1.1 多项式的因式分解&1.2 提公因式法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版2024 湖南专版）

第1章 1.1多项 基础过关 ◆◆》逐点击破 知识点1因式分解的概念 1.(2024一2025·郴州期末)下列各式从左到 右的变形中，属于因式分解的是( A.6a2b=2ab·3ab2 B.x2+4x+1=x(x+4)+1 C.(a+3)(a-3)=a2-9 D.x2-2xy=x(x-2y) 2.(教材P3例2变式)下列各式从左边到右边 的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指 出它的因式；若不是，说明理由即可. (1)a2-5=(a-2)(a+2)-1; (2)(a-1)2=a2-2a+1; (3)a2-6a+9=(a-3)2. 知识点2因式分解与整式乘法的关系 3.在(x十2)2=x2+4x十4中，从左到右的变形 是 ;从右到左的变形是 ·(填“整式的乘法”或“因式分解”) 4.多项式ax-B可分解为a(x-y),则B为 A.a B.-ay C.-y D.ay 因式分解 式的因式分解 5.检验下列因式分解是否正确： (1)x2-1=(x+1)(x-1); (2)x2-xy+2y2=(x+y)(x-2y). 能力提升 ◆◆◆整合运用 6.(2024一2025·张家界永定区期末)下列因 式分解正确的是 () A.ax+ay=a(x+y)+1 B.a2-9=(a+3)(a-3) C.a2+b=a(a+8) D.a2+4=(a+2)2 7.若x2-ax-1可以分解为(x一2)(x十b),则 a十b的值为 ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 8.半开放性题新趋势一个多项式因式分解后有 一个因式为x十1，请你写出一个符合条件的 多项式： 9.学习了多项式的因式分解后，对于等式 x+1=(红+)，小蜂和小欣两人产生了 激烈的争论，小峰说这种变形不是因式分 解，但又说不清理由；小欣说是因式分解，因 为右边是乘积的形式.你认为谁的说法正 确？为什么？ 第1章因式分解1 第1 名师导学 >预习先知 可新知梳理 ①几个多项式的 因式称为它们 的公因式 ②如果一个多项式的各项有公因式，从 右到左使用多项式的乘法对加法的 分配律，可以把所有公因式提到 ,这种把多项式因式分解的 方法叫作提公因式法 ☑例题引路 【例1】把下列各式因式分解： (1)am++bm; (2)6xy-2y2; (3)12a3b-6a2b+3ab; (4)25x2y2+10xy2-5xy. 【名师点拨】先找出多项式各项的公因 式，再使用乘法对加法的分配律，把所 有公因式提到括号外面即可 【学生解答】 易错典例 【例2】因式分解：-5x2y2+10xy3 15x2y= 【易错剖析】用提公因式法因式分解时， 若所提公因式的系数为负，则括号内每 一项需要改变正负号， 【学生解答】 2数学八年级上册(X) 1.2提公因式法 课时提公因式法（一） 基础过关 ◆◆逐点击破 知识点1单项式公因式 1.2a2与4ab的公因式为 A.2 B.a C.2a D.2a2 2.下列各式中，公因式是a的是 A.ax+ay+5 B.3ma-6ma2 C.4a2+10ab D.a2-2a+ma 知识点2提单项式公因式法分解因式 3.多项式x2+2x因式分解为 ) A.x(x+2) B.x(x-2) C.2(x+2) D.2(x-2) 4.多项式2x2一4xy十2x提取公因式2x后，另一个因式为 （) A.x-2y B.x-4y+1 C.x-2y+1 D.x-2y-1 5.因式分解： (1)(2024·南通中考)ax-ay= (2)3x2-9x= (3)(2024·山东中考)x2y十2xy= 6.因式分解： (1)27xy2-18x3y: (2)-a2+ab; (3)(2xy)2+12x4y. 能力提升 >>◆整合运用 7.小华的课堂笔记本上记录了一道题：一12xy2+ 6x2y+3xy=-3xy·(4y ),横线 空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上 应填写 ) A.2x B.-2x C.2x-1 D.-2x-1 8.多项式8xmy-1一12x3my”的公因式是() A.xmy" B.xmy"-1 C.4xmy” D.4xmy"-1 9.下列各数中，能整除（一8）2o26+(一8)2025 的是 （) A.3 B.5 C.7 D.9 10.若a一b=3,ab=-4,则ab一a2b的值为 【变式题】条件复杂化 (2024一2025·沅江月考改编)如图，长、宽 分别为a,b的长方形周长为16，面积为12， 则ab+ab的值为 11.因式分解： (1)6a2b2-15a2b3+3a2b; (2)4x2y3+8x2y2z-12xy2z; (3)-8a3b2+4a2b2-2ab3. 12.学科融合新趋势如图，把R1,R2,R3三个电 阻串联起来，电线AB上的电流为I(单位： A),电压为U(单位：V),则U=IR1+IR2十 IR3.当R1=19.72,R2=32.42,R3= 35.92,I=2.5A时，求U的值. AL飞飞飞一B ·思维拓展 >◆强化素养 13.整体思想新理念（教材P8习题T4变式）已 知m满足m2-m=1. (1)代数式一2m十2m的值为 (2)求代数式-2m3十3m2+m-9的值； (3)试说明：无论m取何值，代数式m+2一 m”+1一m”的值都为定值. 第1章因式分解3 第2 口名师导学 ◆预习先知 同新知梳理 当多项式的各项中，有的项含a一b 的整数次暴，另一些项含有b一a的整 数次幂时，应先将b一a的整数次暴依 据指数的奇偶性及下面的变号规律变 成a一b的整数次幂后，再提公因式. 变号规律：当n为偶数时，(a-b)”= (6-a)”;当n为奇数时，(a-b)严=一(b-a)" ☑例题引路 【例1】把下列各式因式分解： (1)x(a+b)+y(a+b); (2)5V5xy-10V5.x2y2; (3)a(m-2)+b(2-m); (4)3a(x-y)2-(y-x)2; (5)16(m-n)2-12(n-m)3. 【学生解答】 易错典例 【例2】因式分解：b2(a一3)一b(3一a)= 【易错剖析】用提公因式法因式分解时， 要提出多项式的所有公因式，同时要注 意符号错误。 【学生解答】 4数学八年级上册(X) 课时提公因式法（二） 基础过关 逐点击破 知识点1多项式公因式 1.将x(x+1)一2(x+1)用提公因式法因式分解，应提取 的公因式是 ( ) A.x-1 B.x-2 C.x+1 D.x+2 2.下列各组式子中，没有公因式的是 A.-a2+ab与ab2-abB.mx+y与x+y C.(a十b)2与-a-b D.5m(x-y)与y-x 知识点2提多项式公因式法分解因式 3.把多项式m(a一2)+(a-2)分解因式的结果是（ A.m(a-2) B.(a-2)(m+1) C.m(a+2) D.(m-1)(a-2) 4.因式分解：(m-n)2-(n-m)= 5.因式分解： (1)2m(a-b)-3n(a-b); (2)x(x-y)2-y(y-x)2; (3)(m-n)3+2n(n-m)2. 知识点3公因式含无理数的因式分解 6.因式分解： (1)N2x2-2√2x; (2)63a2b+3√3ab2. 口能力提升 》·整合运用 7.把-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)分解因 式，结果正确的是 A.(x-y)(-a-b+c) B.(y-x)(a-b-c) C.-(x-y)(a+b+c) D.-(y-x)(a+b-c) 8.已知a-b=5,b-c=一6，则代数式a2-ac b(a-c)的值为 () A.-30B.30 C.-5 D.-6 9.多项式(x十2)(2x一1)一2(x十2)可以因式分 解成(x十m)(2x十n),则m-n的值是· 10.因式分解： (1)6x2y3-√6xy2; (2)x2+xy-xz-yz; (3)4b(3a+1)-9a-3; (4)a2(a+2b)-ab(-4b-2a). 11.已知A=x(x-2)+(2-x),B=(x-3)(x+ 2)十6，则多项式A,B是否有公因式？若 有，求出其公因式；若没有，请说明理由. 口思维拓展 ◆◆◆强化素养 12.阅读理解新趋势阅读下列分解因式的过 程，解答下列问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+ x+x(1+x)]=(1+x)(1+x)2=(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是 ,共应 用了 次； (2)请用上述方法分解因式：1十x十x(x十 1)十x(x+1)2+x(x十1)3十…十x(x十 1)”(n为正整数)，必须有简要的过程. 第1章因式分解5参考答案 第1章因式分解 1.1多项式的因式分解 1.D 2.解：(1)不是因式分解.理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.(2)不是因式分 解.理由：它是整式的乘法.(3)是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式， 且(a-3)2=a2-6a十9，符合因式分解的定义.a2-6a十9的因式为a-3. 3.整式的乘法因式分解4.D 5.解：(1)正确.因为(x+1)(x-1)=x2-1.(2)不正确.因为(x十y)(x-2y)=x2一xy -2y2≠x2-xy+2y2. 6.B7.D8.x2一1（答案不唯一） 9.解：小峰的说法正确.理由如下：右边虽然是乘积的形式，但不是两个整式的乘积，所 以这种变形不是因式分解. 1.2提公因式法 第1课时提公因式法（一） 名师导学 ①相同②括号外面 【例1】解：(1)原式=m(a十b).(2)原式=2y·3x-2y·y=2y(3x-y).(3)原式=3ab ·4a2b-3ab·2a+3ab·b=3ab(4a2b-2a+b).(4)原式=5xy·5xy+5xy·2y-5xy =5xy(5xy+2y-1). 【例2】-5xy(xy-2y2+3x) 1.C2.D3.A4.C5.(1)a(x-y)(2)3x(x-3)(3)xy(x+2) 6.解：(1)原式=9xy·3y-9xy·2x2=9xy(3y-2x2).(2)原式=-(a2-ab)=-a(a -b).(3)原式=4x2y2+12xy=4x2y(y+3.x2). 7.C8.D9.C10.12【变式题】96 11.解：(1)原式=3a2b·2b-3ab·5b+3a2b=3ab(2b-5b+1).(2)原式=4xy2· xy+4xy2·2xz-4xy2·3z=4xy2(xy+2xz-3x).(3)原式=-(8a3b-4a2b+2ab) =-2ab(4a2-2a+b). 12.解：U=IR1+IR2+IR3=I(R1十R2+R3)=2.5×(19.7+32.4+35.9)=220(V). 即U的值为220. 13.解：(1)-2(2)-2m3+3m2+m-9=-2m3+2m2+m2+m-9=-2m(m2-m) 十m2+m-9=-2m十m2+m-9=m2-m-9=1-9=-8.(3)因为m+2-m+1-m =m(m2-m一1)=m”·(1-1)=0,所以无论m取何值，代数式m+2-m+1一m”的 值都为定值0. 第2课时提公因式法（二） 名师导学 【例1】解：(1)原式=(a+b)(x+y).(2)原式=5√5xy-5√5xy·2xy=5√5xy(1 2xy).(3)原式=a(m-2)-b(m-2)=(m-2)(a-b).(4)原式=3a(x-y)2-(x-y)2 =(x-y)2(3a-1).(5)原式=16(m-n)2+12(m-n)3=4(m-n)2·4+4(m-n)2· 3(m-n)=4(m-n)2(4+3m-3n). 【例2】b(a-3)(b+1) 1.C2.B3.B4.(m-n)(m-n+1) 5.解：(1)原式=(a-b)(2m-3n).(2)原式=x(x-y)2-y(x-y)2=(x-y)2(x-y) =(x-y)3.(3)原式=(m-n)3+2n(m-n)2=(m-n)2[(m-m)+2n]=(m-n)2(m十n). 6.解：(1)原式=√2x(x-2).(2)原式=3√3ab·2a+3√3ab·b=3√3ab(2a+b). 7.B8.C9.5 10.解：(1)原式=√6xy2·√6xy-√6xy2=√6xy(W6xy-1).(2)原式=(x2+xy)-(xz +yz)=x(x十y)-z(x+y)=(x+y)(x-x).(3)原式=4b(3a+1)-3(3a+1)=(3a+ 1)(4b-3).(4)原式=a2(a+2b)+2ab(a+2b)=a(a十2b)(a+2b)=a(a+2b)2. 11.解：有.因为A=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1),B=x2-x-6+6=x2-x= 一1 x(x一1)，所以多项式A,B的公因式为x一1. 12.解：(1)提公因式法两(2)原式=(1十x)[1+x+x(1+x)十x(1十x)2+…+ x(1+x)"-1]=(1+x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)-2]…=(1+x)m+1. 1.3公式法 第1课时用平方差公式因式分解 名师导学 ②x2-y2=(x十y)(x-y) 【例1】解：(1)原式=(4+5y)(4-5y).(2)原式=xy(x2-y2)=xy(x十y)(x-y). (3)原式=[a+2(a+b)][a-2(a+b)]=-(3a+2b)(a+2b). 【例2】B 1.B2.A3.-198000 4.(+2)(x-合 ）(2)(3b+4a)(3b-4a)(3)(y+4)(y-2)(4)8xy 5.C6.(x2+2)(x十√2)(x-√2)7.D 8.解：(1)原式=3a(x2-y2)=3a(x+y)(x-y).(2)原式=a2(x-y)-16(x-y)=(x -y)(a2-16)=(x-y)(a+4)(a-4). 9.D10.C11.(1)2(2)25 12.解：(1)原式=9a(x-y)-4b(x-y)=(x-y)(9a2-4b)=(x-y)(3a+2b)(3a- 2b).(2)原式=(a+3b)(a-3b)一(a-3b)=(a-3b)(a+3b-1).(3)原式=3(m一16) =3(m2+4)(m2-4)=3(m2+4)(m+2)(m-2). 13.解：剩余部分的面积为a2-4b=(a+2b)(a-2b)=(13.2+2×3.4)×(13.2-2× 3.4)=128(cm). 14.解：(1)这两个数是“神秘数”.理由如下：因为28=82一62,2012=5042一5022，所以 28,2012是“神秘数”.(2)是4的倍数.理由如下：(2k+2)2-(2k)2=(2k十2+2k)(2k +2一2)=(4k十2)×2=4(2k+1).因为为非负整数，所以4(2k+1)是4的倍数. 第2课时用完全平方公式因式分解 名师导学 x2士2xy+y2=(x±y) 【例1】解：(1)原式=(a+5)2.(2)原式=n(m2-12mn+36n2)=n[m2-2·m·6n+ (6n)2]=n(m-6n)2.(3)原式=-(x2-2xy十y2)=-(x-y)2. 【例2】解：原式=(a2-4)2+2·(a2-4)·3+32=(a2-4十3)2=(a2-1)2=[(a十 1)(a-1)]2=(a+1)2(a-1)2. 1.C2.B3.x+4(2)3z-2)2(3a+102(④(m-7) 4.(1)a(b+1)(2)-3(x-1)2 5.解：(1)原式=-(y3-6xy2+9x2y)=-y(y2-6xy+9x2)=-y[y2-2·y·3x+ (3.x)2]=-y(y-3x)2.(2)原式=4x2(x2+2xy2+y)=4.x2[x2+2·x·y2+(y2)2] =4x2(x十y2)2. 6.D 7.解：原式=(4m2)2-2·4m2·1+12=(4m2-1)2=[(2m+1)(2m-1)]2=(2m+ 1)2(2m-1)2. 8.C9.D10.D【变式题】A11.A 12.解：(1)原式=2x[(x2+1)2-4x2]=2x(x2+1+2x)(x2+1-2x)=2x(x十1)2(x 1)2.(2)原式=(a2-2a)2+2·(a2-2a)·1+12=(a2-2a十1)2=(a-1)4. 13.解：因为x2+y2-4x十6y十13=0，所以x2-4x十4+y2+6y十9=0.所以(x-2)2 +(y十3)2=0.所以x一2=0，y+3=0,解得x=2,y=-3.当x=2,y=-3时，原式= (x-3y)2=[2-3×(-3)]2=121. 14.解：(1)不彻底(2)(a-2)4.(3)设x2-2x=y.原式=y(y+2)+1=y2+2y+1= (y十1)2=(x2-2x十1)2=(x-1)4. 专题一因式分解常见的三种简单应用【回归教材】 1.解：1)原式=号×(-23.7+1.3-2号）=号×(-23.7+1.3-26)=号× 2 (-25)=-20.(2)原式=名×(502-4980)=号×(502+498)X(502-498)=号× 1000×4=500.(3)原式=8962+2×104×896+1042=(896+104)2=10002= 1000000. 2.解：1)原式=(m+”2）(士”-”2”）=m,当m=-n=4时，原式= -6×4=-六.(2②原式=司a6c2+2a6+8)=合a6(a+60,当a+6=2,ab=2时， 原式=号×2×2=4.(3)原式=2a+88(a2+2b-4).因为a2+26=4,所以a2+2b-4 =0.所以原式=0. 3.解：同意小明的说法.理由如下：原式=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]= 8n.所以对于大于0的任意整数，代数式(2n+1)2一(2n一1)2都能被8整除. 4.证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,则该数为 100a+10b+c.由题意，得a=b-c,所以100a+10b+c=100(b-c)+10b+c=100b 100c+10b+c=110b一99c=11(10b一9c).所以100a十10b十c能被11整除.所以任意 一个“极差数”一定能被11整除. 多知道一点特殊的因式分解法【教材拓展】 1.解：(1)原式=(2x+1)(x-3).(2)原式=(2x十1)(x十3).(3)原式=(x+3)(3x 4).(4)原式=(3a+8)(a-1). 2.解：(1)原式=(x-y)2-9=(x-y+3)(x-y-3).(2)原式=m2(m-2)-4(m-2) =(m-2)(m2-4)=(m-2)2(m十2). 3.解：(1)原式=a3+a2b-a2b十b=(a3十a2b)-(a2b-b3)=a2(a+b)-b(a2-b)= a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)(a2-ab+b2).(2)①原式=4x+1+4x2-4x2= (4x4十4x2+1)-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+1+2x)(2x2+1-2x).②原式=x4+ x2+1+x2-x2=(x+2x2+1)-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x). 4.解：(1)(x+15)(x-1)(2)原式=(x3-x)-(7x-7)=x(x十1)(x-1)-7(x-1) =(x-1)[x(x+1)-7]=(x-1)(x2+x-7).(3)因为a2+b+c2-4a-4b-6c+17 =0,所以(a2-4a十4)十(b-4b+4)+(c2-6c十9)=0.所以(a-2)2十(b-2)2+(c- 3)2=0.所以a=2,b=2,c=3.所以三角形ABC的周长为2十2十3=7. 5.解：(1)不彻底.正确的解答过程如下：设x2一2x=m,则原式=m(m十2)+1=m2+ 2m+1=(m十1)2=(x2-2x+1)2=[(x-1)2]2=(x-1)4.(2)①设x2+6x=m,则原 式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2=(x2+6.x+9)2=[(x+3)2]2=(x+ 3)4.②设x2+x=y,则原式=y(y十2)+(y+1)(y-1)+1=y2+2y十y2-1+1=2y2 +2y=2y(y+1)=2(x2+x)(x2+x+1)=2x(x+1)(x2+x+1). 第1章章末复习 思维导图 乘积(x十y)(x一y)(x士y)2 考点整合 1.B2.73.D4.D5.A6.B 7.(1)9(m+2n)(m-2n)(2)(a-1)2 3(合m-3)”8.7或-1 9.解：(1)原式=6ab·2a-6ab·3b-6ab·4a2=6ab(2a-3b-4a2b).(2)原式=x(x -y)十y(x-y)=(x-y)(x十y).(3)原式=2x·x2-2x·4xy十2x·4y2=2x(x2- 4xy十4y2)=2x(x-2y)2.(4)原式=(a-b)2-6(a-b)+9=(a-b)2-2·(a-b)·3 +32=(a-b-3)2.(5)原式=x2-(y2+4y十4)=x2-(y+2)2=(x十y+2)(x-y 2).(6)原式=[3(m十n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m +n)(m+2n). 10.解：(1)原式=2026×(2026一2025)=2026×1=2026.(2)原式=(13.25+6.75) ×(13.25一6.75)=20×6.5=130.(3)原式=（一2）100×[(-2)+1]=-2100.(4)原式 =(2.2+17.8)2=202=400. 11.解：剩余阴影部分的面积为元R2一4πr2=π(R2一4r2)=π(R十2r)(R一2r).将R= 6.8dm,r=1.6dm代入，得剩余阴影部分的面积为π(R+2r)(R-2r)=π×(6.8+2× 1.6)×(6.8-2×1.6)=36π(dm2).答：剩余阴影部分的面积为36πdm2. 一3