精品解析：山东菏泽市牡丹区长城学校2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习

九年级数学开学检测 （考试时间：120分钟，分值：120分） 第一部分（选择题 共30分） 1. 习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，进入创新发展“快车道”、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；据此即可求解； 【详解】解：由中心对称图形的定义可知，B为中心对称图形； 故选：B ． 2. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】A、是因式分解，选项正确； B、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； C、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，熟记相关运算法则是解题关键． 【详解】解：选项A：∵，错误； 选项B：∵，正确； 选项C： ，错误； 选项D： ，错误； 故选：B 4. 下列说法中正确的是 （ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形. 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形. 菱形：在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形. 矩形：有一个角是直角的平行四边形，矩形也叫长方形. 【详解】A选项中四边相等的四边形不能证明是正方形,有可能是菱形.则A错误. B选项一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形，所以B错误. C选项中，对角线互相垂直，不能判定四边形是菱形. 根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，即可得出本题正确答案为D. 【点睛】本题的关键在于：熟练掌握正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定. 5. 如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 6. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ） A. 8或9 B. 9或10 C. 8或9或10 D. 9或10或11 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 7. 每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用工作时间工作总量工作效率，分别求出原计划和实际的完成天数，根据“原计划天数实际天数提前的3天”列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每日清淤量为，实际每日清淤量比原计划提高， 实际每日清淤量为，总清淤量为， 原计划完成天数为，实际完成天数为， 实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天， 可列方程：． 8. 如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（ ） A. B. 20 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵E、F分别是边的中点， ∴且， 且， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 若不等式组的解为x＜m，则m的取值范围为（　　） A. m≤1 B. m=1 C. m≥1 D. m＜1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中不等式组的解，判断m的范围. 【详解】同小取最小，题中不等式组x<1，x<m 解为x<m， . 所以答案选A. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组是本题解题的关键. 10. 如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】由，，推导出，则，可判断①正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断②错误；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：△的角平分线、交于点， ，， ， ，故①正确； 如图1，连接，作于点，于点， 平分，平分，交于点，且于点， ， ， ，故②错误； 如图2，在上截取，连接， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 当___________时，分式无意义． 【答案】-3 【解析】 【分析】当分式的分母等于零时，分式无意义，据此列式计算即可． 【详解】解：∵分式无意义 ∴ 解得， 故答案为：-3 【点睛】从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 12. 若分式方程有增根，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的取值，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求得的值． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 整理得， 变形得． 原分式方程有增根， ，即， 将代入，得 ， 解得． 13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 15. 在菱形中，对角线，相交于点，交于点，已知，，则菱形的面积为___________． 【答案】 30 【解析】 【分析】根据斜边上的中线结合菱形的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为. 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）原分式方程无解 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程和一元二次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【小问1详解】 解：原式去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是方程的增根， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴， ∴， ； 17. 如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点O，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出， ，得到，判定，推出，关键是由平行四边形的性质推出． 【详解】 略 18. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是平行四边形， 理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，进而根据平行四边形的判定定理即可求证； （）根据中点定义可得，再根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点是的中点，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，请作出；并写出点的坐标______________； （3）在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， （3）或或 【解析】 【分析】此题考查了平移和旋转的作图、平行四边形的性质和判定等知识，熟练掌握平移和旋转的作图是关键． （1）已知平移得到点的坐标为，即可得到平移规律为向右平移5个单位，向下平移6个单位，据此得到经过平移后得到的对应点，再顺次连接、即可得到； （2）作出绕点按顺时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （3）根据平行四边形的判定和性质找到所求的点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，点D的坐标为或或． 20. 如图，在四边形中，，平分，，E为中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定得出结论； （2）过D作于H，根据菱形四边形的性质和含30度角的直角三角形的性质求解、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过D作于H， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴四边形的面积为． 21. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． 【小问2详解】 设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 22. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； （3）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】（1）①③； （2），； （3） 是，理由：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 【解析】 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 【小问2详解】 解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； 【小问3详解】 略 23. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【解析】 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（），得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接，则，，， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学检测 （考试时间：120分钟，分值：120分） 第一部分（选择题 共30分） 1. 习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，进入创新发展“快车道”、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4 4. 下列说法中正确的是 （ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 5. 如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 6. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ） A. 8或9 B. 9或10 C. 8或9或10 D. 9或10或11 7. 每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（ ） A. B. 20 C. D. 16 9. 若不等式组的解为x＜m，则m的取值范围为（　　） A. m≤1 B. m=1 C. m≥1 D. m＜1 10. 如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 当___________时，分式无意义． 12. 若分式方程有增根，则的值为________________． 13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 15. 在菱形中，对角线，相交于点，交于点，已知，，则菱形的面积为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2） 17. 如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点O，求证：． 18. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，请作出；并写出点的坐标______________； （3）在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 20. 如图，在四边形中，，平分，，E为中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 21. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； （3）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 23. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $