精品解析：山东省青岛实验初级中学2026-2027学年九年级上学期期初数学试题

九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 杨辉三角 C. 科克曲线 D. 莱洛三角形 2. 已知不等式组的解集如图所示，则=（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于分式，下列说法正确的是（ ） A. 化为最简分式等于 B. 当时，分式的值为 C. 当时，分式的值为零 D. 当时，分式没有意义 5. 无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以为边，在同侧作正五边形和正方形，然后连接，，最后隐藏线段，，并添加眼睛和嘴巴，的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，点，分别是，的中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（ ）． A. 32 B. 34 C. 22 D. 16 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 12. 已知，则分式的值为________． 13. 某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 14. 如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是_____________． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 16. 如图．在中，对角线，交于点，且，平分交的延长线于点，点为的中点．若，，则的长为______． 17. 如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 18. 如图，平面直角坐标系中，过点的直线与轴垂直，点M、N为直线上两个动点，且线段长度固定为3．已知点，，则的最小值为_______． 三、解答题（共66分） 19. 作图题：（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 已知：，求作：菱形，使点、、分别在边、、上． 20. 完成下列小题． （1）因式分解：； （2）解不等式组：； （3）解方程：． 21. 先化简：，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 22. 已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 23. 西大附中第23届缤纷节在各校区缤纷上演，活动期间，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒共花费2000元，购买乙种荧光棒共花费3000元，已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵，且乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量多100根． （1）求甲、乙两种荧光棒的销售单价； （2）由于需求量较大，学校追订这两种荧光棒共800个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的．该商家决定：甲种荧光棒售价打8折出售，乙种荧光棒售价不变．已知甲种荧光棒的成本为3元，乙种荧光棒的成本为2元．当订购甲种荧光棒的数量为多少时，商家获得的利润最大？利润最大为多少元？ 24. 【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）将配方成的形式为：_________________________； （2）利用配方法分解因式：_________________________； （3）多项式的最小值为_________________________； （4）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 25. 如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． （1）____________（用含的代数式表示）； （2）当为菱形时，求的值； （3）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （4）请分析说明在运动的过程中，线段的长度是否发生变化；若不变，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 杨辉三角 C. 科克曲线 D. 莱洛三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”及中心对称图形的定义“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 已知不等式组的解集如图所示，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式组，用含、的代数式表示出不等式组的解集，然后结合数轴上表示的解集确定、的值，最后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为； 根据题意得不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需验证等式左右相等且结果为整式积的形式，逐项判断． 【详解】解：A选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； B选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； C选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； D选项：∵，与左边相等，且结果为整式积的形式， ∴变形正确． 4. 关于分式，下列说法正确的是（ ） A. 化为最简分式等于 B. 当时，分式的值为 C. 当时，分式的值为零 D. 当时，分式没有意义 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质、分式有意义的条件及分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一分析选项即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、当时，，此时原分式没有意义，原说法错误，不符合题意； C、当时，，此时原分式没有意义，原说法错误，不符合题意； D、当时，，此时原分式没有意义，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“时间=路程÷速度”统一单位后，利用两者的时间差关系列方程即可． 【详解】解：∵设外卖员配送速度为，则无人机速度为， 可得外卖员用时为小时，无人机用时为小时， ∵24分钟小时，无人机比外卖员早到小时，即外卖员用时比无人机多小时， ∴ 可列方程为． 6. 某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以为边，在同侧作正五边形和正方形，然后连接，，最后隐藏线段，，并添加眼睛和嘴巴，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正五边形和正方形的性质分别求出，，进而可求，因为，则可求，则可求． 【详解】解：∵在正五边形和正方形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 已知在中，，点，分别是，的中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴． 9. 如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质及其应用．证明，推出，再证明，再通过线段和差即可得结论． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，，，， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（ ）． A. 32 B. 34 C. 22 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据是的垂直平分线，可得，根据是的平分线，，，可得，然后证明，可得．证明，可得，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， 的周长， 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练使用各性质定理． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 根据题意得， ∴ ∴． 12. 已知，则分式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知等式变形，得到与的关系，再整体代入所求分式化简求值． 【详解】解：∵ ， 通分得 ， 整理得 ，即 ， 将所求分式变形得：， 把代入上式得：． 13. 某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 【答案】6.6 【解析】 【分析】设可打折，根据要保持利润率不低于，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设可打折，由题意，得：，解得． 故至多可打6.6折． 14. 如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是利用函数图象求不等式的解集． 从图象上找到在上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交点的横坐标是4， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 【答案】 ##40度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质求出和的度数，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵点D在边上 ， ∴， ∴． 16. 如图．在中，对角线，交于点，且，平分交的延长线于点，点为的中点．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设交于点H，由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，由，根据勾股定理求得，进而得到，再证明，得，根据三角形的中位线定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点O是的中点，点E是的中点， 是的中位线， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，证明及是解题的关键． 17. 如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，，然后证明四边形是平行四边形，然后结合勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 在中，， ∵，即， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 18. 如图，平面直角坐标系中，过点的直线与轴垂直，点M、N为直线上两个动点，且线段长度固定为3．已知点，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取点，作点关于的对称点，连接，，,则，，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当B、N、D三点共线时，最小，最小值为，然后根据两点间距离公式求出，即可求解. 【详解】解：取点，作点关于直线的对称点，连接，，,则， ∵过点的直线与轴垂直， ∴， ∵点， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当B、N、D三点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为. 三、解答题（共66分） 19. 作图题：（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 已知：，求作：菱形，使点、、分别在边、、上． 【答案】如图，菱形即为所求． 【解析】 【分析】作平分线交于点，作的垂直平分线分别交、于点、，设、交于点，由垂直平分线性质可得，，证明可得，代换得，由四条边相等即可证明四边形是菱形． 【详解】解：如图，作平分线交于点，作的垂直平分线分别交、于点、，设、交于点， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 完成下列小题． （1）因式分解：； （2）解不等式组：； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为； 【小问3详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程无解． 21. 先化简：，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】 化简得；选取代入，值为 【解析】 【分析】先算括号里面的，再算除法，然后选出合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． ∵分式的分母不能为零， ∴，， ∴当时，原式=． 22. 已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． （1）求证：； （2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）知：， 又， 四边形是平行四边形， ，， 是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是矩形． 【解析】 【分析】（1）平行四边形对边相等，先证明，得到，从而得到，再证明； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，用三角形外角和已知条件得到，进行得到，对角线相等的平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 23. 西大附中第23届缤纷节在各校区缤纷上演，活动期间，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒共花费2000元，购买乙种荧光棒共花费3000元，已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵，且乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量多100根． （1）求甲、乙两种荧光棒的销售单价； （2）由于需求量较大，学校追订这两种荧光棒共800个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的．该商家决定：甲种荧光棒售价打8折出售，乙种荧光棒售价不变．已知甲种荧光棒的成本为3元，乙种荧光棒的成本为2元．当订购甲种荧光棒的数量为多少时，商家获得的利润最大？利润最大为多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种荧光棒的销售单价分别为5元个，6元个； （2）当订购甲种荧光棒的数量为267个时，商家获得的利润最大，利润最大为2399元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，准确列出方程组和函数表达式是解题的关键． （1）设甲荧光棒的销售单价为元，根据“乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量多100根”列出分式方程解出即可； （2）设订购甲种荧光棒的数量为个，商家获得的利润为元，列出关于的函数关系式，求出的取值范围，根据函数增减性即可解决问题． 【小问1详解】 解：设甲荧光棒的销售单价为元，则乙荧光棒的销售单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲、乙两种荧光棒的销售单价分别为5元个，6元个； 【小问2详解】 设订购甲种荧光棒的数量为个，则订购乙种荧光棒的数量为个，商家获得的利润为元， 根据题意，得， 本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的， ， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，最大，最大值为（元， 答：当订购甲种荧光棒的数量为267个时，商家获得的利润最大，利润最大为2399元． 24. 【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）将配方成的形式为：_________________________； （2）利用配方法分解因式：_________________________； （3）多项式的最小值为_________________________； （4）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】（1） （2） （3）2026 （4）8 【解析】 【分析】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：； ∴将配方成的形式为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； 【小问4详解】 解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 25. 如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． （1）____________（用含的代数式表示）； （2）当为菱形时，求的值； （3）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （4）请分析说明在运动的过程中，线段的长度是否发生变化；若不变，求出的长． 【答案】（1） （2）4 （3）存在． （4）不变，理由如下： 如图2中，作交于K， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故线段的长度不发生变化，． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由可知，故； （2）由是菱形得到，进而可求解； （3）如图1中，连接交于M，证明，由此构建方程即可解决问题； （4）作交于K，可证明，得出，证明即可解决问题． 【小问1详解】 解：在等边中，， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意可知， 在等边中，， ， 当是菱形时，， ， 解得， 即当为菱形时，的值为． 【小问3详解】 解：存在． 理由：如图1中，连接交于M， 平分，， ，， ， ， ， ，， ， 解得． 故存在某一时刻，使点在的平分线上，． 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $