2.1 认识有理数 课时作业 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C三层设计，实现从基础概念到综合应用再到拓展探究的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|正数负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值、大小比较|选择填空为主，直接考查单一概念，如正负数表示相反意义的量| |B组能力提升|绝对值非负性、数轴距离计算、数的性质综合|解答题形式，综合运用多个知识点，如已知|x-3|=0求x值| |C组拓展探究|非有理数辨析、数轴上数的大小比较|含π等非有理数分类，培养批判性思维，如比较a、-a、b、-b大小|

北师大版数学七年级上册 第二章 1 认识有理数 课时作业 第二章 有理数及其运算 1 认识有理数 课 时 作 业 班级：____________ 姓名：____________ 得分：__________ 用时：________分钟 学习目标 1. 理解正数、负数的意义，会用正负数表示具有相反意义的量；2. 理解有理数的概念，会对有理数进行分类；3. 理解数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数；4. 理解相反数与绝对值的意义，会求一个有理数的相反数和绝对值；5. 会借助数轴比较两个有理数的大小。 一、知识梳理 知识点 1 正数与负数 （1）像 3，1.8，5% 这样大于 0 的数叫做正数；正数前面可以加上"+"号，也可以省略不写。 （2）在正数前面加上"-"号的数叫做负数，如 -3，-1.8，-5%。 （3）0 既不是正数，也不是负数。0 是正数与负数的分界。 易错提醒 不能认为"带负号的数就是负数"。例如 -a，当 a 是负数时，-a 反而是正数。判断一个数的正负，要看它的实际大小，而不是看它的形式。 在实际生活中，人们常用正数与负数来表示具有相反意义的量。例如： 实际情境 规定为正 则相反意义的量记为负 温度 零上 8 ℃ 记作 +8 ℃ 零下 5 ℃ 记作 -5 ℃ 收支 收入 200 元记作 +200 元 支出 150 元记作 -150 元 海拔 高于海平面 40 m 记作 +40 m 低于海平面 12 m 记作 -12 m 增减 增产 5% 记作 +5% 减产 3% 记作 -3% 方向 向东走 6 m 记作 +6 m 向西走 6 m 记作 -6 m 图 2-1 用正负数表示楼层 图 2-2 温度计上的正数与负数 知识点 2 有理数及其分类 整数和分数统称为有理数。其中，正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数。 有限小数和无限循环小数都可以写成分数，所以它们都是有理数。 图 2-3 有理数的分类（按整数、分数分） 有理数还可以按性质（正、负）分类： 分类标准 分 类 结 果 按定义分 有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） 按性质分 有理数分为正有理数、0、负有理数 易错提醒 ① 0 是整数，也是有理数，但它既不是正数也不是负数；② π 不是有理数（它不能写成两个整数相除的形式），所以像 π、2π 这样的数不属于有理数；③ 分类时要做到"不重不漏"，一个数只能归入一类。 知识点 3 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。 图 2-4 数轴的三要素 画数轴的一般步骤：①画一条水平直线；②在直线上任取一点作为原点，标上 0；③规定向右为正方向，画上箭头；④取适当长度作为单位长度，从原点向右、向左依次标上 1，2，3，…和 -1，-2，-3，… 要点 ① 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；② 正数在原点的右边，负数在原点的左边，0 在原点；③ 数轴上的点表示的数不一定都是有理数（这一点在以后会进一步学习）。 知识点 4 相反数 如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0 的相反数是 0。 图 2-5 互为相反数的两个数在数轴上的位置 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 求一个数的相反数，只需在这个数的前面添上"-"号，再化简。例如： 　　5 的相反数是 -5；　　-7 的相反数是 7；　　0 的相反数是 0； 　　 的相反数是 ；　　 的相反数是 。 注意 "相反数"是两个数之间的关系，不能单独说某个数是"相反数"；只有符号不同的两个数才互为相反数，如 3 与 -3，而 3 与 -5 不是互为相反数。 知识点 5 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。数 a 的绝对值记作 |a|。 图 2-6 绝对值的几何意义 由绝对值的意义可以得到： （1）一个正数的绝对值是它本身，如 |6| = 6； （2）0 的绝对值是 0，即 |0| = 0； （3）一个负数的绝对值是它的相反数，如 |-6| = 6。 重要结论 ① 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0；② 绝对值最小的有理数是 0；③ 互为相反数的两个数的绝对值相等；④ 若 |a| = |b|，则 a = b 或 a = -b。 知识点 6 有理数的大小比较 （1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 图 2-7 借助数轴比较大小 （2）正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。 （3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 例如：比较 -3 与 -5 的大小。因为 |-3| = 3，|-5| = 5，而 3 < 5，所以 -3 > -5。 二、典例精析 例 1 用正负数表示相反意义的量 （1）若把收入 500 元记作 +500 元，那么支出 320 元应记作什么？ （2）某天最高气温是零上 6 ℃，最低气温是零下 4 ℃，分别用正负数表示这两个温度，并求这一天的温差。 【解】（1）支出 320 元记作 -320 元。 （2）最高气温记作 +6 ℃，最低气温记作 -4 ℃。 　　温差就是两个温度之间相差的度数：从 -4 ℃ 上升到 0 ℃ 要升 4 ℃，从 0 ℃ 再上升到 6 ℃ 要升 6 ℃， 　　所以温差为 4 + 6 = 10（℃）。 【解析】用正负数表示相反意义的量时，先明确"以什么为正"，与它意义相反的量就记为负。求温差可以借助温度计（相当于竖直放置的数轴）数格子。 例 2 有理数的分类 把下列各数填入相应的集合中： 　　-8，　，　0，　+2.5，　-1.2，　7，　，　-0.3，　π，　+100。 　　正数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}。 【解】正数集合：，+2.5，7，π，+100； 负数集合：-8，-1.2，，-0.3； 整数集合：-8，0，7，+100； 分数集合：，+2.5，-1.2，，-0.3。 【解析】注意三点：① 0 既不是正数也不是负数，但它是整数；② 有限小数（如 +2.5，-1.2，-0.3）都可以化成分数，属于分数；③ π 是正数，但它不是分数，也不是有理数，所以不能填入整数集合或分数集合。 例 3 数轴与相反数、绝对值 （1）在数轴上标出下列各数对应的点：-3.5，-1，0，2，3.5。 （2）分别写出 -3.5 和 2 的相反数。 （3）分别求 |-3.5|，|0|，|2| 的值。 图 2-8 例 3 用图 【解】（1）略（在数轴上依次描点即可，-3.5 在 -3 与 -4 的正中间，3.5 在 3 与 4 的正中间）。 （2）-3.5 的相反数是 3.5；2 的相反数是 -2。 （3）|-3.5| = 3.5，|0| = 0，|2| = 2。 【解析】求相反数只改变符号，不改变绝对值；求绝对值就是求这个数到原点的距离，结果一定是非负数。 例 4 比较有理数的大小 比较下列各组数的大小： （1）-2 与 3；　（2）-2 与 -7；　（3） 与 。 【解】（1）正数大于一切负数，所以 -2 < 3。 （2）因为 |-2| = 2，|-7| = 7，且 2 < 7， 　　两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以 -2 > -7。 （3）先求绝对值：，。 　　通分：，，因为 ， 　　所以 ，由"两个负数绝对值大的反而小"得 。 【解析】比较两个负数的大小，一般分三步：①分别求出它们的绝对值；②比较两个绝对值的大小（分数要先通分或化成小数）；③绝对值大的那个数反而小。 三、课时作业 A 组 基础巩固 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列各数中，是负数的是（　　） 　　A. 0　　　B. -3　　　C. +5　　　D. 2.7 2. 下列说法中，正确的是（　　） 　　A. 0 是正数　　　　　　　　B. 0 是负数 　　C. 0 既不是正数也不是负数　　D. 0 不是有理数 3. 在 -5，0，，-2.6，8 这五个数中，整数的个数是（　　） 　　A. 1 个　　　B. 2 个　　　C. 3 个　　　D. 4 个 4. 若向北走 8 m 记作 +8 m，则 -5 m 表示（　　） 　　A. 向北走 5 m　　　B. 向南走 5 m　　　C. 向东走 5 m　　　D. 向西走 5 m 5. -6 的相反数是（　　） 　　A. 6　　　B. -6　　　C. 　　　D. 6. |-9| 的值是（　　） 　　A. -9　　　B. 9　　　C. 0　　　D. ±9 7. 下列各数中，最小的数是（　　） 　　A. -3　　　B. 0　　　C. -1　　　D. 2 8. 数轴上表示 -2 的点与表示 3 的点之间的距离是（　　） 　　A. 1　　　B. 2　　　C. 3　　　D. 5 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 9. 若盈利 300 元记作 +300 元，则亏损 180 元记作__________元。 10. 数轴的三要素是____________、____________和____________。 11. 的相反数是__________，绝对值是__________。 12. 绝对值等于 4 的数是__________。 13. 比较大小（填"＞""＜"或"＝"）：-3______-8；　0______-1.5；　 　　______。 14. 绝对值最小的有理数是__________；最大的负整数是__________；最小的正整数是__________。 15. 若 |a| = 7，则 a = __________。 三、解答题（共 28 分） 16.（8 分）把下列各数填入相应的集合中： 　　-15，　，　0，　-0.75，　+6，　，　2.4，　-100，　π。 　　（1）正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　（2）负有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　（3）整数集合：　　{　　　　　　　　　　　　　　…}； 　　（4）非负整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}。 17.（10 分）已知下列各数：-4，2.5，0，-1，3。 　　（1）画一条数轴，并把这些数在数轴上表示出来； 　　（2）用"＜"号把它们连接起来； 　　（3）分别写出它们的相反数与绝对值。 图 2-9 第 17 题用图 18.（10 分）某超市一周内每天的营业额与前一天相比的变化情况如下表（增加为正，减少为负，单位：万元）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 +1.2 -0.8 +0.5 -1.5 +2.1 +3.6 -0.4 　　（1）哪一天的营业额比前一天增加得最多？哪一天减少得最多？ 　　（2）把这 7 个数按从小到大的顺序排列； 　　（3）分别求出这 7 个数的绝对值，并说明绝对值在这里表示什么实际意义。 B 组 能力提升 19.（8 分）已知 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是最小的正整数。 　　（1）分别写出 a、b、c 的值； 　　（2）在数轴上标出 a、b、c 对应的点； 　　（3）求 |a| + |b| + |c| 的值。 20.（8 分）若 |x - 3| = 0，|y + 2| = 0，求 x 和 y 的值，并说明理由。 　　进一步思考：若 |m - 1| + |n + 5| = 0，你能求出 m 和 n 吗？ 21.（8 分）数轴上点 A 表示的数是 -3，点 B 表示的数是 5。 　　（1）求 A、B 两点之间的距离； 　　（2）若点 C 在数轴上，且点 C 到点 A 的距离等于 2，求点 C 表示的数； 　　（3）若点 D 到点 A 与到点 B 的距离相等，求点 D 表示的数。 C 组 拓展探究 22.（10 分）小明在学习中遇到下面一组数：4，，-0.25，0，，，π，。 　　（1）其中哪些是整数？哪些是分数？ 　　（2）其中哪些是有理数？ 　　【知识链接（了解即可）】　符号 表示非负数 a 的算术平方根，即"平方等于 a 的那个非负数"。例如 ，因为 3 × 3 = 9；而 不能写成两个整数相除的形式。本题只需用到这一点。 23.（8 分）已知有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示：a 在原点左边，b 在原点右边，且 a 到原点的距离大于 b 到原点的距离。 　　（1）判断 a、b 的正负； 　　（2）比较 |a| 与 |b| 的大小； 　　（3）在 a、-a、b、-b 这四个数中，哪个最大？哪个最小？请说明理由。 四、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1. B　2. C　3. C　4. B　5. A　6. B　7. A　8. D 详解： 1. 小于 0 的数是负数。0 既不是正数也不是负数，+5 和 2.7 都是正数，只有 -3 是负数，选 B。 2. 0 既不是正数也不是负数，但 0 是整数，也是有理数，选 C。 3. 整数有 -5、0、8 共 3 个； 和 -2.6 是分数，选 C。 4. 向北为正，则向南为负，所以 -5 m 表示向南走 5 m，选 B。 5. 只有符号不同的两个数互为相反数，-6 的相反数是 6，选 A。 6. 负数的绝对值是它的相反数，所以 |-9| = 9，选 B。 7. 负数都小于 0，两个负数中绝对值大的反而小。|-3| = 3 > |-1| = 1，所以 -3 < -1 < 0 < 2，最小的是 -3，选 A。 8. 从 -2 到 0 有 2 个单位长度，从 0 到 3 有 3 个单位长度，共 2 + 3 = 5 个单位长度，选 D。 二、填空题 9. -180 10. 原点；正方向；单位长度 11. ； 相反数只改变符号， 的相反数是 ；负数的绝对值是它的相反数，所以绝对值也是 。 12. 4 或 -4（即 ±4） 绝对值表示到原点的距离，到原点距离为 4 的点有两个，分别表示 4 和 -4。 13. ＞；　＞；　＜ 因为 |-3| = 3 < |-8| = 8，两个负数绝对值大的反而小，所以 -3 > -8； 0 大于一切负数，所以 0 > -1.5； 因为 ，，且 ， 　　所以 。 14. 0；-1；1 15. 7 或 -7 三、解答题 16.（1）正有理数集合：，+6，2.4； （2）负有理数集合：-15，-0.75，，-100； （3）整数集合：-15，0，+6，-100； （4）非负整数集合：0，+6。 说明：π 是正数，但它不是有理数，所以不能填入（1）（3）（4）中的任何一个集合； 　　非负整数指的是 0 和正整数，所以 0 和 +6 都要填。 17.（1）略（数轴上从左到右依次是 -4，-1，0，2.5，3） （2）-4 ＜ -1 ＜ 0 ＜ 2.5 ＜ 3。 （3）它们的相反数依次是：4，-2.5，0，1，-3； 　　它们的绝对值依次是：4，2.5，0，1，3。 　　（数轴上右边的数总比左边的数大，所以按数轴上从左到右的顺序排列即可。） 18.（1）星期六增加得最多，星期四减少得最多 （1）"增加得最多"就是正数中最大的，+3.6 最大，出现在星期六； 　　"减少得最多"就是负数中绝对值最大的，|-1.5| = 1.5 最大，出现在星期四。 （2）从小到大排列：-1.5 ＜ -0.8 ＜ -0.4 ＜ +0.5 ＜ +1.2 ＜ +2.1 ＜ +3.6。 （3）这 7 个数的绝对值依次是：1.2，0.8，0.5，1.5，2.1，3.6，0.4。 　　绝对值在这里表示营业额变化的"幅度"，即比前一天增加或减少了多少万元， 　　它只反映变化的大小，不反映是增加还是减少。 B 组 能力提升 19.（1）a = -1，b = 0，c = 1　（2）略　（3）2 （1）最大的负整数是 -1，所以 a = -1；绝对值最小的有理数是 0，所以 b = 0； 　　最小的正整数是 1，所以 c = 1。 （2）在数轴上，-1 在原点左边 1 个单位处，0 在原点，1 在原点右边 1 个单位处。 （3）|a| + |b| + |c| = |-1| + |0| + |1| = 1 + 0 + 1 = 2。 20. x = 3，y = -2；m = 1，n = -5。 理由：绝对值表示距离，只有 0 到原点的距离才是 0，所以一个数的绝对值等于 0 时，这个数一定是 0。 由 |x - 3| = 0 得 x - 3 = 0，所以 x = 3； 由 |y + 2| = 0 得 y + 2 = 0，所以 y = -2。 进一步思考：因为任何有理数的绝对值都是非负数，即 |m - 1| ≥ 0，|n + 5| ≥ 0， 　　两个非负数相加等于 0，只可能它们同时等于 0， 　　所以 |m - 1| = 0 且 |n + 5| = 0，得 m - 1 = 0，n + 5 = 0， 　　所以 m = 1，n = -5。 　　（"几个非负数的和为 0，则每个都为 0"是今后常用的重要结论。） 21.（1）8　（2）-5 或 -1　（3）1 （1）从 -3 到 0 有 3 个单位长度，从 0 到 5 有 5 个单位长度， 　　所以 A、B 两点之间的距离是 3 + 5 = 8。 （2）点 C 到点 A 的距离为 2，C 可能在 A 的左边，也可能在 A 的右边： 　　在左边时，C 表示的数是 -3 - 2 = -5；在右边时，C 表示的数是 -3 + 2 = -1。 　　所以点 C 表示的数是 -5 或 -1。 （3）点 D 到 A、B 距离相等，说明 D 是线段 AB 的中点。 　　AB 的距离是 8，所以 D 到 A 的距离是 8 ÷ 2 = 4， 　　故点 D 表示的数是 -3 + 4 = 1。 C 组 拓展探究 22.（1）整数：4，，0，；　分数：-0.25，。 （2）有理数：4，，-0.25，0，，。 解析：判断一个数属于哪一类，要先把它化简，看它的"真面目"，不能只看外表形式。 　　，虽然写成了分数的形式，但化简后是整数 3，所以它是整数； 　　，因为 3 × 3 = 9，所以它也是整数； 　　-0.25 是有限小数，可以化成 ，所以是分数； 本身就是分数。 　　 和 π 都不能写成两个整数相除的形式，它们既不是整数也不是分数，因此不是有理数。 23.（1）a 是负数，b 是正数　（2）|a| ＞ |b|　（3）-a 最大，a 最小 （1）原点左边的数是负数，右边的数是正数，所以 a ＜ 0，b ＞ 0。 （2）绝对值表示到原点的距离。由题意，a 到原点的距离大于 b 到原点的距离，所以 |a| ＞ |b|。 （3）先判断这四个数的符号：a ＜ 0，-a ＞ 0，b ＞ 0，-b ＜ 0。 　　正数都大于负数，所以最大的一定在 -a 与 b 中，最小的一定在 a 与 -b 中。 　　因为 |-a| = |a| ＞ |b| = |b|，两个正数中绝对值大的反而大，所以 -a ＞ b，故 -a 最大； 　　又因为 |a| ＞ |-b|，两个负数中绝对值大的反而小，所以 a ＜ -b，故 a 最小。 　　综上：a ＜ -b ＜ 0 ＜ b ＜ -a，即 -a 最大，a 最小。 本课时小结 （1）用正负数表示相反意义的量，关键是先确定"以什么为正"；（2）有理数分类要抓住"整数和分数统称有理数"，注意 0 的归属，注意 π 不是有理数；（3）数轴三要素缺一不可，数轴是研究相反数、绝对值和大小比较的重要工具；（4）相反数只改符号，绝对值一定非负；（5）比较大小口诀："正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两负数比较，绝对值大的反而小。" 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $