13 模型构建专题 与三角形的双角平分线有关的常见解题模型&利用8字型飞镖型转化求角度（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材 贵州专版）

模型构建专题、 与三角形的双角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 类型1两内角平分线的夹角 3.如图，点P是△ABC的内角∠ABC和外角 基本模型提炼：如图，在△ABC中， ∠ACD的平分线的交点，试探究∠P与∠A BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB. 之间的数量关系。 结论：∠B0C=90+∠A. 1.如图，P是△ABC内一点，∠C=70° (1)若∠PAC=20°，∠PBC=40°，求∠APB 的度数； (2)若AP,BP分别为∠CAB,∠CBA的平 分线，求∠APB的度数. 类型3两外角平分线的夹角 基本模型提炼：如图，BD,CD分别 是△ABC的外角∠EBC和∠BCF 的平分线 结论：∠BDC=90°一 1 ∠A 4.如图，点P是△ABC的两个外角∠EBC, ∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A 之间的数量关系。 类型2一内角平分线与一外角平分线的夹角 基本模型提炼：如图，BD,CD分别 是△ABC的内角∠ABC和外角 ∠ACE的平分线. 结论：∠D=∠A. 2.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， CE是外角∠ACM的平分 线，BE与CE相交于点E.若 ∠A=60°，则∠E的度数 为 第十三章三角形11 模型构建专题利用“8字型“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 基本模型提炼：“8字型”：如图①，∠1十∠2=∠3十∠4： 解法二：（构造“8字型”） “飞镖型”：如图②，连接AO并延长（或延长BO,交 AC于点D或连接BC等)，易得∠BOC=∠B+ ∠BAC+∠C. 53 图① 图② 4.(教材P22复习题T9变式)（贵阳期中）如图 (一)直接运用基本模型 ①，根据图形填空： 1.一个零件形状的示意图如图所示，∠B 20°，∠D=30°.若按规定∠A=90°时这个零 件合格，则此时∠BCD的度数为 图① 图② (1)∠1=∠C+ ,∠2=∠B+ (2)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= (第1题图) (第2题图) ∠1+∠2=； 2.小明一笔画成的图形如图所示，若∠C= 【应用】 30°，则∠A+∠B+∠D+∠E的度数为 (3)如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数、 (二)构造基本模型 3.【一题多解】一把帆布折椅的侧面示意图如 图所示，∠A=28°，∠D=12°，∠ABC=64°， ∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED 的度数.（请将下面解题过程补充完整） 解法一：（直接运用“飞镖型”结论） 【变式题】如图，∠BOF=120°，求∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数， 12数学Ⅱ八年级上册参考答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.C2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC(4)AB BE3.C4.4△ABC,△BCD,△ACD,△ABD2△ABC,△ACD5.△ABC, △ADC△ABE,△ADE,△ACE△ABD 能力提升 6.D7.628.89.解：(1)锐角三角形有△ADE,直角三角形有△ACD,△ABD, △ABC,钝角三角形有△CDE.(2)等腰三角形有△ADE,△CED,等边三角形有△ADE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥 基础过关 1.A2.B3.6(答案不唯一)4.解：(1)a=5,b=8,∴.8-5<c<8十5.即3<c<13. 帐 (2)3<c<13,且c为小于6的奇数，.c=5..△ABC的周长为5十8+5=18.5.A 能力提升 6.B7.2b8.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm.依题意，得x十3x十3x=21,解得 x=3.则等腰三角形的腰长为3×3=9(cm)..等腰三角形的各边长分别为3cm,9cm, 9cm.(2)能.理由如下：当5cm的边为底边时，其腰长为(21-5)÷2=8(cm),5十8=13> 8,能围成等腰三角形；当5cm的边为腰长时，其底边长为21-5-5=11(cm),5十5=10< 11,不能构成三角形.综上所述，能围成底边长是5cm的等腰三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②平分线③三角形的高 例题引路 【例1】解：AE是△ABC的中线，∴.BE=EC=4cm.AD是△ABC的高，∴AD⊥BC ABEAD=10 em. 易错典例 【例2】16或8 基础过关 01.D2.BCBC SANCD SAMC63.31°4.②④5.C6.A7.15 4 线 能力提升 8.D9.C 0号 1L,证明：：AD是△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠CAD.:PM∥ AC,PN∥AB,.∠APM=∠CAD,∠APN=∠BAD.∴.∠APM=∠APN..PA平分 ∠MPN. 教材拓展角 与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 号【延伸问3【变式题12.5【室式题211) (2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 新知梳理 180 61 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x=20,则 3x=60,5x=100,∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：(1)35(2)：∠ADC= 80°，∠CAD=35°，∴.∠C=180°-∠ADC-∠CAD=65°..∠B=180°-∠BAC-∠C 45°. 基础过关 1.B2.C3.B4.B5.68°6.C7.160 能力提升 8.A9.60°10.26°11.解：(1)∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE,CD分别是∠BAC, ∠ACB的平分线，∴∠FAC=40°，∠FCA=20°.∴.∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°. (2)∠B=80°，.∠BAC+∠BCA=180°-∠B=100°.AE,CD分别是∠BAC,∠ACB 的平分线，∠FAC=合∠BAC,∠FCA=号∠CA.∴∠FAC+∠FCA=合（∠BAC+ ∠BCA)=50°...∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=130°， 思维拓展 12.(1)证明：：DE∥BC.∴.∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.:∠DAB十∠BAC+∠EAC= 180°，.∠BAC+∠B+∠C=180°.(2)解：由(1)知∠DAB=∠ABC,∠EAC=∠ACB, :AF平分∠EAC,BF平分∠ABC,∠ABF=∠ABC,∠CAF=合∠EAC∴∠ABF+ ∠CAF-(∠ABC+∠EAC)=(∠DAB+∠EAC.:∠DAB+∠EAC+∠BAC- 180°，∠ABF+∠CAF+∠AFB+∠BAC=180°，·∠DAB+∠EAC=∠ABF+∠CAF+ ∠AFB.∴.∠AFB=(∠DAB十∠EAC)-(∠ABF+∠CAF)=(∠DAB+∠EAC) (∠DAB+∠EAC)=(∠DAB+∠EAC.“∠BAC=80.(∠DAB+∠EAO= 210-∠BAC)=50.∠AFB=50. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.A2.52°3.22.5°4.C5.证明：∠A+∠2+∠1+∠B=180°，∠A=∠2，∠1= ∠B,.2∠1+2∠2=180°，即∠1十∠2=90°..∠ACB=90°..△ABC是直角三角形. 能力提升 6.D7.C8.22.5°9.证明：：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.EP为∠BEF的平 分线，FP为∠EFD的平分线∠PEF=子∠BEF,∠PFE=子∠DFE,∠PEF+ ∠PFE=合（∠BEF+∠DFE)=90,∴△EPF为直角三角形. 方法技巧专题三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40.AE平分 ∠BAC,∠BAE=合∠BAC=20.:AD是BC边上的商∠D=90.∴∠BAD=90 ∠B=60°..∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°.【变式题1】解：(1)，∠B=36°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=7.:AD平分∠BAC∠CAD=号∠BAC=37,:AEL BC,∠AEC=90°，∠CAE=90°-∠C=20°，.∠DAE=∠CAD-∠CAE=17°.(2)：AD 平分∠BAC,·∠CAD=号∠BAC=号(180-∠C-∠B).AE⊥BC,∠AEC=90 ∴∠CAE=90°-∠C.∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=2(180°-∠C-∠B)-(90°-∠C) =(∠C-∠B)=10.【变式题2】解：猜想：∠DEF=(∠C-∠B).证明如下：过点A -62 作AG⊥BC于点G.:EF⊥BC,AG∥EF,.∠DAG=∠DEF.易得∠DAG= (Zc ∠B∴∠DEF=(∠C-∠B.【拓展应用11)∠F=（∠C-∠B)(2)32 (3)22 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40° -60=80.:CE是∠ACD的平分线∠DCE=立∠ACD.:∠ACD=180-∠ACB= 180°-60°=120°，.∠DCE=60°，.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.B2.A【变式题】D3.604.85°5.解：AE∥BD,.∠ADB=∠1=95°.又 ∠ADB=∠C+∠2，∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 6.A7.D8.235°9.105°10.114°11.解：：DF⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°， .∠B=90°-∠D=35°，∴∠ACD=∠B+∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE= 30°+90°=120. 思维拓展 12.解：(1)由条件可知∠ECD=∠B+∠E=32°+36°=68°.CE平分∠ACD,.∠ACE= ∠ECD=68°.∴∠BAC=∠ACE+∠E=68°+36°=104°.(2)∠BAC=∠B+2∠E.证明如 下：：CE平分△ABC的外角∠ACD,∠ACE=∠ECD.:∠ECD=∠B+∠E,∴.∠BAC =∠ACE+∠E=∠ECD+∠E=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E,即∠BAC=∠B+2∠E. 模型构建专题与三角形的双角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 1.解：(1)∠C=70°，∠CAB+∠CBA=180°-70°=110°.∠PAC=20°，∠PBC=40°， ∴∠PAB+∠PBA=110°-20°-40°=50°，∴.∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 50°=130°.(2)由(1)知，∠CAB+∠CBA=110°.：AP,BP分别为∠CAB,∠CBA的平分 线，∠PAB=号∠CAB,∠PBA=号∠CBA,∠PAB+∠PBA=合∠CAB+合∠CBA 号（∠CAB+∠CBA)=号X110=5,∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 55=125.2.30°3.解：BP平分∠ABC,·∠PBC=∠ABC.:CP平分∠ACD, ∴∠PCD=号∠ACD:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠D,∠P=∠PCD -∠PBC=合∠ACD-∠ABC=合（∠ACD-∠ABC)=合∠A,即∠P=3∠A 4.解：：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC十∠A,∴∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A 十∠ABC+∠A=180°十∠A.BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线，，∠PBC= 合∠EBC,∠PCB=合∠FCB,∠PBC+∠nCB=合（∠EBC+∠FCB) 2(180+∠A)=90+号∠A,∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180-(90+合∠A) =90°-3∠A,即∠P=90°-∠A 模型构建专题利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 1.140°2.210°3.解：解法一：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°， .∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+ ∠D十∠AOD=1I0°.解法二：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD 63 =110°.∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴.∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE ∠CDE=70°..∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°.4.解：(1）∠E∠D (2)∠A180(3):∠AFG是△CEF的一个外角，∠AGF是△BDG的一个外角， ∴.∠AFG=∠C+∠E,∠AGF=∠B+∠D.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°， ∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°.即∠A十∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【变式题】 解：连接EF.由题意，得∠BOF=∠B十∠C=∠EFO十∠FEO=120°，∠A十∠D=∠DFE+ ∠AEF.·∠A+∠D+∠CFD+∠AEB=∠DFE+∠AEF+∠CFD+∠AEB=∠EFO+ ∠FEO=120°.∴.∠A十∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240. 数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1 动手操作1：解：如图所示 延伸问：解：先把3根火柴棒拼成一个等边三角 形，再把剩下的3根火柴棒与原来的3根火柴棒组合成三棱锥，如图所示， 三棱 锥有四个面，每个面都是一样大小的三角形.动手操作2：解：如图所示 移动 最上面两根火柴棒即可.【变式题】解：如图所示 活动2 解：(1)如图所示 456(2)按照上述三种方法，n边 形分别可以被分割成n一2，n一1，n个三角形. 第十三章章末复习 思维导图 大于小于180°互余互余不相邻 考点整合 1.C2.B3.解：(1)：a,b,c是△ABC的三边长，a=4,b=7,.b-a<c<b十a,即7-4< c<7十4..3<c<11.(2),a=4,b=7,a≠h.c必须与a或b相等，当c=a=4时，满足 3<c<11,即此时能构成三角形，此时△ABC的周长为4十4十7=15.当c=b=7时，满足 3<c<11,即此时能构成三角形，此时△ABC的周长为4十7+7=18.综上所述，△ABC的 周长是15或18.4.D5.稳定性6.D7.A8.D9.解：(1)S△c=7BC·AF 2X10X6=30.(2):Sax=AC,BG.AC=2=2X30-12(3):AD为 BG 5 △ABC的中线，.S△ABD=SAACD.10.B1L.B12.B13.6△ABD∠CAE 14.100°15.(1)证明：：∠1十∠2=180°，∠2=∠FDN,∴∠1十∠FDN=180°，.CF∥ NE,∴∠C=∠ENB.又：∠3=∠C,∴∠3=∠ENB,∴.EF∥BC.(2)解：'∠2为△DMN 的外角，∴.∠DNM=∠2-∠DMN=110°-35°=75.：CF∥NE,∴∠C=∠DNM=75°. 聚焦课标 16.解：(1)=(2)△AOF(3)2:12:1(4)由条件可知BF:EF=CF：DF=2:1, ∴BF=号BE=6,DF=号CD=7.:BE⊥CD∴△BFD的面积为之BF·DF=号X6X 7=21.∴.四边形ADFE的面积=2S△FD=2×21=42. 64 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 新知梳理 ①全等形全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 例题引路 【例I】解：(1)：△EFG≌△NMH,·边FG的对应边是MH,∠EGF的对应角是∠NHM, (2)△EFG≌△NMH,.MN=EF=2.1cm,FG=MH=3.3cm.FH=1.1cm, :'HG=FG-FH=2.2 cm. 易错典例 【例219或6 基础过关 1.C2.C3.C4.≌∠A'∠A'B'C'∠CAB与A'B',BC与B'C',AC与A'C 5.A6.C7.358.解：(1)△ABE≌△ACD,.BE=CD=6.DE=2,.CE=CD DE=4..BC=BE十CE=10.(2)△ABE≌△ACD,.∠ADE=∠AED.∠DAE=20°， ∴∠AED=2180°-∠DA=80: 能力提升 9.B10.B11.65°12.解：△ABC≌△ADE,.∠BAC=∠DAE=（∠EAB ∠CAD)=之X(120°-10)=55.：∠DFB是△FAB的外角，∠DFB=∠FAB+∠B= ∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°.：∠DFB是△GDF的外角，∴∠DGB= ∠DFB-∠D=90°-25°=65. 思维拓展 13.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：'△BAD≌△ACE,∴.BD=AE,AD=CE..BD= AE=AD十DE=CE+DE,即BD=DE+CE.(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE.理 由如下：：BD∥CE,∴∠E=∠BDE.△BAD≌△ACE,∠ADB=∠E.∴∠ADB= ∠BDE.:∠ADB+∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，∴∠ADB=90. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 新知梳理 ①全等边角边SAS②不一定 例题引路 【例1】证明：：∠1=∠2，∴∠1十∠EBC=∠2+∠EBC,即∠ABC=∠EBD.在△ABC和 BA=BE, △EBD中，J∠ABC=∠EBD,.△ABC≌△EBD(SAS).【例2】证明：在△AOD和 BC=BD, AO-CO, △COB中， ∠AOD=∠COB,∴.△AOD≌△COB(SAS),∴∠D=∠B. OD=OB, 基础过关 AC=AD 1.B2.∠FCA=∠EBD3.证明：在△ABC和△ABD中，∠CAB=∠DAB,∴.△ABC≌ AB-AB. △ABD(SAS)..BC=BD.4.(1)证明：.AC∥DF,.∠ACB=∠F.BE=CF,∴.BE (AC=DF, CE=CF+CE,即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠F,∴.△ABC≌△DEF(SAS) BC=EF, 65 (2)解：由(1)，得△ABC≌△DEF,∴.∠DEF=∠B.∠B=50°，∴∠DEF=50.:∠F= 72°，∴.∠D=180°-∠DEF-∠F=58°.：AC∥DF,∴.∠EGC=∠D=58°.5.B 能力提升 6.B7.C8.解：(1)一(2)BD=CE,AB=AC,.AB-BD=AC-CE,.AD=AE.在 AB=AC, △ABE和△ACD中，J ∠A=∠A,.∴.△ABE≌△ACD(SAS),.∠B=∠C. AE=AD, 思维拓展 9.解：(1)BD=CE,BD⊥CE.(2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：：∠BAC=∠DAE=90°， ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS).·∠ABD=∠ACE,BD=CE.延长BD交 AD=AE, AC于点F,交CE于点H.在△ABF和△HCF中，：∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC, .由三角形内角和定理易得∠CHF=∠BAF=90°..BD⊥CE. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 新知梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 例题引路 【例1】证明：：MQ⊥PN,∴.∠MQP=∠MQN=90°，∴.∠PMQ+∠P=90°.：NR⊥MP, ∴.∠NRP=90°，∴.∠HNQ+∠P=90°，.∠PMQ=∠HNQ.在△PMQ和△HNQ中， ∠MQP=∠NQH, MQ=NQ, .△PMQ≌△HNQ(ASA),.HN=PM.【例2】证明：.AD∥BC, ∠PMQ=∠HNQ, ∴∠A=∠C.:AE=CF,∴AE十EF=CF十EF,即AF=CE.在△ADF和△CBE中， ∠A=∠C, ∠D=∠B,.△ADF≌△CBE(AAS),∴AD=CB. AF=CE, 基础过关 1.∠AOC ∠BOD ASA2.AO=CO3.证明：在△ABC和△DEC中， ∠A=∠D, AB=DE,.△ABC≌△DEC(ASA).4.B5.46.证明：在△AOC和△BOD中， ∠B=∠E, ∠C=∠D, ∠AOC=∠BOD,.△AOC≌△BOD(AAS). AC=BD· 能力提升 7.D8.39.解：选择①OA=OC.AD∥BC,.∠DAO=∠BCO.在△DAO和△BCO中， ∠DAO=∠BCO, OA=OC, .△DAO≌△BCO(ASA).,.AD=CB.选择②∠ABC=∠CDA. ∠AOD=∠COB, ∠DAC=∠BCA, AD∥BC,∴.∠DAO=∠BCO.在△ADC和△CBA中， ∠CDA=∠ABC,∴.△ADC≌ AC=CA, △CBA(AAS)..AD=CB. 思维拓展 10.(1)解：∠AOB=∠DOC(答案不唯一)(2)证明：：O是AD的中点，∴.AO=OD.在 66