 的平分线 CP₁ 的交点；P₂ 是 △BP₁C 的内角 ∠P₁BC 的平分线 BP₂ 与外角 ∠P₁CE 的平分线 CP₂ 的交点；依次这样下去，则 ∠P₆ 的度数为（　　） A．2°　　B．4°　　C．8°　　D．16° 题型12 三角形折叠角度计算 考查重点：折叠前后对应角相等，利用折痕建立角度关系；不套用超纲结论。 【例题1】 如图，D、E 分别在 AB、AC 上，将 △ABC 沿 DE 折叠，点 A 落到三角形内部的 A′。若 ∠BDA′＝46°，∠CEA′＝62°，求 ∠A。 【分析】 设 ∠ADE＝x，∠AED＝y，利用折叠前后对应角相等以及 △ADE 的内角和。 解：设 ∠ADE＝x，∠AED＝y，则 x＋y＋∠A＝180°。∵ 折叠前后对应角相等，∴ ∠A′DE＝x，∠A′ED＝y。又∵ B、D、A 三点共线，C、E、A 三点共线，∴ ∠BDA′＝180°－2x，∠CEA′＝180°－2y。∴ ∠BDA′＋∠CEA′＝360°－2（x＋y）＝2∠A。∴ 46°＋62°＝2∠A，解得 ∠A＝54°。答：∠A＝54°。 【例题2】 如图，在直角三角形 ABC 中，∠B＝90°，∠C＝34°。D 在 AB 上，E 在 AC 上，沿 DE 折叠使 A 落到 BC 上的 A′，且 ∠DAA′＝∠A。求 ∠A 和 ∠ADE。 【分析】 先由直角三角形两锐角互余求 ∠A；再利用 D 在折痕上得到 AD＝A′D，并结合折叠前后对应角相等求 ∠ADE。 解：∵ ∠B＝90°，∠C＝34°，∴ ∠A＝90°－34°＝56°。∵ ∠DAA′＝∠A，∴ ∠DAA′＝28°。点 D 在折痕 DE 上，折叠后 A 与 A′ 对应，∴ AD＝A′D，且 DE 平分 ∠ADA′。在等腰三角形 ADA′ 中，∵ ∠DAA′＝∠AA′D＝28°，∴ ∠ADA′＝180°－28°－28°＝124°。∴ ∠ADE＝∠ADA′＝62°。答：∠A＝56°，∠ADE＝62°。 变式训练 【变式1】 如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，将 △ACD 沿 CD 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 E 处。若 ∠B＝25°，则 ∠BDE＝______°。 【变式2】 如图，把 △ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则 ∠A 与 ∠1＋∠2 之间有一种数量关系始终保持不变。请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A．∠A＝∠1＋∠2　　B．2∠A＝∠1＋∠2　　C．3∠A＝2∠1＋∠2　　D．3∠A＝2（∠1＋∠2） 【变式3】 如图，将 △ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A′ 处，且 A′B 平分 ∠ABC，A′C 平分 ∠ACB。若 ∠BA′C＝120°，则 ∠1＋∠2＝______°。 【变式4】 （2024·江都区期中）如图，将 △ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 内点 A′ 的位置。 （1）探索 ∠A 与 ∠1＋∠2 之间的数量关系，并说明理由； （2）如果点 A 落在四边形 BCDE 外点 A″ 的位置，∠A 与 ∠1、∠2 之间的数量关系有何变化？请说明理由。 题型13 三角形角度分类讨论多解题型 考查重点：等腰三角形中“已知角可能是顶角或底角”；倍角条件中角色不固定。 【例题1】 一个等腰三角形有一个内角为 40°，求另外两个内角的所有可能值。 【分析】 40°可能是顶角，也可能是底角，必须分类讨论。 解：① 若 40° 是顶角，则两个底角相等，∴ 每个底角为（180°－40°）÷2＝70°。② 若 40° 是底角，则另一个底角也是 40°，∴ 顶角为 180°－40°－40°＝100°。答：另外两个内角为 70°、70°，或 40°、100°。 【例题2】 如图，在 △ABC 中，D 在 BC 上，E 在 AB 上，连接 DE 作为辅助线。已知 ∠A＝54°，且 ∠B、∠C 中有一个角是另一个角的 2 倍。求 ∠B 的所有可能值。 【分析】 先求∠B＋∠C，再分别设∠B＝2∠C和∠C＝2∠B。 解：∵ ∠A＝54°，∴ ∠B＋∠C＝126°。① 若 ∠B＝2∠C，则 3∠C＝126°，∴ ∠C＝42°，∠B＝84°。② 若 ∠C＝2∠B，则 3∠B＝126°，∴ ∠B＝42°，∠C＝84°。答：∠B＝42° 或 84°。 变式训练 【变式1】 一个等腰三角形的某个外角为 110°，求这个三角形三个内角的所有可能情况。 【变式2】 一个等腰三角形中，一个内角比另一个内角大 36°。求三个内角的所有可能情况。 【变式3】 如图，D 在 BC 上。△ABC 中 ∠A＝2∠B，且三个内角中有一个角为 60°。求三个内角的所有可能情况。 【变式4】 一个三角形中，一个内角为 36°，另外两个内角中有一个是另一个的 3 倍。求另外两个内角的所有可能情况，并判断三角形按角分类的类别。 变式训练参考答案 题型1 【变式1】解：A 中 3＋4＝7，不能组成三角形；B 中 5＋7＞11，且其余两组两边之和也大于第三边，能组成三角形；C 中 2＋6＜9；D 中 4＋5＜10。∴ 选 B。 【变式2】解：从 5 条线段中任选 3 条逐一检验三角形三边关系。能组成三角形的组合为（4，6，8）、（4，8，10）、（4，10，13）、（6，8，10）、（6，8，13）、（6，10，13）、（8，10，13），共 7 组。答：能组成 7 个三边长度不完全相同的三角形。 【变式3】解：三边为 9、x、19－x。∵ 能组成三角形，∴ 9＋x＞19－x，9＋19－x＞x。解得 x＞5，x＜14。又∵ x 为整数，∴ x＝6、7、8、9、10、11、12、13。答：x 的所有可能值为 6、7、8、9、10、11、12、13。 【变式4】解：若 6 cm 为腰，则三边为 6、6、13，∵ 6＋6＜13，∴ 不能组成三角形；若 13 cm 为腰，则三边为 13、13、6，能组成三角形。∴ 周长为 13＋13＋6＝32（cm）。答：周长为 32 cm。 题型2 【变式1】解：① 三角形至少有两个锐角，正确；② 等边三角形是特殊的等腰三角形，正确；③ 三角形最多有一个直角，正确。∴ 正确的有 3 个，选 D。 【变式2】解：∵ 三个内角中有一个角为 90°，∴ 该三角形是直角三角形。 【变式3】证明：∵ ∠A＝∠B－∠C，且 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ （∠B－∠C）＋∠B＋∠C＝180°，即 2∠B＝180°。∴ ∠B＝90°，∴ △ABC 是直角三角形。 题型3 【变式1】解：∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ S△ABD＝S△ABC＝44（cm²）。又∵ E 是 BD 的中点，△ADE 与 △ABD 从 A 到直线 BC 的高相同，且 DE＝BD，∴ S△ADE＝S△ABD＝22（cm²）。答：S△ADE＝22 cm²。 【变式2】解：∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ S△ACD＝S△ABC。又∵ E 是 AC 的中点，∴ DE 是 △ACD 的中线，∴ S△CDE＝S△ACD＝S△ABC。∵ S△CDE＝18 cm²，∴ S△ABC＝18×4＝72（cm²）。答：S△ABC＝72 cm²。 【变式3】解：∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ BD＝DC。△ABD 与 △ACD 的周长之差为（AB＋BD＋AD）－（AC＋DC＋AD）＝AB－AC。∵ 29－25＝4，AC＝10 cm，∴ AB＝14 cm。答：AB＝14 cm。 【变式4】解：∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ △ABD 与 △ACD 的周长之和＝△ABC 的周长＋2AD。∴ 70＝52＋2AD，解得 AD＝9（cm）。答：AD＝9 cm。 题型4 【变式1】解：钝角顶点为 A 时，从 B、C 两个锐角顶点作出的高，其垂足分别落在 AC、AB 的延长线上；从 A 作出的高的垂足落在 BC 上。∴ 有 2 条高的垂足落在三角形边的延长线上。 【变式2】解：∵ AD⊥BC，∠B＝36°，∴ ∠BAD＝90°－36°＝54°。∵ D 在 C 的外侧，∠CAD＝12°，∴ ∠A＝54°－12°＝42°。∴ ∠C＝180°－42°－36°＝102°。答：∠A＝42°，∠C＝102°。 【变式3】解：∵ AD⊥BC，∠B＝34°，∴ ∠BAD＝90°－34°＝56°。∵ D 在线段 BC 上，∠CAD＝21°，∴ ∠A＝56°＋21°＝77°。∴ ∠C＝180°－77°－34°＝69°。三个内角均小于 90°，∴ △ABC 是锐角三角形。 题型5 【变式1】解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－41°－69°＝70°。答：∠C＝70°。 【变式2】解：在 △ABD 中，∵ ∠BAD＝33°，∠ADB＝95°，∴ ∠B＝180°－33°－95°＝52°。∵ B、D、C 三点共线，∴ ∠ADC＝85°。在 △ACD 中，∵ ∠CAD＝27°，∴ ∠C＝180°－27°－85°＝68°。答：∠B＝52°，∠C＝68°。 【变式3】解：设 ∠B＝x°，则 ∠A＝（x＋16）°。∵ ∠A＋∠B＝128°，∴ x＋x＋16＝128，解得 x＝56。∴ ∠B＝56°，∠A＝72°，∠C＝180°－128°＝52°。答：∠A＝72°，∠B＝56°，∠C＝52°。 【变式4】解：∵ B、D、C 三点共线，∠ADC＝84°，∴ ∠ADB＝96°。设 ∠ABC＝x°，则 ∠BAD＝2x°。在 △ABD 中，∵ 2x＋x＋96＝180，∴ x＝28。∴ ∠B＝28°，∠A＝2×28°＋18°＝74°，∠C＝180°－74°－28°＝78°。答：∠A＝74°，∠B＝28°，∠C＝78°。 题型6 【变式1】解：∵ 直角三角形的两个锐角互余，∴ 另一个锐角＝90°－31°＝59°。答：59°。 【变式2】解：设两个锐角分别为 4x、5x。∵ 4x＋5x＝90°，∴ x＝10°。∴ 两个锐角分别为 40°、50°。 【变式3】解：∵ ∠C＝90°，∠A＝37°，∴ ∠B＝53°。∵ CD⊥AB，∴ 在 △BCD 中，∠BCD＝90°－∠B＝37°。又∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACD＝90°－37°＝53°。答：∠BCD＝37°，∠ACD＝53°。 【变式4】证明：∵ ∠A＋∠B＝90°，且 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝90°。∴ △ABC 是直角三角形。 题型7 【变式1】解：∵ 3x＋（2x＋15°）＋（x＋15°）＝180°，∴ 6x＋30°＝180°，解得 x＝25。∴ ∠A＝75°，∠B＝65°，∠C＝40°。 【变式2】解：设 ∠A＝x°，则 ∠B＝2x°，∠C＝（x＋20）°。∵ x＋2x＋x＋20＝180，∴ x＝40。答：∠A＝40°，∠B＝80°，∠C＝60°。 【变式3】解：设最小角为 x°，则另外两个角依次为（x＋18）°、（x＋36）°。∵ x＋x＋18＋x＋36＝180，∴ 3x＝126，x＝42。答：三个内角为 42°、60°、78°。 【变式4】解：∠A＝（2x－8°）＋（x＋7°）＝3x－1°。∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ （3x－1°）＋（x＋13°）＋（2x＋18°）＝180°，化简得 6x＋30°＝180°，解得 x＝25。∴ ∠A＝74°。答：x＝25，∠A＝74°。 题型8 【变式1】解：∵ CE 平分外角 ∠ACD，∠ACE＝60°，∴ ∠ACD＝120°。∵ ∠ACD＝∠A＋∠B，∠B＝35°，∴ ∠A＝120°－35°＝85°。答：∠A＝85°。 【变式2】解：∵ D 在 AC 上，BD⊥AC，∴ ∠BDC＝90°。在 △BCD 中，∵ ∠C＝55°，∴ ∠CBD＝180°－90°－55°＝35°。∵ BD 平分 ∠ABC，∴ ∠ABC＝2∠CBD＝70°。故选 D。 【变式3】解：∵ AD 平分 ∠BAC，∠BAC＝60°，∴ ∠DAC＝30°。在 △ADC 中，∵ ∠C＝80°，∴ ∠ADC＝180°－30°－80°＝70°。又∵ O、D、A 三点共线，E、D、C 三点共线，OE⊥BC，∴ 在直角三角形 ODE 中，∠ODE＝70°，∠EOD＝20°。故选 A。 【变式4】解：∵ B、C、D 三点共线，∠D＝42°，DF⊥AB，∴ 在直角三角形 BDF 中，∠DBF＝90°－42°＝48°，即 ∠ABC＝48°。∵ ∠ACD 是 △ABC 的外角，∴ ∠ACD＝∠A＋∠ABC＝35°＋48°＝83°。答：∠ACD＝83°。 【变式5】解：（1）∵ EH⊥BE，∠HEG＝50°，∴ BE 与 EG 的较小夹角为 40°。又∵ EG∥AD，∴ BE 与 AD 的较小夹角为 40°，结合图中射线方向得 ∠BFD＝40°。（2）设 ∠BAD＝∠EBC＝x。∵ F 在 AD、BE 上，∴ 在 △ABF 中，∠BAF＝x，∠ABF＝∠ABC－x，∴ ∠AFB＝180°－∠ABC。又∵ A、F、D 三点共线，∴ ∠BFD＝180°－∠AFB＝∠ABC。由（1）得 ∠ABC＝40°。∵ ∠C＝42°，∴ ∠BAC＝180°－40°－42°＝98°。答：（1）40°；（2）98°。 题型9 【变式1】解：∵ 两个相对三角形的内角和均为 180°，且交点处的对顶角相等，∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D。 【变式2】解：设图中上方横线与中间竖线所成的左下角为 α，中间横线与中间竖线所成的左上角为 β。由左侧四边形内角和得 ∠1＋∠2＋∠3＋α＝360°；由右侧四边形内角和得（180°－α）＋∠4＋∠5＋β＝360°；由上方三角形内角和得 ∠6＋∠7＋（180°－β）＝180°。三式相加并整理，∴ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°。答：540°。 【变式3】解：∵ AP、CP 分别平分 ∠DAB、∠BCD，∴ 两个顶角分别被等分。分别对原“8字形”和由两条角平分线形成的“8字形”应用三角形内角和与对顶角相等，可得 2∠P＝∠B＋∠D。∵ ∠B＝40°，∠D＝50°，∴ ∠P＝45°。答：∠P＝45°。 【变式4】证明：∵ ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴ 图中对应两条射线分别为相关角的角平分线。分别对原“8字形”和由两条角平分线形成的新“8字形”应用三角形内角和与对顶角相等，消去被平分的两组角，得 ∠B＋∠D＝2∠P。 题型10 【变式1】解：将交叉图形按交点分成相应三角形，分别利用三角形内角和，交点处出现的对顶角成对相等并相消，整理得 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°。故选 C。 【变式2】解：∵ ∠C＝90°，∠B＝30°，∴ ∠A＝60°。又∵ ∠BAF＝15°，∴ ∠CAF＝45°。长方形的对边平行，结合图中射线方向与平行线的角关系，可得 ∠CDE＝∠ABC＋∠BAF＝30°＋15°＝45°。故选 C。 【变式3】证明：∵ ∠BDC＝90°，∴ 在直角三角形 BDC 中，∠DBC＋∠BCD＝90°。又∵ ∠B＝∠ABD＋∠DBC，∠C＝∠ACD＋∠BCD，且 ∠B＋∠C＝180°－∠A，∴ ∠ABD＋∠ACD＝（180°－∠A）－90°＝90°－∠A。 题型11 【变式1】解：∵ ∠B＋∠C＝130°，∴ ∠A＝50°。又∵ BP、CP 分别平分 ∠B、∠C，∴ ∠BPC＝90°＋∠A＝90°＋25°＝115°。答：∠BPC＝115°。 【变式2】解：∵ BD 平分 ∠ABC，∠ABC＝70°，∴ ∠DBC＝35°。∵ ∠A＝80°，∴ ∠ACB＝180°－80°－70°＝30°，外角 ∠ACE＝150°。∵ CD 平分 ∠ACE，∴ ∠DCE＝75°。又∵ B、C、E 三点共线，∴ ∠BCD＝180°－75°＝105°。在 △BCD 中，∠BDC＝180°－35°－105°＝40°。答：∠BDC＝40°。 【变式3】解：设 ∠B、∠C 的外角分别为 180°－∠B、180°－∠C。∵ BP、CP 分别平分这两个外角，∴ 在 △BPC 中，∠PBC＝90°－∠B，∠PCB＝90°－∠C。∴ ∠BPC＝（∠B＋∠C）＝90°－∠A。 【变式4】解：一内一外角平分线相交时，所得较小角等于未参与平分的第三个内角的一半。∴ ∠P₁＝×128°＝64°。同理，∠P₂＝∠P₁，依次每次减半。∴ ∠P₆＝64°÷2⁵＝2°。故选 A。 题型12 【变式1】解：∵ ∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴ ∠A＝65°。沿 CD 折叠后 A 与 E 重合，∴ CA 与 CE 对应，∠ACD＝∠DCE＝45°。在 △ACD 中，∠ADC＝180°－65°－45°＝70°。又∵ 折叠前后对应角相等，∴ ∠CDE＝70°，∠ADE＝140°。∵ A、D、B 三点共线，∴ ∠BDE＝180°－140°＝40°。答：∠BDE＝40°。 【变式2】证明：设 ∠AED＝x，∠ADE＝y，则 x＋y＋∠A＝180°。∵ 折叠前后对应角相等，∴ ∠A′ED＝x，∠A′DE＝y。又∵ A、E、C 三点共线，A、D、B 三点共线，∴ ∠1＝180°－2x，∠2＝180°－2y。∴ ∠1＋∠2＝360°－2（x＋y）＝2∠A。故选 B。 【变式3】解：∵ A′B 平分 ∠ABC，A′C 平分 ∠ACB，∴ ∠A′BC＝∠ABC，∠A′CB＝∠ACB。在 △BA′C 中，∵ ∠BA′C＝120°，∴ （∠ABC＋∠ACB）＝60°，∴ ∠ABC＋∠ACB＝120°，∠A＝60°。由内部折叠关系 ∠1＋∠2＝2∠A，∴ ∠1＋∠2＝120°。答：120°。 【变式4】证明：（1）设 ∠AED＝x，∠ADE＝y，则 x＋y＋∠A＝180°。点 A 折到四边形 BCDE 内部时，∵ 折叠前后对应角相等，∴ ∠1＝180°－2x，∠2＝180°－2y，∴ ∠1＋∠2＝360°－2（x＋y）＝2∠A。（2）点 A 折到四边形 BCDE 外部的 A″ 时，按图中 ∠1、∠2 的取法仍有 ∠1＝180°－2x，∠2＝180°－2y，∴ ∠1＋∠2＝2∠A。答：两种位置下均有 2∠A＝∠1＋∠2。 题型13 【变式1】解：外角为 110°，∴ 与它相邻的内角为 70°。① 若 70° 为顶角，则两个底角均为（180°－70°）÷2＝55°；② 若 70° 为底角，则另一个底角也为 70°，顶角为 40°。答：三个内角为 70°、55°、55°，或 70°、70°、40°。 【变式2】解：等腰三角形只有两种不同的角：顶角和底角。① 若顶角比底角大 36°，设底角为 x°，则 x＋x＋（x＋36）＝180，解得 x＝48，顶角为 84°；② 若底角比顶角大 36°，设顶角为 x°，则 x＋2（x＋36）＝180，解得 x＝36，底角为 72°。答：84°、48°、48°，或 36°、72°、72°。 【变式3】解：∠A＝2∠B，且有一个内角为 60°。① 若 ∠A＝60°，则 ∠B＝30°，∠C＝90°；② 若 ∠B＝60°，则 ∠A＝120°，此时 ∠C＝0°，舍去；③ 若 ∠C＝60°，则 ∠A＋∠B＝120°，且 ∠A＝2∠B，解得 ∠B＝40°，∠A＝80°。答：三个内角为 60°、30°、90°，或 80°、40°、60°。 【变式4】解：设另外两个内角中较小的为 x°，较大的为 3x°。∵ 36°＋x＋3x＝180°，∴ x＝36°，3x＝108°。∴ 三个内角为 36°、36°、108°，其中最大角大于 90°。答：另外两个内角为 36°、108°，该三角形是钝角三角形。 人教版八年级数学上册第13章三角形 · 题型与模型专项 学科网（北京）股份有限公司 $