专题02 反比例函数中k的几何意义（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数k的几何意义，通过五类图形面积题型构建“概念-方法-变式”三阶训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形面积|1例+3变式|面积=|k|/2|从k的基本几何意义（矩形面积|k|）推导三角形面积公式| |等腰三角形面积|1例+3变式|结合对称性与坐标关系|在三角形面积基础上融入等腰性质，强化图形转化| |平行四边形面积|1例+3变式|底×高=|k|（或k差）|利用平行四边形对边性质关联k值，培养模型观念| |矩形面积|1例+3变式|面积=|k1-k2|（双曲线上）|直接应用k的几何意义，拓展至双函数综合| |阴影部分面积|1例+3变式|面积差/转化法|整合前述方法，训练复杂图形的分解与推理能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02反比例函数中k的几何意义 目录 A题型建模·专项突破 题型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积， 题型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积… .4 题型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积. .8 题型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积12 题型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积15 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：如图，p是反比例函数y=是图象上任意一点，过点p作x轴的垂线，垂足为A,则。PAO的面积为 【方法总结】反比例函数中求三角形的面积 y个A 声X B 【变式训练】 9 7 L.如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且B∥y轴，则AABC的面积等于 1/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 2 2.反比例函数y=二与y=二在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A, B两点，连接OA,OB,则△ABO的面积为」 X 目如图，点4，B分别是函数和部分图象上的点，4B轴，则4B0的面积为 B 题型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数y=5。 的图象经过正△POO的顶点P,则△POg的面积为， 0 【方法总结】反比例函数中求等腰三角形的面积 2/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B S△AoC=|k(OA=AC) 【变式训练】 1,如图，点A在反比例函数y=一x第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若OA=AB,则。MOB 的面积为. 2.如图，若反比例函数'=x的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则△AOB的 面积是 3.如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数y=(x>0)的图象上，且 它们的底边都相等.若△OAB,△A4,B2,△A,4,B,…,△A23A4B4的面积分别为S,S2,S,…, S24,则S2024的值—· 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 2 例题：如题图，点D在反比例函数y=元的图象上，DA⊥y轴于点A,点B在x轴上，则平行四边形 ABOD的面积为 B 【方法总结】反比例函数中求平行四边形的面积 SOABCD=kl 【变式训练】 1.如图，平面直角坐标系中，口OABC的边OA在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数 24 y=(x>0)的图象经过点C和AB边的中点D,点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 图已知。BCD,边BC在釉上，点D在v轴上，连接D4交反比例函数yCx<0的 点P,若AP=2OP,则ABCD的面积为. y A B C X 3.如图，在平面直角坐标系中，口OABC的边BC与y轴交于点D,且D是BC边的中点，反比例函数 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-5x<0)与y= xx>0)的图象分别经过B,C两点，则口OABC的面积为 题型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 4 12 例题：如图，点4在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且ABx轴，过4B两点分别作x轴的垂线 交x轴于点D,C,则四边形ABCD的面积为一 4 【方法总结】反比例函数中求矩形的面积 B S矩形ABOC=| 【变式训练】 1.如图，在平面直角整标系xO,中，B是反比例函数y子(>0的图象上的一点。则矩形O4BC的面积 为 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 之.知图，者点A与点B是反比例百数y-生0)的图象上的两点，过点A作4M1:销于点M AN⊥y轴于点N,过点B作BG⊥x轴于点G,BH⊥y轴于点H,设矩形OMAN的面积为S,矩形 BHOG的面积为S,则S与S的大小关系为：SS(填“>”，“=”或“<”). H 3.如图，过= 1 六(x>0)的图象上点4，分别作x轴，y轴的平行线交厂一的图象于B,D两点，以AB, AD为邻边的矩形ABCD的面积是2，则k的值是 题型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 3 例题：如图，AB两点在双曲线y=(x>0)上，分别过AB两点向坐标轴作垂线.若S=1,则图中阴影 部分的面积为 VA S 【方法总结】反比例函数中求阴影部分的面积 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y= A B D ol C S=S, S阴影k,-k匀 【变式训练】 Q.如图，两个反函数y于和y十在第二象限内的图象依次是C和c,设点p在C上，一pC锥 于点C,交C,于点A,PD1y轴于点D,交C,于点B,则四边形PAOB的面积为一 B 2.如图，点A是双曲线y=-10 上一点，过点A分别作AB上轴，AC⊥y轴，垂足分别为B,C两点AB, AC与双曲线y=分别交于D,B两点，若四边形ADOE的面积为6，则k=— E D B 3在反比例面数y是：>0叭的图象上，有一系列点4小小有：、人、人，若A的横坐标为2， 以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过4、4、4、、A、A1,分别作x轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S,S2:S,S,则 S+S2+S3+.+Sn=- 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A S A2 S3 A3 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 2 1.(24-25九年级下陕西安康阶段练习)如图，已知A是反比例函数y=-元图象上的一点，过点A作 AB1y轴，垂足为B,连接OA,则△OAB的面积为() B 0 A.2 B.1 D.2 2.(2526九年级上北京课后作业)反比例函数y=-(x<0)如图，则矩形O4PB的面积是《） P B A A.6 B.-6 C.3 D.-3 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25九年级上河南郑州阶段练习)如图，点4是反比例函数y=元图象上任意一点，过点A平行于 3 x轴的直线交反比例函数y=一的图象于点B以AB为边作平行四边形ABCD:其中C,D在x轴上， 则四边形ABCD的面积为() 3 2 OD A.6 B.5 C.3 D.2.5 4.(23-24八年级下江苏盐城阶段练习)如图，过点P(4,5)分别作PC⊥x轴于点C,PD1y轴于点D, PC、pD分别交反比例函数ySx>O的图象于点4、B,则四边形O4p的面积为(] B A.8 B.10 C.12 D.16 5.(24-25八年级下江苏苏州期中)如图，点P,2,R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这 三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C,B,A,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次 记为SS2,S,其中OA:AB:BC=1:2:3,若S2=4,则S+S,=() C Q S A反 R S3 0 A.10 B.9 C.8 D 7 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 4 6.(24-25九年级上陕西宝鸡期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)的图象经过矩 形OABC的边AB的中点D,且点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，则矩形OABC的面积为 B 7.(2425九年级上四川成都期中)如图，函数y=(化≠0)与y=的图象交于A,B两点，过点A作 AM垂直于x轴，垂足为点M,则△BOM的面积为 2 5 8.(2025陕西咸阳·二模)已知反比例函数C:y= 和c:y=在第一象限的图象如图所示，平行四 边形ABCO的顶点A,B分别在C和C,上，点C在x轴上，则口ABCO的面积为一 9（2025福建模拟候测)如图，在平面直角坐标系巾，0为坐标原点，点有g在函数y-(>0)的 图象上，过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,AM与BN交于点P,函数 y=《(>0)的图象过点p连接OA:OB:若图中的阴影面积为7：则k的值为— 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2 10.(24-25八年级下江苏连云港阶段练习)如图，已知反比例函数y=的图象上有一组点B、B, …、B。,它们的横坐标依次增加1，且点B横坐标为1.“①、②、③”分别表示如图所示的三角 形的面积，记S=①-②，S,=②-③，…，则S+S2++S2s= 4 Bi 2 B2 B3 ① ③④囿 2 345 三、解答题 1。(2025九年级上全国专题练习)如图，点A是反比例西数y（x>0)的图象上一点，过点4作 M81r抽，垂足为点g线段B交反比例驱数ye>0)的网念于点c·求oO4C的面积 6 y= 2 B 12.(2025河南模拟预测)如图，点A在反比例函数y->0)的图象上，过点A分别作x轴、y轴的 垂线，交反比例函数y=一x的图象于B,C两点，以AB,4C为边的矩形ABDC被坐标轴分割成四个小矩 形，矩形面积分别记为S,S2,S,S4,已知S=3」 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S S,竹 S4 D B ①直接写出反比例函数y=《(x>0)的表达式， (2)求矩形ABDC的面积. 13.(25-26九年级上·北京课后作业)已知点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA,交双 曲线y=于点A,连接OA: (1)如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？答：一（请填“变化”或 “不变化”)，若不变，请求出Rt△AOP的面积=_；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D,过点D作x轴的垂线交双曲线于点B,连接BO交AP于C, 设△AOP的面积是S,梯形BCPD的面积为S2,则S,与S2的大小关系是SS2(请填“>”、“<”或“= ”). 14.(2025山东青岛模拟预测)如图，在反比例函数y=元的图象上有R,B,R,…,B等点，它们 的横坐标依次为1,2,3，·，2026.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积 从左到右依次为S1,S2,S3,…,S2024,S2025. 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P2026 012345 2026x (1)当k=1时，S1+S2+S3+…+S2024+S2025= (2)当k=2时，S1+S2+S3+…+S224+S25= (3)当k=3时，S+S2+S+…+S024+S05= (④当k=n时，S+S2+S3+…+S24+S0s= 15.(2025九年级上全国·专题练习)知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A 是反比例函数y=,上任意一点，则矩形ABOC的面积为k个· A\N B 图1 图2 图3 图4 图5 (1)初步尝试 如图2，点4，E分别在反比函数y和y的图象上，四边形C和F2都是矩形，易翘 形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积. (2)类比探究 如图3，点A,c在反比例函数y=(口>0)的图象上，点B,D在反比例西数y-b<0)的图象上， AB∥CD∥x轴，AB与CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，求a-b的值. (3)拓展延伸 肉5，日如反比例正数y-和y-经m>0:者友我C在-受用象上，点4，D在y图家上 且AB∥cDIr销B-3CD- 6,AB和CD间的距离为12，求m-n的值。 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14/14 专题02 反比例函数中k的几何意义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 题型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 4 题型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 8 题型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 12 题型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：如图，是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积．本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点． 【详解】解：∵是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为， ∴面积， 故答案为：． 【方法总结】反比例函数中求三角形的面积 【变式训练】 1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴 ， 和同底等高 故答案为：1． 2．反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是注意、两点的纵坐标相等．由于轴，可知、两点的纵坐标相等，于是可设点坐标是，点坐标是，于是可得、的值，进而可求，据图可知的高是，再利用面积公式可求其面积． 【详解】解：由于轴，设点坐标是，点坐标是，即纵坐标相同， 那么， 即， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，再得结果即可． 【详解】解：如图， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 【方法总结】反比例函数中求等腰三角形的面积 【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 3．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键．分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 故答案为：． 题型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质等知识；由反比例函数比例系数的几何意义，可求得的面积为1，再由平行四边形的性质得平行四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 【方法总结】反比例函数中求平行四边形的面积 【变式训练】 1．如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．    【答案】36 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．也考查了平行四边形的性质． 延长交y轴于E，利用反比例函数向上k的几何意义得出，利用平行四边形的性质得，，，，由点D是边的中点，点D到x轴的距离为2可知B点的纵坐标为4，即，利用三角形面积公式求得，解直角三角形求得，由反比例函数的图象经过点经过边的中点D，求得，进而求得，然后利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：延长交y轴于E，作轴于F，如图， 四边形为平行四边形， ，，，， 轴， ， 点D是边的中点，点D到x轴的距离为2， 点的纵坐标为4， ， ∵， ， ， ， ， ∴，即， ， ∵反比例函数的图象边的中点D， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：36．    2．如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，作轴，轴，证明，可得，利用的几何意义求出的面积，再求出的面积，从而求出矩形及平行四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：作轴，轴，则，      ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 题型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 【方法总结】反比例函数中求矩形的面积 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键． 2．如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 3．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 题型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【方法总结】反比例函数中求阴影部分的面积 【变式训练】 1．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 2．如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向轴和轴引垂线形成的矩形的面积等于反比例函数的值是解题的关键． 由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 3．在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过、、、、、，分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出，即可作答． 【详解】解：∵点、、、、、都在反比例函数的图象上，且的横坐标为2， 则， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴， ∴、 则 ∴， 依次类推得， ∴， ， ， …… ∴ ． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质； 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义求出和，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形，，在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 4．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，且点、分别在轴、轴的正半轴上，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解答本题的关键． 根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 点在反比例函数的图象上， ， 点是的中点， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式中k的几何意义，根据反比例函数解析式中k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 8．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接． 点在上， ； 点在上， ； 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 9．（2025·福建·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，然后根据求解即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 则，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 12．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义． 13．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $