第13章三角形典例精选与跟踪训练-2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 以三角形核心概念为载体，通过典例与跟踪训练结合，系统整合三边关系、角平分线、外角性质等知识，突出推理意识与分类讨论思想，形成“概念-性质-应用”的递进逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精选|3道|①三边关系判定三角形构成；②角平分线定义与等量代换证平行；③动态问题分类讨论与外角性质应用|从边的计算到角的推理，再到动态探究，层层递进| |跟踪训练|19题（单选8/填空6/解答5）|①三角形稳定性实际应用；②中线分面积规律；③内外角平分线夹角计算模型|覆盖三角形概念、性质及应用，强化几何直观与空间观念|

第13章三角形 典例精选 1．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 2．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，，，是的角平分线．试说明： 证明： 是的角平分线 ∴________（角平分线的定义） 又（已知） （     ） ∴________（     ） （     ） 又（已知） ∴_________（     ） （     ） 3．如图1，平分，为上一点（不与点重合），过点的直线与射线交于点，且． (1)求证：； (2)点在线段上，点在射线上（不与点、重合），连接，作的角平分线与相交于点． ①如图2，若，，求的度数． ②直接写出与的数量关系． 跟踪训练 一、单选题 1．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，8 D．4，5，6 3．下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 4．如图，是△ABC的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D，E分别是边，的中点，若的面积为8，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．3 6．如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 7．如图，在中，，若是的高，是的角平分线，与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在晃动的椅子腿与坐板间钉一根木条可以防止椅子摇晃，这种做法体现的数学原理是______． 10．在中，，，则这个三角形是_______三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）． 11．如图，的外角是______________． 12．如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是________． 13．如图，和是的外角，，，若，则___________． 14．在综合实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为的三角形的个数进行了探究，发现：当时，只有一种情况，即；当时，有和两种情况，即；当时，有，，和四种情况，即；…，若，则的值为________；若，则的值为________． 三、解答题 15．已知a、b、c是的三边． (1)若，，求第三边c的取值范围； (2)若，，第三边c为偶数，判断的形状． 16．如图，在中，是角平分线，，，，求的度数． 17．如图，在中，，，于，平分． (1)求的度数； (2)填空：若、的度数分别是、，则的度数为_____________（用含、的代数式表示）． 18．在中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 19．如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 典例精选答案 1．(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【详解】（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 2．；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】因为是的角平分线，所以根据角平分线定义得到两个角相等．结合已知，通过等量代换得到．如果内错角相等，那么两直线平行，据此判定对应的两条直线平行．根据两直线平行，同旁内角互补，得到．结合已知，通过同角的补角相等得到两个角相等．最后根据同位角相等或者内错角相等，判定． 【详解】证明： 是的角平分线， ∴（角平分线的定义）． 又（已知）， （ 等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， ∴（同角的补角相等）． （同位角相等，两直线平行）． 3．(1)证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ (2)① ②若点在点左侧，；若点在点右侧， 【分析】（1）利用角平分线得到角相等，结合已知条件等量代换，证出内错角相等，判定两直线平行； （2）①运用三角形外角性质，先求出，再把看作的外角，代入已知角度计算结果； ②分两种位置分类讨论，情况一：若点在点左侧，情况二：若点在点右侧，借助角平分线、三角形外角性质，整体代换推导两角关系即可． 【详解】（1）略； （2）①如图2，在中， ∵，是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； ②情况一：若点在点左侧，如图2， 在中， ∵，是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； 情况二：若点在点右侧，如图： ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点，，共线， ∴， ∵是的外角， ∴ ， ∴． 【点睛】角度关系探究需脱离特殊数值，利用通用角关系推导，根据点的不同位置分类讨论，避免漏解． 跟踪训练答案 1．B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各组线段是否能组成三角形． 【详解】解：对于选项A：∵，∴不能组成三角形． 对于选项B：∵，∴不能组成三角形． 对于选项C：∵，∴不能组成三角形． 对于选项D：∵，∴能组成三角形． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义． 逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性． 【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段都能围成三角形，此选项不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意； C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交于一点，此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，此选项符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了三角形的外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，据此先计算，再求出即可． 【详解】解：点D是边的中点，， ， 点E是边的中点， ， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查角平分线定义，三角形内角和定理和外角的性质，由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，求得，，由对顶角相等得，由三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分, ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．C 【分析】先根据三角形的内角和定理得出，再利用平角的定义得出，最后根据，得出即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ． ，， ， ， ， 故选：C． 9．三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：在晃动的椅子腿与坐板间钉一根木条可以防止椅子摇晃，这种做法体现的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 10．直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理应用，三角形形状的判断．根据已知条件，利用三角形内角和定理，先求出的度数，再求出的度数，根据角度判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 11．，， 【分析】本题考查三角形外角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据三角形外角的定义进行判断即可． 【详解】解：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 是中的一边与另一边的延长线组成的角， 则图中的外角为，，， 故答案为：，，． 12．6 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积是3， ∴ ， 故答案为：6． 13．135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，则，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14． 12 100 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系，能通过计算发现与之间的关系是解题的关键． 依次求出，2，3，…，时的值，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，有如下情况： ，，，，，， 所以． 以此类推，当时，； 当时，； …， 因为， ， ， ， ， ， …， 所以当时， ． 故答案为：12，100． 15．(1) (2)等腰三角形 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及三角形形状的判断；解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这一基本性质． （1）直接应用三角形三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，代入数值计算即可； （2）同样先由三边关系求出第三边的取值范围，再结合“为偶数”这一条件确定的具体值，最后，通过比较三边长的平方关系来判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵ ∴． （2）∵，即，第三边为偶数， ∴第三边， ∴， ∴该三角形为等腰三角形． 16． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义及直角三角形的性质，解题的关键是先求出的度数，再利用角平分线和直角三角形的性质计算角度． 根据三角形内角和求出；由角平分线定义得；结合，利用直角三角形两锐角互余求． 【详解】解： 在中，，， ． 是角平分线， ． ， ， ． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义及角度计算；解题的关键是熟练运用三角形内角和求出相关角，再通过角平分线和高线的性质进行角度转换；易错点是在计算过程中忽略角度关系或代数化简错误． （1）利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线定义得到的度数，由垂直定义得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出的度数，可通过与的差求得． （2）思路与（1）一致，根据题意用用含、的代数式表示即可． 【详解】（1）解：，， ． 是的平分线， ． ， ， ， ． （2），， ． 是的平分线， ． ， ， ， ．   故． 18．(1) (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解； （2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到． 【详解】（1）解：， ， ∵平分 平分， ， ， ， ， ， 当时，； （2）解：， ∵平分 平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形外角性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． （2）， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ， 故与的数量关系为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $