专题10 二次函数和反比例函数章末压轴满分14大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数章末压轴题型，以14类细分题型构建从基础到综合的递进训练体系，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数基础应用|4题型/12题|图象性质、系数关系、平移、最值|从概念生成到性质推导，夯实函数基础| |二次函数综合应用|8题型/24题|存在性、角度、面积、相似结合等|以方程与几何综合为核心，培养推理能力| |反比例函数应用|2题型/6题|图象性质、实际应用|关联函数与实际情境，发展应用意识| |综合攻坚|16题|跨函数综合、新定义问题|整合知识网络，提升综合解题能力|

专题10 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型 常考题型·精准突破 考点一 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型 题型一、二次函数的图象与性质 题型二、二次函数的图象与各系数关系 题型三、二次函数的平移问题 题型四、二次函数的最值问题 题型五、二次函数的存在性问题 题型六、二次函数的角度问题 题型七、二次函数的面积问题 题型八、二次函数与方程、不等式综合 题型九、二次函数应用之含参问题 题型十、二次函数应用之符合要求问题 题型十一、二次函数应用与相似结合 题型十二、二次函数的新定义问题 题型十三、反比例函数的图象与性质 题型十四、反比例函数的实际应用综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型 ◆题型一、二次函数的图象与性质 1．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和已知点坐标列方程组，求解得到a和b，即可得到抛物线表达式； （2）先得到P、Q坐标，推导得到长度的表达式，根据二次函数的性质，由对于任意一个m总有另一个不等于m的值，使长度相等，可得和的长度相等，列方程求解，结合k的范围即可得结果． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意可得， ，， ∴， 设，对称轴为， ∵当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等， ∴对任意一个的值在中，都有两个不同的与之对应，如图， ∴当和时，相等，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵， ∴． 2．（2026·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与抛物线交于点，与直线交于点（特殊地，当点，重合时，线段的长为）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数，对于每一个确定的的值，记时线段长度的最大值为，若存在，使得当时，都有随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先分别求出点M，N的坐标，再求出长度即可； （2）先求出抛物线与直线的交点为，，再设，，可得，，然后分两种情况讨论：当时，当时，线段长度的最大值为1；当时，的长度随的增大而增大，接下来再根据线段长度的最大值的变化规律得出答案． 【详解】（1）解：时，点坐标为，点坐标为， ； （2）解：抛物线与直线的交点为，． 设，，则，． 当时，． ． 可知当时，线段长度的最大值为1． 当时， ． ． 可知的长度随的增大而增大． 令，解得或（舍）． 分析线段长度的最大值的变化规律可知： （ⅰ）当时，随着的增大，的值先增大，再保持不变，再增大； （ⅱ）当时，随着的增大，的值先保持不变，再增大； （ⅲ）只有当时，随增大而增大． 要使时，都有随的增大而增大，的最小值为 3．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)的值为__________，并用含的式子表示，结果为___________； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，的长为___________． ②已知在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)①4；②或 【分析】（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案； ②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得， 解得； （2）解：①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，得点，如图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②由（1）可得，与轴交于点，， ∵轴，， ∴，， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即， 解得或， 当时，， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴，点P在y轴右侧，如图， 若，，其图象开口向下，对称轴为直线， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴点在直线左边移动， ∴， 解得（不符合）， 当时，，其图象开口向上，对称轴为直线，当时，的长随的长的增大而增大， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴， 解得； 当，可有，点P从y轴的左侧开始运动，如图， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴点只能从点向左边运动才能满足的长随的长的增大而增大， ∴， 解得， 综上所述，a的取值范围为或． ◆题型二、二次函数的图象与各系数关系 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即， ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 5．（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 6．（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有(   )个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；把，代入中可对③进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对④进行判断；由于方程有个根，方程有个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线的开口向上， ， ，， ，所以①错误； 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，， 时，， ，所以②错误； ， ，所以③正确； 方程有两个根和， 抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和， ，所以④正确； 方程有四个根， 方程有个根，方程有个根， 所有根之和为，所以⑤正确． 综上所述，正确的有：③④⑤． 故选：B． ◆题型三、二次函数的平移问题 7．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，无论为何值，抛物线恒过，过作轴的垂线交抛物线于，两点（在的左侧），交抛物线于，两点（在的左侧），则的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最小值 【分析】（1）根据抛物线的对称性可知，抛物线顶点的横坐标为，根据抛物线的对称轴公式求出，所以抛物线的解析式为，把抛物线顶点横坐标代入解析式求出顶点纵坐标，即可得到抛物线顶点坐标； （2）根据平移的性质可知点在抛物线上，把点的坐标代入解析式可得：，根据抛物线的对称性可知，根据二次函数的性质可知当时取得最小值，的最小值． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 经过点且， 对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到， 过点，而上的点由上的点平移得到， 点在上， 代入得：， 整理得：， ， ， 直线与交于，，与交于，， ，关于的对称轴对称， ， ，关于的对称轴对称， ， ，分别在，左侧，且在右侧， ， ， 当时取得最小值，此时取得最小值． 8．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可； （2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 当时，点，，此时，， 故，， 故． （2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，              根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为 ； 故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，， 由对于，都有， 故或， 解得或，     故t的取值范围是或． 9．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 【答案】(1)0或3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）求得平移后的函数解析式，根据题意得到，消去a即可求得； （3）根据对称轴直线，分对称轴在区间左侧、右侧、区间内三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得或， 故m的值为0或3． （2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为， ∵平移后的图象也经过点， ∴， 消去a，得； （3）解：对称轴为直线． ①当时， 当时，y取最大值， 当时，代入得y取最小值， 所以， 解得（舍去）． ②当时， ．当时， 当 时，代入得y取到最大值， 当时，代入得y取到最小值， 所以，符合题意． ．当时， 当时，y取到最大值， 当时，y取到最小值 所以 解得（均舍去）． 综上所述，． 由，得． ◆题型四、二次函数的最值问题 10．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 11．（25-26九年级上·北京·期中）若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 【答案】(1)是 (2)、或 (3)①；②的长度最大值为 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数表达式的转换和图像与性质的掌握是解题的关键． （1）根据函数表达式，进行运算，看两抛物线是否满足“孪生抛物线”即可： （2）根据“孪生抛物线”的性质，对顶点位置在轴上或轴上进行分类讨论，计算得出满足条件的抛物线即可； （3）① 根据“孪生抛物线”的性质，即表达式中的值互为相反数，得出的取值；②用未知数表示两点的坐标，判断出纵坐标的大小，计算长度，得出长度表达式后进行求值． 【详解】（1）解：抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 故抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点， 所以抛物线与互为“孪生抛物线”． （2）解：抛物线，即顶点坐标为， 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得，或， 故函数表达式为或； 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得， 故函数表达式为； 综上，函数抛物线的“孪生抛物线”为、或． （3）解：①由于“孪生抛物线”的表达式中的值互为相反数， 故，解得． ②由于，代入抛物线表达式得，， 由于平行于轴，故点、的横坐标相同， 假设其横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 点、位于两顶点之间，易判断点在高处， 故线段的长度为， 抛物线的顶点横坐标为， 抛物线的顶点横坐标为， 故的取值范围为， 而在取值范围内， 故． 12．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，T的顶点为，． (1)若，直接写出点A、B、C的坐标A_____，B_____，C_____以及抛物线的对称轴的表达式：__________； (2)直接写出T关于原点对称的抛物线的表达式（用含参数t的式子表示）：_____ (3)用代数方法（而不是看图或求导）证明以下两个命题等价： i．在直线的右侧，y随着x的增大而减小． ii．． (4)若，设M是抛物线上介于点C和点B之间的一点，求的面积的最大值，并指出此时点M的坐标． (5)附加题 是否存在上的点P，以及垂直于的直线，使得抛物线上所有点到点P和直线的距离相等？如果没有，请证明，否则指出这个点和直线的表达式并证明． 【答案】(1)，，， (2) (3) 证明：由抛物线的开口向下得：， ∴对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小， 对于命题i：假设命题i成立，则对于所有，必有y随x的增大而减小， 由抛物线T的增减性可知，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，故假设成立， 即命题ii成立， 对于命题ii：若，则直线位于对称轴右侧或重合于对称轴， ∴对于任意，则有， ∴当时，抛物线T的y随x的增大而减小， ∴在直线的右侧，y随x的增大而减小， 即命题i成立， 综上所述，命题i与命题ii两个命题等价． (4)， (5)存在，，直线，证明见详解 【分析】（1）根据已知条件得出T的顶点及抛物线对称轴的表达式，设，将推出点A，B的坐标，进而得到a的值，最终求得点C的坐标； （2）根据题意设，，利用原点中心对称的性质设关于原点对称的点为，关于原点对称的点为，关于原点对称的点为，而新抛物线的开口向上，设该抛物线的解析式为，将对称的点代入解析式即可求得a的值，从而得到抛物线的表达式； （3）先得出抛物线对称轴及，从而得出抛物线的增减性，分别分析命题i和命题ii，通过推理证明得出另一命题是否成立，从而得出两个命题互相等价； （4）过点M作x轴的平行线，交y轴于点D，过点B作y轴的平行线，交于点E，过点C作交于点F，由得出抛物线解析式，再设，利用割补法得出面积的表达式，通过计算得出表达式为开口向下的二次函数，进而求得面积最大值及点M的坐标； （5）设对称轴为直线，直线的方程为，点P坐标为，由抛物线上任意一点到点P和直线距离相等得出，通过计算得出等式对所有x成立，各次幂系数必须相等，进而求得h，k，c的值，并得到点P坐标及直线的方程，再将已求结果代入进行证明，此时得出抛物线T表达式，说明两式相等． 【详解】（1）解：∵， ∴T的顶点为， ∴抛物线对称轴的表达式为：， 设， ∵，抛物线与x轴相交于A、B两点， 则，， ∴，， 把代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：，，，． （2）解：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，T的顶点为，， ∴，， ∴关于原点对称的点为，关于原点对称的点为，关于原点对称的点为， ∵抛物线T的开口向下， ∴， ∴关于原点对称的抛物线的开口向上， 设该抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 故答案为：． （3）略 （4）解：如图，过点M作x轴的平行线，交y轴于点D，过点B作y轴的平行线，交于点E，过点C作交于点F， ∴四边形为矩形， 当时，抛物线， 设， ∴， ∴， ∴ ， 当时，面积的最大值为， ∴． （5）解：由题意知，对称轴为直线，其垂线为水平线， ∴设直线的方程为，点P坐标为， ∵抛物线上任意一点到点P和直线距离相等， ∴， 整理得：， ∵抛物线， ∴将T代入方程①右侧得：， ∴方程变为：， 将右侧展开为多项式形式得：， 方程左右两侧按x的幂次排列： 左侧：， 右侧：， ∵等式对所有x成立，各次幂系数必须相等， ∴项系数：，解得：， x项系数：，代入②得：，解得：， 常数项：， 代入②，③得：，解得：， 由方程②得：， 代入方程④得：，解得：， ∴， ∴点P坐标为，直线的方程为， 证明：对于抛物线上任意一点，代入和，直线，计算距离， ∴到点P的距离：，到直线的距离：， ∴， ∴， 整理得：， ∴两式相等，符合抛物线表达式定义． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式表达，中心对称的性质，二次函数与面积的最值问题，二次函数对称轴等知识点，解题关键是掌握数形结合的方法． ◆题型五、二次函数的存在性问题 13．（2025·广东中山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标； (3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或或或； (3)点D的坐标为． 【分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法可求； （2）求出线段的长，分类讨论解答即可； （3）取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，这样．利用三角形的相似得出．从而得到M的坐标；求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组可求交点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ． 解得：． ∴此抛物线的函数表达式为； （2）解：令，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 若是等腰三角形，分三种情形： 当时，， ∴， ∴P点坐标为或； 当时， ． ∴P点坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∵，， ∴． 解得：． ∴点P的坐标为． 综上，是等腰三角形，点P的坐标为或或或； （3）解：存在，D点坐标为．理由： 如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴M的坐标为， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴联立得， 解得：或， 当时，， ∴D点的坐标为， ∴存在点D使得，点D的坐标为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．待定系数法是确定解析式的重要方法；利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．将两个解析式联立可以求出交点的坐标． 14．（2025·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线解析式为，过N作轴于D，设，则，故，判定是等腰直角三角形，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得， 解得． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：令，解得，， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 过N作轴于D， ， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）解：存在．理由如下： 原抛物线，对称轴为直线， ∴F的横坐标为， ∵点，点， ∴，， ∴． ∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y， ∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y， ∴抛物线的解析式为． 设点． ①当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． ②当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为； ③当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． 综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 15．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知抛物线，（）． (1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）； (2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得出结果； （2）根据题意得到抛物线的解析式，先求出点C的坐标，设设，再求出直线的解析式，过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，求出点Q的坐标，即可求出的值，金额得到点P的坐标； （3）根据题意得到抛物线的解析式，求出平移后的解析式，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，即当时，方程有两个不相等的实数根，利用判别式即不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 则该二次函数的顶点坐标为； （2）解：存在点坐标为或时，为，理由如下： 由题意得：抛物线解析式为：， 则抛物线图象的对称轴为， 根据题意，设，直线的解析式为， 将代入，则， ∴， 当时，解得 ∴， 将代入， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 当点在x轴上方时，如图， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 当点在x轴下方时，如图， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 综上，当点坐标为或时，为； （3）解：由题意得：抛物线解析式为：， 则二次函数的图象往上平移个单位长度后，抛物线解析式为：， 当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍， 则当时，方程有两个不相等的实数根， 即当时，方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； 解方程的 解得：或， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线的对称轴和顶点坐标，角度与特殊三角形问题，二次函数与一元二次方程问，熟练掌握配方法或公式法求顶点坐标，数形结合的思想是解题的关键． ◆题型六、二次函数的角度问题 16．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； (2) (3)或 【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标； 设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； 确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下： 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当时，得， 解得：或， 当时，得， ，，， 抛物线， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； （2）解：设轴于点E，设，如图1， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 过点M作x轴的垂线，交直线于点N， ， ， ， 当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为； （3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ①如图2， ， ∴， 设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； ②如图3，设交于点G，作射线交于点F， ， ， ，， ， 垂直平分， 点F是的中点， 点F的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ， ， 直线的解析式为， 直线：与直线：交于点G， 联立， 解得：， ， 设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)符合条件的P点坐标是或 (3)或或 【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可； （2）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，， ∴， 把A，E两点坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N， 在中， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上，符合条件的P点坐标是或． （3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时，如图， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 18．（2025·山东济南·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的最大值． (3)如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的横坐标为1或 【分析】（1）根据求出点C的坐标，再把点A，C坐标代入，求出a，c的值即可； （2）求出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值； （3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程的解即可得出点P的横坐标． 【详解】（1）， ， ， ， ， 把代入，得：，解得， 二次函数表达式为； （2）如图1，过点作于点， 设直线的解析式为， 把代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ， 最大值为．                       （3）存在点使得，此时点的横坐标为1或． 理由如下： 如图2，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 轴， ， ， ， ，， 同理可得，， ， 在中，， 在对称轴上，则， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ，解得，， 存在点使得，此时点的横坐标为1或． 【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，求函数的最值，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，求出，，的值是解答本题的关键． ◆题型七、二次函数的面积问题 19．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】（1）把，代入，解方程组求出a，c的值 即得答案； （2）①由直线经过点，得，当时，， 可得点M、N的纵坐标，即可得的长；②由，得，求出，得，得四边形的面积为，得当时，四边形的面积随m的增大而减小，结合，得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴当时，， ∴， ∴; ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时， 四边形的面积随m的增大而减小， ∵点M在抛物线上的点A与点B之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 【点睛】根据四边形的面积的图象开口向下，可知当时，四边形的面积随m的增大而减小，加上点M在抛物线上的点A与点B之间，的限制． 20．（25-26九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)写出该抛物线的对称轴为___________，顶点坐标为___________； (2)若直线与抛物线交于两点，其中一个交点的横坐标为2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当的面积随的增大而减少时，求的取值范围． 【答案】(1)直线 ； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再计算顶点坐标即可； （2）可求出直线与抛物线的一个交点坐标为，则利用待定系数法可求出抛物线解析式为，进而求出两函数的另一个交点坐标；用含有m的代数式表示出点N和点M的坐标，根据点M在点N的下方可得m的取值范围为，再由，求出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 在中， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为：直线；． （2）解：如图， 把代入中，得， ∴交点坐标为， 把点代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 联立， 解得，， ∴，， ∵直线交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方， ∴，，且， ∴， ∴ ， ∵S关于m的二次函数开口向下，对称轴为， ∴当时，S随m的增大而减小， ∴当的面积随的增大而减少时，的取值范围为． 21．（25-26九年级上·北京大兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线）经过点，与轴的交点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点不与，重合），连接，．已知在点从点运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；②或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． （1）将点和点代入二次函数解析中求解即可； （2）①联立直线和抛物线进行解方程求解即可； ②分两情况：当时和当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴的交点为 ， ； （2）解：①∵直线与抛物线交于两点， 解得， ∵点B是右侧交点， ∴点B的横坐标为4； ②当时，设过点作轴的垂线，交直线于点， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点N， ，， ∴当时， ， ∵， ∵， ∴， ∵由题意得，， ∴关于的面积的二次函数开口向下， ∴当时，关于的面积的二次函数随t变大， ， ， ； 当时，如图，点从点运动到点的过程中，的长逐渐增大，的面积逐渐增大，即的面积随的长的增大而增大． 综上所述，的取值范围为或． ◆题型八、二次函数与方程、不等式综合 22．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的对称轴为直线；② (2)或． 【分析】（1）①将代入解析式后，直接用对称轴公式或配方法即可求解对称轴．②因为抛物线关于对称轴对称，所以如果两点横坐标之和确定，可计算两点到对称轴的距离，再结合抛物线开口方向，对称性和增减性就能比较两点纵坐标的大小． （2）先计算的长度，再根据三角形面积公式得到与的关系，因为，所以先求出该区间内的最大值，结合的条件，即可建立关于的不等式求解． 【详解】（1）解：① 当时，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线． ② 由，可得， 即连接两点的线段的中点横坐标为2.5，在对称轴的右侧． ∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且， ∴， 设点的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：令， 因式分解得， ∵， ∴解得， ∴． ∴三角形面积， ∵对任意都有， 即当时，抛物线上所有点M的纵坐标满足． ∵抛物线的对称轴同样为直线， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，S有最大值， 若，， 解得， 结合，得； 若，， 得， 解得， 结合， 得． 综上，或． 23．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求h的取值范围． 【答案】(1) 直线 (2) 或 【分析】（1）先将抛物线一般式配方为顶点式，因为抛物线顶点式可直接得到对称轴表达式，所以代入即可计算对称轴． （2）首先明确时抛物线开口向下，所以抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．问题转化为：取值范围内的所有点到对称轴的距离，都小于等于取值范围内的所有点到对称轴的距离，由此建立关于h的不等式组求解． 【详解】（1）解： ， 对称轴为直线． 当时，对称轴为． （2）解：，抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大． 对任意，，都有， 将 代入顶点式得：， ， ， 要对所有范围内的 都满足这个不等式，只需要让范围内 的最大值小于等于 范围内 的最小值即可． 是开口向上的二次函数，范围内的最大值一定出现在端点处： 端点 处：， 端点 处：， 当 时，，最大值为 ； 当 时，，最大值为 ； 的范围是，令，则的范围是，开口向上，对称轴为； 当 时，，全为正，最小值在左端点，为 ； 当 时，，在范围内，最小值为； 当 时，，全为负，最小值在右端点，为； 情况1：当时，，展开整理得：，恒成立， 因此所有 都满足条件． 情况2：当 时，，展开整理得：， 解得 或 ，结合当前范围得． 情况3：当时，正数（ 的平方最大值），不可能成立，无解． 情况4：当时，，展开整理得：，解得 或 ，结合当前范围得 ． 综上所述 的取值范围是：或． 24．（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把原点的坐标和代入即可求解； （2）先确定抛物线经过点和，再分和两种情况，画出图形，在图形上找出点，依据抛物线与线段恰有一个公共点确定点，比较和的大小，建立不等式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点和点． ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴抛物线的解析式为： （）， ∵当时，，当时，， ∴抛物线过点和， 分两种情况讨论： 当时，如图所示： ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可得：或． ◆题型九、二次函数应用之含参问题 25．（2025·湖北·二模）利民超市购进了一批某种商品，进价为20元/件．在销售过程中统计发现；日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系如图所示． (1)请直接写出y关于x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，所获该种商品的日销售利润w最大？最大利润是多少？ (3)超市决定每销售一件该种商品，就向社区福利院捐赠a元，捐赠后，为确保销售该商品的日最大利润满足的利润率，求a的值．（利润率） 【答案】(1)； (2)销售单价定为30元/件时，日销售利润w最大为200元 (3)a的值为4． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，分式方程的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润单件利润销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为元，根据利润单件利润销售量销售量求出w关于x的函数表达式，再利用日最大利润满足的利润率，列得分式方程，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 将，代入得，，解得， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：设日销售利润为w元，根据题意，得： ， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值为200， ∴该商品销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是200元； （3）解：设日销售利润元， 根据题意，得 ， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵日最大利润满足的利润率，成本为， 又∵， ∴成本为， ∴， 解得或， 经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的根，且符合题意， ∴a的值为4． 26．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，最值问题，分段函数等知识，正确理解题意，弄清各量间的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. （1）根据日销售量与时间t（天）的关系表，设，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量； （2）根据题意列出日销售利润，此二次函数的对称轴为直线，要使W随t的增大而增大，，即可得出n的取值范围． 【详解】（1）依题意，设，将，代入中， 得：， 解得：， ∴日销售量与时间t（天）的关系． 当时，． 答：在第30天的日销售量为60千克． （2）解：依题意，得：， 该函数图象的开口向下，对称轴为直线，要使在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 由二次函数的性质知：，解得． 又∵， ∴． 27．（2025·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：当时，，当时，， ∴， 解之得， ∴； （2）解：设每天利润为w元，由题意得 ， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元； （3）解：设表示扣除捐款后的日利润， ， ∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴． ◆题型十、二次函数应用之符合要求问题 28．（25-26九年级上·北京延庆·期中）小明遇到这样一个问题： 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度，最高处到地面的垂直距离，两侧的墙高，．今有宽为的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，那么卡车载物后的限高应是多少？（精确到）    小明为了解决这个问题，以的中点O为原点，长为一个单位长度，建立平面直角坐标系． 请帮助小明解决以下问题：    (1)点M的坐标是 ； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少？（精确到） 【答案】(1) (2)隧道顶的抛物线表达式为 (3)卡车载物后的限高约为米 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，求函数值，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据建立的坐标系以及线段的长度求出点的坐标即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用自变量的值求出函数值即可． 【详解】（1）解：根据所建坐标系， ∵，， ∴点M的坐标是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴设抛物线的表达式为． ∵它经过点， ∴． ∴． ∴隧道顶的抛物线表达式为； （3）解：当时，， ∴． 根据实际情况，当大于时，点E到隧道顶面对应的点D的距离小于， ∴精确到，取值为， ∴卡车载物后的限高约为米． 29．（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 问题情境 如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风． 方案设计 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点在上，点在抛物线上． 方案实施 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式． (2)当时，求和的长． (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中，点，在抛物线上，点在上，点分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 【答案】(1)坐标系如图所示，抛物线的函数表达式为； (2)，； (3)封闭区域内木质框架的总长度为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）由题意设，则点的坐标为，再代入，求得，据此求解即可； （3）设，则矩形所需的木质框架总长度，求得当，矩形所需的木质框架总长度有最大值为5，再设正方形和正方形的边长为，得到，代入，求得的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，， 则设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得四边形为矩形，设， ∵， ∴， ∴，， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴，； （3）解：如图，设，， ∵四边形为矩形，且点和在抛物线上， ∴，， ∴矩形所需的木质框架总长度 ， ∴当，∴矩形所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5， 此时，， 设正方形和正方形的边长为，则，， 将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴封闭区域内木质框架的总长度米， 即，封闭区域内木质框架的总长度为米． 30．（24-25九年级下·北京·开学考试）根据以下素材，探索完成任务． 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高． 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： (1)任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行． (2)任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是 个． 【答案】(1) 解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 则点B的坐标为， 设函数关系式为，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∵ ∴该货船能顺利通行； (2)8 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数的相关性质时解题的关键． （1）先求出二次函数的解析式，当时，，解得：，由即可判断； （2）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼． 【详解】（1）解：略； （2）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， ∴最多8个灯笼， 故答案为：8． ◆题型十一、二次函数应用与相似结合 31．（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据已知条件将抛物线化为交点式，再将式子展开后与抛物线表达式进行对比，得到，再将代入原式得到抛物线的表达式即可； （2）先求出相关点坐标和直线的表达式，再分情况讨论为等腰直角三角形的情况，最终得到点E的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 则抛物线的表达式为：． （2）解：存在， 理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：， 当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形， 当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点， 当时，，即点，则，符合题意； 当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点， 当时，，即点， 则，符合题意； 综上，点或． 32．（2025·四川资阳·一模）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，作出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据待定系数法即可即可解答； （2）证明为等腰直角三角形，则最大时，的周长最大，设，则，可利用表示出，利用二次函数的性质求得最大值即可； （3）分类讨论，分当点在轴正半轴或当点在轴负半轴，利用相似三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入可得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）解：当时，，则， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， ， 为等腰直角三角形， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故要使的周长最大，即最大， 设，则， ，其中， 故当时，最大，即的周长最大， 此时； （3）解：设新抛物线的解析式为：，则， 抛物线的对称轴为直线， ， 如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点， ，， , ， ，， 点必定在第一象限， 点必定在第三象限， ， 代入抛物线可得， 解得， 如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点， ，， , ， ，， 点必定在第四象限， 点必定在第四象限， ， 代入抛物线可得， 解得， ， 综上，点的坐标为或． 33．（25-26九年级上·云南保山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（，为常数），点、分别在轴和轴上，且，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以点为顶点的抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上有一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)抛物线的解析式为 (3)满足条件的点的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数综合应用，对称变换，三角形相似的判定与性质； （1）在中，令得可得，又，即有； （2）根据点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，得，，设抛物线的解析式为，将点代入得可求出，故抛物线的解析式为； （3）因点在抛物线的对称轴上，即在轴上，故，而，，所有要使以点、、为顶点的三角形与相似，只需或，设点的坐标为，①当 时，，有，可得，；②当 时，，有，可得，． 【详解】（1）解：在中，令得：， 解得， ， ， ， ， ； （2）解：点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为， 由（1）知，， ，， 由以点为顶点的抛物线经过点，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图： 点在抛物线 的对称轴上，即在轴上， ， ，， 要使以点、、为顶点的三角形与相似，只需或， 设点的坐标为， ①当时，， ， ， ，； ②当时，， ， ， ，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． ◆题型十二、二次函数的新定义问题 34．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是． 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． （1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可； ②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是． 【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在中，令得或， 抛物线与轴的交点为和； 在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 抛物线与抛物线与轴有相同的交点， 又抛物线与抛物线开口方向相同， 抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ； ∴的值为； ②由①知，， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，， ， 抛物线在抛物线上方； ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得：， 解得， ， ； 在中，令得， ， 在中，令得， ； ， ； ， 线段长的取值范围是． 35．（2025·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质， （1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可； （2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题； （3）求出，由点关于对称，平行于y轴，得到，根据和相似，分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为， 当，代入，得， ， 抛物线表达式为， 抛物线的“轮换抛物线”为表达式为； （2）解：抛物线：， 当时，，即与y轴交点为， 抛物线：的“轮换抛物线”为， 抛物线表达式为， 同理抛物线与y轴交点为， 抛物线对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 抛物线的对称轴与直线交点， 点在点的上方， ， 解得：， ， 四边形为平行四边形， ，即， 解得：， ； （3）解：由（2）知 ：，：，，，，， 点在抛物线上， 即， 如图， 点关于对称， ， 又平行于y轴， ， ， 和相似， 有两种可能： 情形1：， ， ，， ， 解得：（符合题意）； 情形2：， ， ，， ， 解得：（符合题意）或（符合题意）， 综上，当与相似时，的值为或或． 36．（25-26九年级上·北京·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．    (1)函数①和②中是有上界函数的为________（只填序号即可），其上确界为________； (2)如果函数的上确界是b，且这个函数的最小值不超过，求a的取值范围； (3)如果函数是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值，并求出此时函数的最小值． 【答案】(1)：②，1 (2) (3)； 【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解； （2）由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围； （3）当时，，可得（舍；当时，，可得（舍；当时，，可得；当时，，可得；当时，，求出其最小值即可． 【详解】（1）解：①， ①无上确界； ②， ， ②有上确界，且上确界为1， 故答案为：②，1； （2），随值的增大而减小， 当时，， 上确界是， ， 函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， 的取值范围为：； （3）的对称轴为直线， 当时，的最大值为， 为上确界， ， （舍； 当时，的最大值为， 为上确界， ， （舍； 当时，的最大值为， 为上确界， ， ； 当时，的最大值为， 为上确界， ， ， 故的值为． 当时，，即，， 故当时，有最小值． 综上所述：的值为；此时有最小值 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． ◆题型十三、反比例函数的图象与性质 37．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A和x轴上的一点，与反比例函数的另一交点为点C． (1)当且时，求m的值和点B的坐标； (2)在x轴上移动点B，若，直接写出n的取值范围 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或 【分析】（1）由题意易得，然后可得一次函数的解析式为，则可求出点，进而根据两点间距离公式可进行求解； （2）由（1）可知：，，然后可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， 把，代入一次函数得， ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 由不等式因式分解得：， ∵， ∴， 解得：或； 同理解不等式得：； ∵当时，一次函数的解析式为，此时联立反比例函数与一次函数解析式，消去y得：，整理得：， 解得， 此时反比例函数与一次函数相切，不存在另一个交点C，故， 综上所述：n的取值范围为或． 38．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，存在点使得； ④的形状不可能为等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据反比例函数值的几何意义可得，根据矩形的性质得出，则；当是的中点时，，根据，得出，根据矩形的性质得出，即可得出；根据点坐标为，得出点，，表示出，即可得出；若为等边三角形，则，令，得出，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ， ∵四边形为矩形， ， ∴，即，故①符合题意； ∵是的中点， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， 即点是边的中点时，点一定为的中点，故②符合题意； ∵点坐标为， 则点，， ∴， ∴，即，故③不符合题意； 若为等边三角形，则， 令，得，解得， 此时，， 此时都与重合，不符合题意，故不存在等边三角形，故④正确． 39．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)_________； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据函数图象的交点坐标和图象的上下的位置关系即可求出答案； （3）设点的横坐标为，则，，根据的面积可求出，解关于a的方程即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ， ， ； （2）当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴时x的取值范围是或； （3）解：设点的横坐标为，则， ∴ 的面积为4 ． 当时解得， 当时解得， （不合题意，舍去） 综上所述点或或 ◆题型十四、反比例函数的实际应用综合 40．（2026·北京平谷·二模）某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料时的出料量为__________； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) (3)①9.5  ②4.4 【分析】第（1）问：根据“出料量与时间成正比例”，设，用表格数据求出比例系数，再代入计算出料量； 第（2）问：根据乙组表格中的数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接，得到反比例型函数图象； 第（3）问：观察乙组数据，发现，即，代入求； 先根据甲组的正比例函数，求出“出料”所需的时间，再代入乙组的反比例模型，反求挤出头孔径． 【详解】（1）解：∵出料量与出料时间成正比例函数关系， ∴设与之间的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得：， ∴与之间的函数解析式为， ∴当时，， ∴甲组挤出头出料时的出料量为； （2）在坐标系中，根据表格数据，依次描出点： ，，，，， 再用平滑的曲线，将描出的各点依次连接起来，形成一条从左上向右下逐渐下降的曲线； （3）观察乙组数据， ，，，，， ∴与满足， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． 【点睛】解题核心是先根据变量关系确定函数解析式，再分步代入计算，注意乙组中与成反比例，而非与直接反比例，同时跨组计算时要找准前后关联量，计算时留意小数取值与单位规范． 41．（2026·北京海淀·模拟预测）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 【答案】(1) 函数的图象： (2) (3)①丙；②乙，60 【分析】（1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）直接根据图象作答即可； （3）①根据图象直接作答即可；②根据图象可知，甲香料的香气强度下降的最快，乙香料的作用较强，消散较慢，丙香料的香气强度较弱，持续作用久，进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知： 当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； （3）解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 42．（25-26九年级下·北京通州·开学考试）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．    (1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； ②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到； ③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案． 【答案】(1)①，； ②上，1； ③它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到 (2) 图象如图所示：    结合图象可得，当时，． (3) 【分析】（1）①由阅读部分提示信息直接作答即可；②由，结合提示信息可得答案；③由，结合提示信息可得答案； （2）先判断是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；再利用图象的平移进行画图即可，结合函数的图象可得时x的范围； （3）先求出第一次复习的“最佳时机点”，然后代入，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”． 【详解】（1）解：①由题意可得：将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为； ②∵， ∴函数的图象可由得图象向上平移1个单位得到； ③∵， ∴它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到． （2）∵是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到； ∴其对称中心是．图象如图所示， 由，得， 解得，经检验符合题意． 结合图象可得，当时，． （3）当时， ， 则由，解得：，经检验符合题意， 即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1， ∴点在函数的图象上， 则，解得：， 经检验符合题意； ∴， 当， 解得：，经检验符合题意； 即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题．注意熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用相似三角形性质求出点 坐标，联立方程求出点 坐标，利用面积和差法求解． 【详解】解：过点 作 轴于点 ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 点 在第二象限， 点 的纵坐标为 ， 把 代入 ，得 ， ， 把 ， 代入 ， 得 ，解得 ， 直线解析式为 ， 联立 ， 解得 ，， ， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 3．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 5．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】确定翻折后图象的分段解析式，求出直线经过图象与轴交点及与翻折部分相切时的值，结合图象判断交点个数． 【详解】解：令， 解得 ， 当时，图象的解析式为：， 当或时，图象的解析式为：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线与相切时，联立得：， ， 解得：， 结合图象可知：当时，直线与图象共2个交点，当时，直线与图象共2个交点， 综上所述，的取值范围是或． 6．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 7．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【答案】 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 8．如图，在函数和的图象上，分别有A，B两点，若轴，交y轴于点C，且，已知，，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，其中，，，则，，，，先根据三角形的面积公式可得，，再证出，进而可得的值，然后求出，的值，由此即可得． 【详解】解：∵轴，轴轴， ∴轴，点，的纵坐标相等， 设点的坐标为，点的坐标为，其中，，， 则，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 又∵，， ∴，， ∴． 9．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 【答案】 【分析】连接，，求出线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，设，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵直线经过，过作轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点B与点关于直线对称， ∴，． ∵， ∴ ∴设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不合题意，舍去） ∴， 则点纵坐标为． 设， ∵， ∴， 解得， ∴D点纵坐标为． 10．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 11．如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 12．如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 13．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 【答案】(1)；一次函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将、代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，进而求出反比例函数的解析式；确定直线的解析式，并确定出直线与x轴的交点，进而求出点A的坐标，确定一次函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把、代入反比例函数中， 得 解得 反比例函数的解析式为，、 延长交x轴于点M， 设直线的函数解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的函数解析式为， 当时，， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， 把，代入一次函数中， 得，解得 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得，不等式的解集为． 14．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：四边形为平行四边形 理由如下 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，的长度最大，且最大值为，此时，，． ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形 (3)存在，点F的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．设点P的坐标为，则点Q的坐标为，继而得到，配方后得到，根据二次函数的性质解答即可． （3）先确定点，直线的表达式为；过点Q作轴于点H，得到直线和直线关于直线对称，确定直线的表达式为；根据题意，得  得到点E的坐标为，设点F的坐标为，根据题意，得，，，分，，求解即可； 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． 解得 抛物线的解析式为． （2）略 （3）解：∵D是的中点，且，则点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 当时，， ∴点A在直线上， 过点Q作轴于点H， 则， 故， 而，， ∴， ∴直线和直线关于直线对称， ∵点，， ∴点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 根据题意，得   解得，， ∴点E的坐标为，另一组解与点Q重合， 设点F的坐标为， 根据题意，得，， ， 当时，此时有，故，，故，此时方程无实数解； 当时，此时有，故，故， 解得； 当时，此时有，故， 解得； 故在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，并且点F的坐标为或或． 15．已知过原点的一条直线l与反比例函数的图像交于A，B两点，且A的横坐标为，是反比例函数图像上位于A点上方的一点，连接并延长交y轴于点D，连接交y轴于点E．，． (1)直接写出B点坐标（用a，k表示）． (2)当，时， ①求的面积． ②求的值． (3)当点在A点上方运动时，请说明是定值． 【答案】(1) (2)①24；② (3)解：过点分别作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示： ， ， ，， ∵，， ， ， ， ， ， 则， ∵关于原点对称， ∴， ， ∴， ， ∴是定值． 【分析】（1）把代入，求出点A的坐标，然后根据对称性，求出点B的坐标即可； （2）①先根据当，时，求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，再根据求出结果即可； ②过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，证明，得出，求出，从而得出，最后求出结果即可； （3）过点分别作轴的垂线，得出，根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点A的坐标为， ∵过原点的一条直线l与反比例函数的图像交于A，B两点， ∴点B的坐标为； （2）解：①当，时，，反比例函数解析式为：， 则点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点C为的中点，， ∴点C的横坐标为， ∵点C在反比例函数图象上， ∴点C的坐标为， ∴根据中点坐标公式得：点D的坐标为， ∴ ； ②过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 16．在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）与y轴交于点A，点B在此抛物线上，点B的横坐标为，此抛物线上两点之间的部分（包括A、B两点）的图象记为G． (1)求点A和点B的坐标；（用含a的式子表示） (2)当时，求图象G的最低点的坐标； (3)当图象G的最低点落在直线上时，求a的值； (4)图象G与直线及y轴围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有7个横纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为； (2) (3)或 (4) 【分析】（1）求出和时的函数值即可得到答案； （2）根据a的值可得点A和点B的坐标以及抛物线的解析式，确定图象G中x的取值范围，结合二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得抛物线开口向上，对称轴为直线；再分四种情况：当时，则，图象G的最低点的坐标为；当时，则，图象G的最低点的坐标为；当时，则，图象G的最低点的坐标为；当时，则，图象G的最低点的坐标为，分别建立方程求解即可； （4）求出当抛物线恰好经过点时和当抛物线恰好经过点时a的值，结合由函数图象可知，当时，图象G与直线及y轴围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有7个横纵坐标均为整数的点；根据函数图象可得当时，此时围成的封闭区域内最多只有2个点满足横纵坐标都是整数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为 （2）解：当时，，抛物线的解析式为， ∵此抛物线上两点之间的部分（包括A、B两点）的图象记为G， ∴， ∵在中，， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，图象G的最低点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线； 当时，则，当时，则， 当时，则， ∴图象G的最低点的坐标为； ∵图象G的最低点落在直线上， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则， ∴图象G的最低点的坐标为， ∵图象G的最低点落在直线上， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，则， ∴图象G的最低点的坐标为， ∵图象G的最低点落在直线上， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则， ∴图象G的最低点的坐标为， ∵图象G的最低点落在直线上， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 综上所述，或； （4）解：如图所示，当抛物线恰好经过点时， 则， 解得； 如图所示，当抛物线恰好经过点时， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴此时点在抛物线上； ∴由函数图象可知，当时，图象G与直线及y轴围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有7个横纵坐标均为整数的点； 如图所示，当时，此时图象G中，，， 此时围成的封闭区域内最多只有2个点满足横纵坐标都是整数，即点和点； 如图所示，当时，此时围成的封闭区域内没有横纵坐标都是整数的点； 如图所示，当时，此时围成的封闭区域内没有横纵坐标都是整数的点； 如图所示，当时，此时围成的封闭区域内没有横纵坐标都是整数的点； 综上所述，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型 常考题型·精准突破 考点一 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型 题型一、二次函数的图象与性质 题型二、二次函数的图象与各系数关系 题型三、二次函数的平移问题 题型四、二次函数的最值问题 题型五、二次函数的存在性问题 题型六、二次函数的角度问题 题型七、二次函数的面积问题 题型八、二次函数与方程、不等式综合 题型九、二次函数应用之含参问题 题型十、二次函数应用之符合要求问题 题型十一、二次函数应用与相似结合 题型十二、二次函数的新定义问题 题型十三、反比例函数的图象与性质 题型十四、反比例函数的实际应用综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型 ◆题型一、二次函数的图象与性质 1．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值． 2．（2026·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与抛物线交于点，与直线交于点（特殊地，当点，重合时，线段的长为）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数，对于每一个确定的的值，记时线段长度的最大值为，若存在，使得当时，都有随的增大而增大，求的最小值． 3．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)的值为__________，并用含的式子表示，结果为___________； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，的长为___________． ②已知在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大，的取值范围是__________． ◆题型二、二次函数的图象与各系数关系 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有(   )个． A．2 B．3 C．4 D．5 ◆题型三、二次函数的平移问题 7．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，无论为何值，抛物线恒过，过作轴的垂线交抛物线于，两点（在的左侧），交抛物线于，两点（在的左侧），则的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 9．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． ◆题型四、二次函数的最值问题 10．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 11．（25-26九年级上·北京·期中）若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 12．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，T的顶点为，． (1)若，直接写出点A、B、C的坐标A_____，B_____，C_____以及抛物线的对称轴的表达式：__________； (2)直接写出T关于原点对称的抛物线的表达式（用含参数t的式子表示）：_____ (3)用代数方法（而不是看图或求导）证明以下两个命题等价： i．在直线的右侧，y随着x的增大而减小． ii．． (4)若，设M是抛物线上介于点C和点B之间的一点，求的面积的最大值，并指出此时点M的坐标． (5)附加题 是否存在上的点P，以及垂直于的直线，使得抛物线上所有点到点P和直线的距离相等？如果没有，请证明，否则指出这个点和直线的表达式并证明． ◆题型五、二次函数的存在性问题 13．（2025·广东中山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标； (3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知抛物线，（）． (1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）； (2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围． ◆题型六、二次函数的角度问题 16．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 18．（2025·山东济南·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的最大值． (3)如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． ◆题型七、二次函数的面积问题 19．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 20．（25-26九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)写出该抛物线的对称轴为___________，顶点坐标为___________； (2)若直线与抛物线交于两点，其中一个交点的横坐标为2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当的面积随的增大而减少时，求的取值范围． 21．（25-26九年级上·北京大兴·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线）经过点，与轴的交点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点不与，重合），连接，．已知在点从点运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． ◆题型八、二次函数与方程、不等式综合 22．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 解得， 得， 23．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求h的取值范围． 24．（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． ◆题型九、二次函数应用之含参问题 25．（2025·湖北·二模）利民超市购进了一批某种商品，进价为20元/件．在销售过程中统计发现；日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系如图所示． (1)请直接写出y关于x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，所获该种商品的日销售利润w最大？最大利润是多少？ (3)超市决定每销售一件该种商品，就向社区福利院捐赠a元，捐赠后，为确保销售该商品的日最大利润满足的利润率，求a的值．（利润率） 26．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 27．（2025·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． ◆题型十、二次函数应用之符合要求问题 28．（25-26九年级上·北京延庆·期中）小明遇到这样一个问题： 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度，最高处到地面的垂直距离，两侧的墙高，．今有宽为的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，那么卡车载物后的限高应是多少？（精确到）    小明为了解决这个问题，以的中点O为原点，长为一个单位长度，建立平面直角坐标系． 请帮助小明解决以下问题：    (1)点M的坐标是 ； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少？（精确到） 29．（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 问题情境 如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风． 方案设计 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点在上，点在抛物线上． 方案实施 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式． (2)当时，求和的长． (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中，点，在抛物线上，点在上，点分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 30．（24-25九年级下·北京·开学考试）根据以下素材，探索完成任务． 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高． 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： (1)任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行． (2)任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是 个． ◆题型十一、二次函数应用与相似结合 31．（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（2025·四川资阳·一模）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标． 33．（25-26九年级上·云南保山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（，为常数），点、分别在轴和轴上，且，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以点为顶点的抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上有一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求出所有满足条件的点的坐标． ◆题型十二、二次函数的新定义问题 34．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 35．（2025·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 36．（25-26九年级上·北京·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．    (1)函数①和②中是有上界函数的为________（只填序号即可），其上确界为________； (2)如果函数的上确界是b，且这个函数的最小值不超过，求a的取值范围； (3)如果函数是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值，并求出此时函数的最小值． ◆题型十三、反比例函数的图象与性质 37．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A和x轴上的一点，与反比例函数的另一交点为点C． (1)当且时，求m的值和点B的坐标； (2)在x轴上移动点B，若，直接写出n的取值范围 38．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，存在点使得； ④的形状不可能为等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 39．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)_________； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． ◆题型十四、反比例函数的实际应用综合 40．（2026·北京平谷·二模）某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料时的出料量为__________； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 41．（2026·北京海淀·模拟预测）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 42．（25-26九年级下·北京通州·开学考试）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．    (1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； ②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到； ③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 4．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 5．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 6．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 7．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 8．如图，在函数和的图象上，分别有A，B两点，若轴，交y轴于点C，且，已知，，则线段的长为_____． 9．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 10．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 11．如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 12．如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 13．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 14．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知过原点的一条直线l与反比例函数的图像交于A，B两点，且A的横坐标为，是反比例函数图像上位于A点上方的一点，连接并延长交y轴于点D，连接交y轴于点E．，． (1)直接写出B点坐标（用a，k表示）． (2)当，时， ①求的面积． ②求的值． (3)当点在A点上方运动时，请说明是定值． 16．在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）与y轴交于点A，点B在此抛物线上，点B的横坐标为，此抛物线上两点之间的部分（包括A、B两点）的图象记为G． (1)求点A和点B的坐标；（用含a的式子表示） (2)当时，求图象G的最低点的坐标； (3)当图象G的最低点落在直线上时，求a的值； (4)图象G与直线及y轴围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有7个横纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $