第25章 一元二次方程 单元自测基础卷 - 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级一元二次方程单元基础卷，适用于单元复习与周测，60分钟100分，覆盖方程定义、解法及应用，融合核心素养与现实情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|方程定义、解、根的判别式|基础概念辨析，如方程定义判断| |填空题|6/18|一般形式、参数取值、配方|结合配方变形考参数，如第11题| |解答题|7/58|解方程、根的判别式、面积/增长率/利润应用|世运会销量增长（21题）体现模型意识，阅读材料（17题）培养推理能力|

第25章 一元二次方程单元自测基础卷【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵任何实数的平方都是非负数，即，而， ∴该一元二次方程无实数根． 故选C． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 6．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 7．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）用因式分解法解方程，正确的是（   ） A．，， B．， C．，， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据因式分解法求解方程即可． 解：， ， 或， 解得：，， 故选：A． 8．（25-26九年级上·广东惠州·期末）已知，分别是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，再计算倒数和即可． 解：∵抛物线与轴交点的横坐标， 是方程的两根， ∴，， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 12．（2026·河南南阳·模拟预测）关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 8 解：一元二次方程 中， ， ，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，即， 解得，． 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．设每条小道的宽为x米，根据长方形面积公式，列出方程即可． 解：设每条小道的宽为x米，根据题意得： ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26九年级上·辽宁大连·期中）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查配方法解一元二次方程及求根公式法解一元二次方程： （1）配方，两边直接开平方即可得到答案； （2）定系数，算判别式，最后代入求根公式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：配方得， ， 两边开平方得， ， ∴； （2）解：由题意可得， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴ 16.（8分）（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求m的值与另一个根． 【答案】(1) 证明：， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根； (2)m的值为，另一个根为2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）设方程的另一个根为a，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的另一个根为a， ∵是方程的一个根， ∴，， 解得：，， 即m的值为，另一个根为2． 17.（8分）（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ， ， 代数式的最小值为； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值； 【拓展提高】（2）求的最大值． 【答案】（1）3；（2）5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据二次项与一次项的特点凑成完全平方式，利用平方数的非负性是解题的关键； （1）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最小值； （2）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最大值． 解：（1） ； ∵， ∴， ∴的最小值为3； （2） ； ∵， ∴， ∴的最大值为5． 18.（8分）（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1) 证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系数的关系是解题的关键． （1）通过计算判别式，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可； （2）由韦达定理得，，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：由韦达定理得，， 由于， 则， 解得， 因此m的值为． 19.（8分）（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】（1） 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． （2）解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 20.（8分）（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据右边宽与天头长的比为，即可求解； （2）根据“装裱后作品总面积为”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 21.（10分）（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设月平均增长率是x，结合数量关系列式求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 根据题意得：， 解：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率是； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每天的销售量为（件）， 当时，每天的销售量为（件）， ∵， ∴售价应降低20元， 答：售价应降低20元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程单元自测基础卷【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 5．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）用因式分解法解方程，正确的是（   ） A．，， B．， C．，， D．， 8．（25-26九年级上·广东惠州·期末）已知，分别是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 12．（2026·河南南阳·模拟预测）关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26九年级上·辽宁大连·期中）解下列方程 (1)； (2)． 16.（8分）（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求m的值与另一个根． 17.（8分）（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ， ， 代数式的最小值为； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值； 【拓展提高】（2）求的最大值． 18.（8分）（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 19.（8分）（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 20.（8分）（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 21.（10分）（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $