1.2 提公因式法 课时作业 2026-2027学年湘教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“提公因式法”，通过A/B/C三层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|公因式确定、基本提公因式|选择/填空/解答题巩固“三看”法则与符号变换，如分解因式-6x²+12x直接考查首项负号处理| |B组能力提升|多项式公因式、综合应用|含整除说明（如2¹⁸-2¹⁶能被42整除）与整体思想（如(a-b)²-2(b-a)），发展推理意识| |C组拓展探究|规律探究、实际应用|通过2ⁿ-2ⁿ⁻¹规律推导与销售额计算模型，体现数学眼光与应用意识，衔接中考创新题型|

1.2　提公因式法 湘教版八年级上册　第1章　课时作业 班级：____________　姓名：____________　学号：________　得分：________ 　一、知识梳理 知识点1　公因式的概念 一个多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 例如： 的各项都含有因式 ， 就是它的公因式； 的各项都含有 ， 就是它的公因式。 知识点2　怎样确定公因式 确定公因式可以按"三看"进行： 一看系数：取各项系数的最大公约数（若各项系数都是整数）； 二看字母：取各项都含有的相同字母（或相同的多项式因式）； 三看指数：相同字母（或因式）的指数取各项中最低的次数。 例如求 的公因式：系数取 12、8、4 的最大公约数 4；字母 取最低次幂 ，字母 取最低次幂 。所以公因式是 。 口诀：系数取最大公约数，字母取相同的，指数取最低的。若首项系数是负数，通常连同负号一起提出来。 知识点3　提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。它的依据是乘法对加法的分配律： 图1-3　用面积模型理解 ma+mb+mc=m(a+b+c) 三个长方形的高都是 ，底边分别是 、、。分别计算面积：一块一块地算得 ；合起来算得 。两个结果相等。 知识点4　提公因式法的一般步骤 第一步（找）：确定各项的公因式； 第二步（提）：把公因式写在括号外面，用原多项式除以公因式，所得的商写在括号里； 第三步（查）：检查括号内的项数是否与原多项式相同，各项符号是否正确，括号内能否继续分解。 最容易出错的地方：当某一项恰好就是公因式时，提取后括号里应留下 1（或 -1），千万不能漏掉。例如 ，而不是 。 知识点5　常用的符号变换 当各项中出现互为相反数的因式时，可利用下面的关系统一符号： （1）；　　（2）；　　（3）。 一般规律：括号内互为相反数的因式，偶次方相等，奇次方互为相反数。 知识点6　整体思想：公因式是多项式 公因式不一定是单项式，也可以是一个多项式。此时把这个多项式看作一个整体（可以先用字母代替），再提取。 例如：。 　二、典例精析 例1　确定公因式 写出多项式 各项的公因式。 【解析】系数：16、24、8 的最大公约数是 8，首项系数为负，故连负号一起提，取 ；字母 的最低次幂是 ，字母 的最低次幂是 。 【答案】公因式为 。 例2　基本的提公因式 把下列各式分解因式：（1）；（2）。 【解析】（1）公因式为 ；（2）首项为负，公因式取 ，注意括号内每一项都要变号，最后一项 提出 后余 1。 （1）原式 （2）原式 例3　公因式是多项式 把 分解因式。 【解析】把 看作一个整体，系数 4 与 2 的最大公约数是 2，故公因式为 。 原式 例4　先变号，再提公因式 把 分解因式。 【解析】 与 互为相反数，先把 变成 ，统一成 后再提取。 原式 例5　提公因式法在计算与求值中的应用 （1）计算：；（2）已知 ，，求 的值。 （1）原式 （2） 　三、课时作业 A组　基础达标 （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．多项式 各项的公因式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．把 分解因式，结果正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 3．下列因式分解正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 4．已知 ，，则 的值为（　　） A．5　　B．6　　C．9　　D．12 5．把 分解因式，结果是（　　） A．　　B． C．　　D． 6．计算 的值为（　　） A．202.4　　B．2024　　C．2.4　　D．1.4 7．若 ，，则 的值是（　　） A．6　　B．-6　　C．1　　D．-1 8．多项式 分解因式的结果是（　　） A．　　B． C．　　D． （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．多项式 各项的公因式是________。 10．分解因式：________。 11．分解因式：________。 12．分解因式：________。 13．若 ，，则 ________。 14．分解因式：________。 15．计算：________。 16．一个长方形的面积是 ，宽是 ，则它的长是________。 （三）解答题（共 52 分） 17．（24分）把下列各式分解因式： （1）；　　　　　　　　（2）； （3）；　　　　　（4）； （5）；　　　　　（6）； （7）；　（8）。 18．（12分）利用因式分解计算： （1）；　　（2）； （3）；　　　（4）。 19．（8分）先分解因式，再求值： （1），其中 ，； （2），其中 。 20．（4分）已知 ，，求 的值。 20-1．（6分）把下列各式分解因式： （1）；　　（2）。 21．（4分）一个长方体木块的体积为 ，它的底面积为 ，求这个长方体木块的高。 B组　能力提升 22．（6分）说明： 能被 42 整除。 23．（8分）把下列各式分解因式： （1）；　　（2）（ 为正整数）。 24．（8分）已知 ，求 的值。 25．（8分）【阅读理解】分解因式 时，可先把 变形为 ，再把 看作整体提取。请你完成这个式子的分解因式。 26．（6分）已知 ，，求 的值。 C组　拓展探究 27．（10分）【规律探究】观察下列各式： ，，，， （1）猜想 ________（ 为大于 1 的整数），并用提公因式法说明理由； （2）求 的个位数字； （3）说明 能被 8 整除。 28．（10分）【实际应用】某商场第一季度、第二季度的销售额分别为 万元和 万元，第三季度的销售额是前两个季度销售额之和的 2 倍。 （1）用含 、 的式子表示这三个季度的总销售额，并把结果分解因式； （2）当 ， 时，求这三个季度的总销售额。 　四、参考答案与解析 A组　基础达标 （一）选择题 1．A。【解析】系数 6、9、3 的最大公约数是 3；字母 的最低次幂是 ，字母 的最低次幂是 。故公因式为 。 2．A。【解析】首项系数为负，把 一起提出：。提出负号后括号内每一项都要变号。 3．C。【解析】A 中右边乘开为 ，多了一个 ；B 中括号内 还能分解，不彻底；D 漏掉了第三项，右边乘开只有两项。C 中 ，正确。 4．B。【解析】。 5．A。【解析】。注意 。 6．B。【解析】原式 。 7．B。【解析】。 8．B。【解析】，故原式 。 （二）填空题 9．。【解析】系数 8 与 4 的最大公约数是 4，、 都取最低次幂。 10．。 11．。 12．。【解析】首项为负，公因式取 ，括号内各项变号。 13．30。【解析】。 14．。【解析】，故原式 。 15．31.4。【解析】原式 。 16．。【解析】，长 面积 宽 。 （三）解答题 17．（1）； 　　（2）。注意最后一项 提出公因式后余 1，不能漏； 　　（3）； 　　（4）。因为 ，所以原式 ； 　　（5）。先把 化为 ； 　　（6）； 　　（7）。把 看作整体提出，括号内 ； 　　（8）。 18．（1）原式 ； 　　（2）原式 ； 　　（3）原式 ； 　　（4）原式 。 19．（1）。当 ， 时，原式 ； 　　（2）。当 时，原式 。 20．18。【解析】原式 。 20-1．（1）。因为 ，所以原式 ； 　　（2）。原式 。 21．高为 。【解析】，高 体积 底面积 。 B组　能力提升 22．【解析】。因为 是整数，所以 能被 42 整除。 23．（1）。因为 ，所以原式 ； 　　（2）。两项的公因式是 的较低次幂 。 24．2027。【解析】由 得 。 　　，。 　　所以 ，原式 。 25．。【解析】， 　　原式 。 26．90。【解析】。 C组　拓展探究 27．（1）。理由：； 　　（2）由（1）得 。观察 2 的正整数次幂的个位数字：2，4，8，6，2，4，8，6， 每 4 个一循环。因为 ，余数为 3，所以个位数字与 相同，为 8； 　　（3）， 是整数，所以 能被 8 整除。 28．（1）总销售额为 （万元）； 　　（2）当 ， 时，总销售额 （万元）。 　五、易错警示与课堂小结 易错点1　漏项 当某一项本身就是公因式时，提取后括号内应留下 1 或 -1。如 ，若写成 就错了。检查办法：括号内的项数应与原多项式的项数相同。 易错点2　符号出错 提出负号时，括号内每一项都要变号。如 ，最后一项由 变为 。 易错点3　公因式没有取到最大 如 ，虽然形式上是积，但括号内还有公因式 ，分解不彻底，正确结果是 。 易错点4　互为相反数的因式没有统一 如 ，必须先把 化为 才能提取，结果为 。 课堂小结 （1）公因式："系数取最大公约数，字母取相同的，指数取最低的"； （2）方法："一找、二提、三检查"； （3）技巧：首项为负先提负号；相反因式先统一符号；多项式因式看作整体； （4）用途：简便计算、整体代入求值、说明整除性、求几何图形中的边长与高。 提公因式法是因式分解的第一步，也是最重要的一步。无论遇到什么多项式，都要先问一句："各项有没有公因式？"有就先提，再考虑 1.3 中的公式法。 　六、中考链接（选做） 1．（202X·湖南）分解因式：________。 2．（202X·长沙）分解因式：________。 3．（202X·湘潭）已知 ，，则 的值为________。 4．（202X·衡阳）分解因式：________。 5．（202X·株洲）若 ，，则 的值为________。 【参考答案】 1．。 2．。 3．15。因为 。 4．。因为 ，原式 。注意最后还要提出公因数 2，分解才彻底。 5．-12。因为 。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $