第六章 概率的进一步认识 单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦概率的进一步认识，以交通信号灯、劳动课选课等生活情境为载体，考查频率计算、概率应用及数据统计综合能力，适配单元复习，培养数据意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|频率计算、随机事件概率（如绿灯概率）|结合频数分布直方图，考查数学眼光观察现实数据| |填空题|6/18|用频率估计概率（如石块投掷）、树状图分析|融入劳动课选课等时代情境，体现应用意识| |解答题|6/52|列表法/树状图求概率（如校本课程选择）、数据统计与概率综合（如演讲比赛成绩）|分层设计，从基础计算到综合应用，发展推理能力与数据观念|

第六章 概率的进一步认识（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、为了解本校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在25～30次的频率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【详解】解：仰卧起坐次数在25～30次的频率为， 2、某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小赵到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， 当小赵到达该路口时，遇到绿灯的概率， 3、小赵将一枚质量分布均匀的硬币连续抛20次，落地后正面朝上12次，反面朝上8次，下列说法正确的是（    ） A．出现正面的频率是12 B．出现正面的频率是8 C．出现正面的频率是 D．出现正面的频率是 【答案】D 【详解】解：∵小赵将一枚质量均匀的硬币连续抛20次，落地后正面朝上12次，反面朝上8次， ∴出现正面的频率是： ． 4、为了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在25～30次的频率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【详解】解：仰卧起坐次数在25～30次的频率为， 5、甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球（小球除颜色外其余均相同）的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），出现1点的概率 C．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】A 【详解】解：A、从一装有2个白球和1个红球（小球除颜色外其余均相同）的袋子中任取一球，取到红球的概率是，故此选项正确； B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），出现1点的概率为 ，故此选项错误； C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故此选项错误； D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为 ，故此选项错误； 6、如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使电路接通的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：根据题意画树状图，如图所示： ∵共有12种等可能的情况，其中能使电路接通的有8种情况， ∴能让灯泡发光的概率：，故C正确． 7、从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由题意，△=42-4ac≥0， ∴ac≤4， 画树状图如下： a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数， 所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为， 8、某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小刘获胜，若为黑球，则小马获胜，要使游戏对小刘、小马双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球， ∴黑球有个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小刘、小马双方公平， ∴， 解得，， 9、某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】摸到红球的频率为， 估计袋中红球的个数是个， 10、有一个从袋子中摸球的游戏，小赵根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（　　） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球 【答案】B 【详解】解：观察树形图可得：袋子中共有红，黄，蓝三个小球， 此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是6的概率是 ． 【答案】 【详解】解：掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数有6种可能，点数是6只有1种情况， 所以向上一面的点数是6的概率． 故答案为：． 12、有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是 . 石块的面 1 2 3 4 5 频数 17 28 15 16 24 【答案】 【详解】解：石块标记3的面落在地面上的频率是=， 于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是． 故答案为． 13、从2022年秋季开学，劳动课已正式成为中小学的一门独立课程，根据《义务教育劳动课程标准（2022年版）》方案，劳动课程平均每周不少于1课时，某校年级劳动课有四项传统工艺制作项目，分别为陶艺、纸工、布艺和木雕．小红和小明分别从4项工艺中随机选取一项，恰好选中同一项目的概率是______． 【答案】 【详解】解：将陶艺、纸工、布艺和木雕分别记为， 画出树状图如下： 由图可知，小红和小明分别从4项工艺中随机选取一项共有16种等可能的结果，其中，恰好选中同一项目的结果共有4种， 则小红和小明分别从4项工艺中随机选取一项，恰好选中同一项目的概率是， 故答案为：． 14、点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，1，2这四个数中任取一个数作为a的值，再从余下的三个数中任取一个数作b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第一象限内的概率是_____． 【答案】； 【详解】由题意画出树形图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中点P（a，b）恰好在第一象限有（1，2）和（2，1）共2种， ∴P（点P恰好在第一象限）=. 故答案为：. 15、某市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，小颖从入口进，出口出的概率是______． 【答案】 【详解】解：该展览馆有A、B两个入口，C、D、E三个出口，且从每个入口进入和每个出口出去的可能性是一样的，列树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小颖从A入口进E出口的有1种结果， ∴小颖从A入口进E出口的概率是， 故答案为： 16、抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 三、解答题：本题共6小题，共52分，17-18，每题7分，19题8分, 20-22，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共个，这些球除颜色外都相同，小赵每次摸球前先将袋子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复试验后发现，摸出红球的频率稳定在左右，请估计袋子中黄球的个数． 【答案】袋子中黄球的个数为个 【详解】解：设袋子中黄球的个数为个，由题意，得，解得， 袋子中黄球的个数为个． 18、从一副普通的扑克牌中取出三张牌，它们的牌面数字分别为2，3，6．将这三张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下数字．然后将抽取的牌背面朝上放回，洗匀，再从中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面教字恰好相同的概率． 【答案】 【详解】解：树状图如图所示： 共有9种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有3种， ∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为：． 19、临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．    (1)甲坐在①号座位上的概率是______． (2)用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为甲、乙、丙三人坐在①号座位上的概率相同 故甲坐在①号座位上的概率是： （2）解：画树状图如下∶    由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种， 所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为 20、某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度； （2）补全调查结果条形统计图； （3）小马和小王分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1）120，99 （2）见详解 （3） 【小问1详解】 解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名）， 则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：， 故答案为：120，99； 【小问2详解】 解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名）， 则选修“园艺”的学生人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、， 画树状图如下： 共有25种等可能结果，其中小马和小王两人恰好选到同一门课程的结果有5种， 小马和小王两人恰好选到同一门课程的概率为． 21、课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，赵老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，；很好；；较好；；一般；；较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）赵老师一共调查了多少名同学？ （2）类女生有______名，类男生有______名，将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，赵老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率， 【答案】（1） （2）3，1，见详解 （3） 【小问1详解】 解：， 赵老师一共调查了名同学； 【小问2详解】 解：依题意，， ， ∴类女生有3名，类男生有1名； 将条形统计图补充完整,如图所示： 故答案为：3，1； 【小问3详解】 解：依题意，列树状图如下： 一共有种等可能的结果，符合所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果有种， ∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为 22、某校开展“祖国在我心中”主题演讲比赛，参加选拔比赛的选手的成绩（满分为分），分成五组，制成了如下不完整的统计图表． 分数段 频数 频率 （1）求分数在参赛学生的频率； （2）求分数在参赛学生的频数，并补全频数分布直方图； （3）成绩在分以上的选手中，有三名男生和一名女生，学校从中随机确定名选手参加市级比赛，求恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）；（2）8人，见详解；（3） 【详解】解：（1）（人）， ， 所以分数在参赛学生的频率是； （2）（人） 分数在参赛学生的频数为人， 补全频数分布直方图如图所示： （3）画树状图 所以共有种结果，其中一男生和一女生结果有种， （一男生和一女生）． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 概率的进一步认识（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、为了解本校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在25～30次的频率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2、某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小赵到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 3、小赵将一枚质量分布均匀的硬币连续抛20次，落地后正面朝上12次，反面朝上8次，下列说法正确的是（    ） A．出现正面的频率是12 B．出现正面的频率是8 C．出现正面的频率是 D．出现正面的频率是 4、为了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在25～30次的频率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5、甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球（小球除颜色外其余均相同）的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），出现1点的概率 C．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 6、如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使电路接通的概率为（ ） A. B. C. D. 7、从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ） A. B. C. D. 8、某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小刘获胜，若为黑球，则小马获胜，要使游戏对小刘、小马双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 9、某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　） A． B． C． D． 10、有一个从袋子中摸球的游戏，小赵根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（　　） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是6的概率是 ． 12、有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是 . 石块的面 1 2 3 4 5 频数 17 28 15 16 24 13、从2022年秋季开学，劳动课已正式成为中小学的一门独立课程，根据《义务教育劳动课程标准（2022年版）》方案，劳动课程平均每周不少于1课时，某校年级劳动课有四项传统工艺制作项目，分别为陶艺、纸工、布艺和木雕．小红和小明分别从4项工艺中随机选取一项，恰好选中同一项目的概率是______． 14、点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，1，2这四个数中任取一个数作为a的值，再从余下的三个数中任取一个数作b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第一象限内的概率是_____． 15、某市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，小颖从入口进，出口出的概率是______． 16、抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 三、解答题：本题共6小题，共52分，17-18，每题7分，19题8分, 20-22，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共个，这些球除颜色外都相同，小赵每次摸球前先将袋子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复试验后发现，摸出红球的频率稳定在左右，请估计袋子中黄球的个数． 18、从一副普通的扑克牌中取出三张牌，它们的牌面数字分别为2，3，6．将这三张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下数字．然后将抽取的牌背面朝上放回，洗匀，再从中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面教字恰好相同的概率． 19、临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．    (1)甲坐在①号座位上的概率是______． (2)用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率． 20、某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度； （2）补全调查结果条形统计图； （3）小马和小王分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 21、课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，赵老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，；很好；；较好；；一般；；较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）赵老师一共调查了多少名同学？ （2）类女生有______名，类男生有______名，将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，赵老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率， 22、某校开展“祖国在我心中”主题演讲比赛，参加选拔比赛的选手的成绩（满分为分），分成五组，制成了如下不完整的统计图表． 分数段 频数 频率 （1）求分数在参赛学生的频率； （2）求分数在参赛学生的频数，并补全频数分布直方图； （3）成绩在分以上的选手中，有三名男生和一名女生，学校从中随机确定名选手参加市级比赛，求恰好是一名男生和一名女生的概率． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $