第六章 概率的进一步认识（重难点单元自测）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学“概率的进一步认识”，通过生活情境（抽奖、摸球）、文化素材（七巧板）及跨学科案例（劳动教育调查、二十大活动），考查概率计算、频率估计概率等核心知识，适配单元复习，培养数据意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|随机事件判断、频率估计概率|结合“扫雷游戏”考随机事件，体现数学眼光观察现实| |填空题|6/18|几何概型、分式方程与概率|以正方形阴影面积考概率，渗透几何直观| |解答题|8/78|用样本估计总体、列表法求概率|“秦岭四宝选择”“邮票抽取”题，通过列表法培养推理意识与数学表达|

第六章 概率的进一步认识 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．明天我市会下雨是随机事件 D．某种彩票中奖的概率是，则买100张该种张票一定会中奖 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理、确定圆的条件、随机事件和概率等只是点，掌握垂径定理是平分弦（不是直径）的直径垂直于弦成为解题的关键． 根据确定圆的条件以及垂径定理可判断A、B选项；根据随机事件和概率的意义可判断C、D选项． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故该选项错误，不符合题意； C、明天我市会下雨是随机事件，说法正确； D、某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种张票一定会中奖，说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义、必然事件的定义及用样本估计总体的方法，需逐个分析选项判断正误． 【详解】解：选项A：中奖率为1%是指每张奖券中奖的可能性为1%，买100张奖券也有可能不中奖，A选项错误，不符合题意； 选项B：只有两直线平行时同旁内角才互补，否则同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”是随机事件，B选项错误，不符合题意； 选项C：抛掷质地均匀的硬币，正面向上的概率是固定的，是此次试验的频率，不是概率，C选项错误，不符合题意； 选项D：用样本估计总体，该校喜欢羽毛球的学生约有人，D选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（本题3分）在一个不透明的盒子里装着若干个白球，小明想估计其中的白球数，于是他放入个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 估算盒子里白球的个数为（ ） A．8个 B．40个 C．80个 D．无法估计 【答案】B 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】∵大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右 设白球有m个， ∴0.8=，解得m=40． 经检验符合方程 故选B． 【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．（本题3分）口袋中有红球白球共10个，这些球除颜色外其他都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该过程，共摸取50次球，发现20次摸到红球，则口袋中红球的个数是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据利用频率估计概率求出摸到红球的概率，再根据概率公式求出红球个数即可. 【详解】∵，共摸取50次球，发现20次摸到红球， ∴摸到红球的概率为：=， 10=4（个） 故选B. 【点睛】本题考查利用频率估计概率及概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比，熟练掌握概率公式是解题关键. 5．（本题3分）在一个有2万人的小镇，随机调查了600人，其中200人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】解：在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是． 故选：C． 6．（本题3分）甲、乙各丢一次公正骰子比大小．若甲、乙的点数相同时，算两人平手；若甲的点数大于乙时，算甲获胜；若乙的点数大于甲时，算乙获胜．求甲获胜的机率是多少（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有情况，让甲的点数大于乙的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】列表得： 由表格可知，共有36种等可能的情况，甲的点数大于乙时，共有5+4+3+2+1=15种情况，甲获胜的机率是=． 故选C． 【点睛】本题考查了用列表法（或树状图法）求概率，列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果；当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率. 7．（本题3分）一个可以自由转动的转盘，等分为8个扇形，分别写上1，2，…，8共8个数字，甲乙俩根据转动停止后指针指向的数作游戏（指向分界线另转）．下列规则不公平的是（   ） A．指向奇数甲赢，指向偶数乙赢 B．指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢 C．指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢 D．指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢 【答案】C 【分析】根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答，本题考查了概率的定义，概率的计算公式，熟练运用概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有种，“是偶数”的也有4种， ∴“指向奇数”的概率是， “指向偶数”的概率是； ∴指向奇数甲赢，指向偶数乙赢的游戏公平，故A项不符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向的倍数”的有种，“指向4的倍数”的种， ∴“指向的倍数”的概率是，“指向4的倍数”的概率是； ∴指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢的游戏公平，故B项不符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向大于4的数”的有4种，“指向小于4的数”的有3种， ∴“指向大于4的数”的概率是，“指向小于4的数”的概率是， ∴指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢的游戏不公平，故C项符合题意； ∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“指向的倍数”的有种，“指向5的倍数”的1种， ∵指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分， ∴“甲得10分”的概率是，“乙得10分”的概率是； ∴指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢的游戏公平，故D项不符合题意； 8．（本题3分）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 9．（本题3分）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据七巧板的结构特点，设最小的等腰直角三角形面积为，分别表示出七巧板的总面积和阴影部分（小猫头部）的面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：设七巧板中最小的等腰直角三角形面积为， ∵七巧板由个小等腰直角三角形、个正方形、个平行四边形、个中等腰直角三角形和个大等腰直角三角形组成， ∴正方形面积为，平行四边形面积为，中等腰直角三角形面积为，大等腰直角三角形面积为， ∴七巧板拼成的小猫图案总面积为， ∵小猫头部（阴影部分）由个小等腰直角三角形和个正方形组成， ∴阴影部分的面积为， ∴小球停在阴影部分的概率． 10．（本题3分）某初中七（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（     ） A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能 【答案】D 【分析】从每次点的4个同学与已经蹲下的同学的重合人数入手，进而分析得到结果. 【详解】假设点的4个同学全部为站立的学生，则蹲下人数+4； 假设点的4个同学中只有1个为已蹲下的学生，则蹲下人数－1+3=+2； 假设点的4个同学中有2个为已蹲下的学生，则蹲下人数－2+2=0； 假设点的4个同学中有3个为已蹲下的学生，则蹲下人数－3+1=－2； 假设点的4个同学全部为已蹲下的学生，则蹲下人数－4； 第一次点完之后，蹲下人数为4，为偶数，之后每次蹲下的人数一定符合上述五种情况之一，所以增加或减少的人数仍为偶数，故蹲下的人数只可能为偶数. 故选D. 【点睛】本题为推理论证题，需要有严谨的逻辑思维及较强的推理分析能力. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候，各个奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为__________. 【答案】 【分析】根据三等奖以上的百分比即可判断出小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性大小. 【详解】由扇形统计图可得获得三等奖以上的百分比为：一等奖占10%，二等奖占15%，三等奖占25%， 所以，占三等奖以上为50%， 故小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为. 故答案为：. 【点睛】解决此类问题的关键是分两种情况：（1）需要计算可能性的大小的准确值时，根据求可能性的方法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答即可；（2）不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据各种奖项数量的多少，直接判断可能性的大小． 12．（本题3分）在1到10这十个数中任意选一个，能使71，113，134这三个数除以它有相同的余数的概率是___________． 【答案】 【分析】法一：分别计算71，113，134除以1到10这十个数中任意选一个，得出对应的余数，找出1到10中符合条件的数后计算概率. 法二：根据同余性质，所求数是两个数差的公约数，找出1到10中符合条件的数后计算概率. 【详解】解：法一：余0；余1；余2；余3；余1；余5；余1；余7；余8；余1； 余0；余1；余2；余1；余3；余5；余1；余1；余5；余3； 余0；余0；余2；余2；余4；余2；余1；余6；余8；余4； ∴总共有种等可能的选法，符合条件的数是，共个，有种， ∴ 所求概率为 . 法二： ∵ 若三个数除以同一个数余数相同，则能整除任意两个数的差， 而，， ∴ 是和的公约数， 又和的公约数为，其中在到范围内的数是，共个， ∵ 总共有种等可能的选法，符合条件的有种， ∴ 所求概率为 . 13．（本题3分）有5张正面分别标有数字-2,0,2,4,6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为,则使关于的分式方程有正实数解的概率为________. 【答案】. 【分析】解分式方程，得到解，并让解大于零，然后根据概率公式求解. 【详解】解：解分式方程 得：且x≠2 令＞0 且不等于2，则符合题意得卡片上的数字有：-2,0 ,4； ∴方程的解为正实数的概率为： ，故答案为. 【点睛】本题考查了概率公式和分式方程的求解，其关键是确定满足题意卡片上的数字.. 14．（本题3分）如图，边长为2的正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为_________．    【答案】 【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率的计算方法，以及扇形面积和正方形面积的计算方法是解题的关键． 将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：设正方形的边长为，则4个扇形的半径为， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为：， 故答案为：． 15．（本题3分）有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 【答案】 【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解不等式①得． a、b取值： 1 2 1 2 共6种情况： ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有2个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，负整数解只有4个． 综上所述，关于x的不等式组的解集中有且只2个非负整数的概率为． 故答案为： 【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键. 16．（本题3分）某人设摊“摸彩”，只见他手持一袋，内装大小、质量完全相同的个红球、个白球，每次让顾客“免费”从袋中摸出两球，如果两球的颜色相同，顾客得元钱，否则顾客付给这人元钱，请你判断一下该活动对顾客________（填“合算”或“不合算”）． 【答案】不合算 【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球的颜色相同的情况，再利用概率公式即可求得顾客得10元钱与顾客付给这人10元钱的概率，比较大小，即可得该活动对顾客是否合算． 【详解】解：画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，两球的颜色相同的有8种情况， ∴（顾客得10元钱）=，（顾客付给这人10元钱）， ∵（顾客得10元钱）＜（顾客付给这人10元钱）， ∴该活动对顾客不合算． 故答案是：不合算． 【点睛】考查的是游戏公平性的判断，解题的判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：17、19、20题8分，18题6分，21、22、23题10分，24题12分） 17．（本题8分）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字3．它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着3颗“地雷” (1)在A区域的8个格子中，任意点击一个格子，踩中地雷是一个_____． A．必然事件；B．不可能事件；C．随机事件；D．以上皆有可能 (2)在A区域的8个格子中，任意点击一个格子，踩中地雷的概率是_____． (3)在A区域外的小方格中，任意点击一个格子，踩中地雷的概率是_____． (4)为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？ 【答案】(1)C (2) (3) (4)第二步应踩在A区域外的小方格上 【分析】（1）推导出在A区域的8个格子中，有3个地雷，任意点击一个格子，踩中地雷是一个随机事件，即可解答； （2）根据概率公式求解即可； （3）先求出在A区域外共有（个）格子，且这72个格子中的地雷有（个），再根据概率公式求解即可； （4）推导出，得到为了尽可能不踩中地雷，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上，即可解答． 【详解】（1）解：在A区域的8个格子中，有3个地雷，任意点击一个格子，踩中地雷是一个随机事件； （2）解：在A区域的8个格子中，有3个地雷，任意点击一个格子，踩中地雷的概率是； （3）解：在A区域外共有（个）格子，且这72个格子中的地雷有（个）， ∴在A区域外的小方格中，任意点击一个格子，踩中地雷的概率是； （4）解：∵在A区域的8个格子中，任意点击一个格子，踩中地雷的概率是， 在A区域外的小方格中，任意点击一个格子，踩中地雷的概率是， ∵， ∴为了尽可能不踩中地雷，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上． 18．（本题6分）如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. (1)④事件发生的可能性大小是 ； (2)多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 ； (3)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为: . 【答案】(1)；(2)；(3)②、③、①、④. 【分析】（1）共3红2黄1绿相等的六部分，④指针不指向黄色的可能性大小为； （2）共3红2黄1绿相等的六部分，②指针指向绿色的概率为； （3）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大． 【详解】解：(1) ∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴④指针不指向黄色的可能性大小为， 则④事件发生的可能性大小是； (2) ∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴②指针指向绿色的概率为， 则多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是； (3) ∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为，③指针指向黄色的概率为， 将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：②＜③＜①＜④ . 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比. 19．（本题8分）两个警察抓两个小偷，目击者说：两个小偷分别躲藏在六个房间中的两间，但不知道他们到底躲藏在哪两间．而如果警察冲进了无人的房间，那么小偷就会趁机逃跑．如果两个警察随机地冲进两个房间抓小偷， (1)至少能抓获一个小偷的概率是多少？ (2)两个小偷全部抓获的概率是多少？请简单说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （1）设房间号为1、2、3、4、5、6，其中假设两个小偷分别躲藏1、2，再用列举法展示所有15种等可能的结果数，然后根据概率公式求解； （2）找出两个小偷全部抓获的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：设房间号为1、2、3、4、5、6，其中假设两个小偷分别躲藏1、2，任意取两个，共有15种等可能的结果数：1、2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6；其中至少能抓获一个小偷占9种， 所以至少能抓获一个小偷的概率=． （2）解：两个小偷全部抓获的结果数占1种，即1，2，所以两个小偷全部抓获的概率=． 20．（本题8分）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共80个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的2倍多4个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中红球的个数． (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率． 【答案】(1)袋中的红球有16个 (2) 【分析】本题主要考查了概率的应用、概率公式等知识点．掌握概率等于所求情况数与总情况数之比成为解题的关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2设白球有x个，则黄球有个，易得方程，解得． 然后再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得． 答：袋中的红球有16个． （2）解：设白球有x个，则黄球有个， 根据题意得，解得．     所以摸出一个球是白球的概率． 21．（本题10分）为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．校学生会随机抽取该校部分学生进行问卷调查．现得到如下信息：    根据以上信息，回答下列问题： (1)这次抽样调查的学生人数是_______，对应的扇形圆心角的度数是______°； (2)请根据题中已有的信息补全频数分布直方图； (3)该校有1800名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数． 【答案】(1)60人， (2) 补全图形如下：    (3)840人 【分析】（1）由B组人数除以B组的占比即可得到总人数，由乘以C组的占比即可得到圆心角； （2）先求解D组人数，再补全图形即可； （3）由1800人乘以平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数的百分比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴这次抽样调查的学生人数是60人， ∵， ∴对应的扇形圆心角的度数是． （2）（人）， （3）∵（人）， ∴该校有1800名学生，估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数有840人． 【点睛】本题考查的是从频数分布直方图与扇形统计图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 22．（本题10分）秦岭四宝是指生活在秦岭中的四种珍稀动物，包括大熊猫（记为）、朱鹮（记为）、金丝猴（记为）、羚牛（记为）．某校生物兴趣小组为了宣传动物保护知识，要求小组成员在秦岭四宝中随机选择一种动物（这四种动物被选择的可能性均相等），写一篇关于保护该动物的文章，小红和小峰都是生物兴趣小组的成员． (1)小红从这四种动物中随机选择一种，选择金丝猴的概率是______； (2)小红和小峰各随机选择其中一个作为写作对象，请用列表或画树状图的方法，求一人选择哺乳动物，另一人选择非哺乳动物的概率（大熊猫、金丝猴、羚牛属于哺乳动物，朱鹮属于非哺乳动物）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，列表法或树状图法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到一人选择哺乳动物，另一人选择非哺乳动物的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四种珍稀动物，每种珍稀动物被抽到的概率是一样， ∴从中随机抽取一种，选择金丝猴的概率是； （2）解：列树状图如下所示： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中一人选择哺乳动物，另一人选择非哺乳动物的结果数有6种， ∴两张卡片上的动物均为哺乳动物的概率为． 23．（本题10分）小西和小恺做转盘游戏，现有甲、乙两个转盘（如图），甲转盘被等分成4个扇形，分别标有数字3，4，7，8；乙转盘被等分成3个扇形，分别标有数字3，4，7．小西转动甲转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为；小恺转动乙转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为（当指针指向两个扇形的分界线时，重新转动转盘）． (1)请你用画树状图或列表的方法表示出）所有可能的结果； (2)若，，5，6四个数字可以排成四个连续的整数（与顺序无关），则小西胜；否则小恺胜．该游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1) 解：列表如下：       乙转盘 甲转盘 3 4 7 3 4 7 8 共有12种结果． (2) （2）不公平．理由如下： 由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中使 能排成四个连续整数的结果有2种， （小西胜）（小恺胜） 该游戏不公平． 修改规则如下：若两个数字之和为奇数，则小西胜；否则小恺胜（修改游戏规则的方法不唯一）． 【分析】本题围绕转盘游戏的概率计算与游戏公平性展开，需用列表或树状图列举所有可能结果，再结合概率公式判断公平性，核心是 “等可能结果下的概率比较”． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 24．（本题12分）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校开展了“党的二十大精神进校园”系列活动，组织学生用“歌舞表演”、“书画展示”、“党史宣讲”、“红歌传唱”、“主题征文”五种方式（依次记为A、B、C、D、E）学习二十大精神．为了解学生们参与这五项活动的意向，“综合与实践”小组从有意向参加活动的学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查，形成了如下的调查报告（不完整）： 调查主题 ××中学学生参加“党的二十大精神进校园”活动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ×中学学生 数据的收集、整理与描述 请在下列选项中选择你有参加意向的选项，在其后[   ]内打“√”（每人只选一项）． A．歌舞表演[   ]  B．书画展示[   ]  C．党史宣讲[   ]  D．红歌传唱[   ] E．主题征文[   ] 调查结论 …… 请根据图表提供的信息，解答下列问题． (1)参与本次问卷调查的总人数为______人，统计表中______； (2)请补全条形统计图； (3)若该校总共有1200人参加活动，请估计其中参加“党史宣讲”活动的人数； (4)张三在本次活动中表现优异，学校奖励他从装有三张“二十大”纪念邮票（三张邮票依次记为①，②，③，且它们形状，大小，触感完全相同）的盒子中随机抽取第一张，记下①②③的标签后放回摇均匀，再随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法求张三抽取的两张邮票为①，②的概率． 【答案】(1)200，17 (2) 补全条形统计图如下： (3)300人 (4) 【分析】（1）利用选择E种活动的人数除以其所占的百分比求得参与本次问卷调查的总人数，再利用选择D组的人数除以总人数求解即可求得； （2）利用样本的总人数减去其他组的人数求得选择D种活动的人数，补全统计图即可； （3）利用全校的人数乘以选择C种活动所占的百分比即可求解； （4）画树状图或列表可得共有9种等可能的结果，其中抽取邮票为①，②有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：总人数为：（人）， 红歌传唱（D）人数为：（人）， ，即． 故答案为：200，17； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计参加“党史宣讲”活动的人数为300人． （4）方法一：画树状图如下 方法二：列表如下 ① ② ③ ① （①，①） （②，①） （③，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） 由树状图或列表可知：共有9种等可能情况，其中抽取的两张邮票为①，②共有2种， P（张三抽取的两张邮票为①，②）． 【点睛】本题结合了统计与概率的知识，考查学生对数据的分析和概率计算的能力；在解决实际问题时，要注意数据的准确性和计算的合理性；概率问题中，利用列举法、列表法或画树状图法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 概率的进一步认识 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．明天我市会下雨是随机事件 D．某种彩票中奖的概率是，则买100张该种张票一定会中奖 2．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 3．（本题3分）在一个不透明的盒子里装着若干个白球，小明想估计其中的白球数，于是他放入个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 估算盒子里白球的个数为（ ） A．8个 B．40个 C．80个 D．无法估计 4．（本题3分）口袋中有红球白球共10个，这些球除颜色外其他都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该过程，共摸取50次球，发现20次摸到红球，则口袋中红球的个数是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 5．（本题3分）在一个有2万人的小镇，随机调查了600人，其中200人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台晚间新闻的概率大约是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）甲、乙各丢一次公正骰子比大小．若甲、乙的点数相同时，算两人平手；若甲的点数大于乙时，算甲获胜；若乙的点数大于甲时，算乙获胜．求甲获胜的机率是多少（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）一个可以自由转动的转盘，等分为8个扇形，分别写上1，2，…，8共8个数字，甲乙俩根据转动停止后指针指向的数作游戏（指向分界线另转）．下列规则不公平的是（   ） A．指向奇数甲赢，指向偶数乙赢 B．指向3的倍数甲赢，指向4的倍数乙赢 C．指向大于4的数甲赢，指向小于4的数乙赢 D．指向3的倍数甲得1分，指向5的倍数乙得2分，准先得到10分谁赢 8．（本题3分）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 9．（本题3分）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）某初中七（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（     ） A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候，各个奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为__________. 12．（本题3分）在1到10这十个数中任意选一个，能使71，113，134这三个数除以它有相同的余数的概率是___________． 13．（本题3分）有5张正面分别标有数字-2,0,2,4,6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为,则使关于的分式方程有正实数解的概率为________. 14．（本题3分）如图，边长为2的正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为_________．    15．（本题3分）有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 1 2 1 2 16．（本题3分）某人设摊“摸彩”，只见他手持一袋，内装大小、质量完全相同的个红球、个白球，每次让顾客“免费”从袋中摸出两球，如果两球的颜色相同，顾客得元钱，否则顾客付给这人元钱，请你判断一下该活动对顾客________（填“合算”或“不合算”）． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：17、19、20题8分，18题6分，21、22、23题10分，24题12分） 17．（本题8分）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字3．它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着3颗“地雷” (1)在A区域的8个格子中，任意点击一个格子，踩中地雷是一个_____． A．必然事件；B．不可能事件；C．随机事件；D．以上皆有可能 (2)在A区域的8个格子中，任意点击一个格子，踩中地雷的概率是_____． (3)在A区域外的小方格中，任意点击一个格子，踩中地雷的概率是_____． (4)为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？ 18．（本题6分）如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. (1)④事件发生的可能性大小是 ； (2)多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 ； (3)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为: . 19．（本题8分）两个警察抓两个小偷，目击者说：两个小偷分别躲藏在六个房间中的两间，但不知道他们到底躲藏在哪两间．而如果警察冲进了无人的房间，那么小偷就会趁机逃跑．如果两个警察随机地冲进两个房间抓小偷， (1)至少能抓获一个小偷的概率是多少？ (2)两个小偷全部抓获的概率是多少？请简单说明理由． 20．（本题8分）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共80个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的2倍多4个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中红球的个数． (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率． 21．（本题10分）为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．校学生会随机抽取该校部分学生进行问卷调查．现得到如下信息：    根据以上信息，回答下列问题： (1)这次抽样调查的学生人数是_______，对应的扇形圆心角的度数是______°； (2)请根据题中已有的信息补全频数分布直方图； (3)该校有1800名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数． 22．（本题10分）秦岭四宝是指生活在秦岭中的四种珍稀动物，包括大熊猫（记为）、朱鹮（记为）、金丝猴（记为）、羚牛（记为）．某校生物兴趣小组为了宣传动物保护知识，要求小组成员在秦岭四宝中随机选择一种动物（这四种动物被选择的可能性均相等），写一篇关于保护该动物的文章，小红和小峰都是生物兴趣小组的成员． (1)小红从这四种动物中随机选择一种，选择金丝猴的概率是______； (2)小红和小峰各随机选择其中一个作为写作对象，请用列表或画树状图的方法，求一人选择哺乳动物，另一人选择非哺乳动物的概率（大熊猫、金丝猴、羚牛属于哺乳动物，朱鹮属于非哺乳动物）． 23．（本题10分）小西和小恺做转盘游戏，现有甲、乙两个转盘（如图），甲转盘被等分成4个扇形，分别标有数字3，4，7，8；乙转盘被等分成3个扇形，分别标有数字3，4，7．小西转动甲转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为；小恺转动乙转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为（当指针指向两个扇形的分界线时，重新转动转盘）． (1)请你用画树状图或列表的方法表示出）所有可能的结果； (2)若，，5，6四个数字可以排成四个连续的整数（与顺序无关），则小西胜；否则小恺胜．该游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改游戏规则，使游戏公平．       乙转盘 甲转盘 3 4 7 3 4 7 8 24．（本题12分）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校开展了“党的二十大精神进校园”系列活动，组织学生用“歌舞表演”、“书画展示”、“党史宣讲”、“红歌传唱”、“主题征文”五种方式（依次记为A、B、C、D、E）学习二十大精神．为了解学生们参与这五项活动的意向，“综合与实践”小组从有意向参加活动的学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查，形成了如下的调查报告（不完整）： 调查主题 ××中学学生参加“党的二十大精神进校园”活动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ×中学学生 数据的收集、整理与描述 请在下列选项中选择你有参加意向的选项，在其后[   ]内打“√”（每人只选一项）． A．歌舞表演[   ]  B．书画展示[   ]  C．党史宣讲[   ]  D．红歌传唱[   ] E．主题征文[   ] 调查结论 …… 请根据图表提供的信息，解答下列问题． (1)参与本次问卷调查的总人数为______人，统计表中______； (2)请补全条形统计图； (3)若该校总共有1200人参加活动，请估计其中参加“党史宣讲”活动的人数； (4)张三在本次活动中表现优异，学校奖励他从装有三张“二十大”纪念邮票（三张邮票依次记为①，②，③，且它们形状，大小，触感完全相同）的盒子中随机抽取第一张，记下①②③的标签后放回摇均匀，再随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法求张三抽取的两张邮票为①，②的概率． ① ② ③ ① （①，①） （②，①） （③，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $