27.3 实际问题与反比例函数 第2课时 利用反比例函数图象解决实际问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用反比例函数图象解决实际问题”，承接此前用解析式解决的货物装卸等问题，通过知识回顾反比例函数性质搭建支架，引导学生结合图象分析做功、行程等实际问题。 其亮点是以近视眼镜度数、光照强度调节等实例为载体，通过“一看轴、二看图、三设式、四求解”步骤培养数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理能力），课堂小结用流程图梳理解决路径，帮助学生提升建模思想和数形结合能力，教师可借助分层练习提高教学效率。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第2课时 利用反比例函数图象解决实际问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 利用反比例函数图象解决简单实际问题 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 利用反比例函数图象求变量的取值范围 8. 对接中考 1. 能根据实际情境（如做功、行程问题）建立反比例函数模型，会结合函数图象和解析式，解决求变量取值范围等的实际问题. 2. 经历“从实际问题抽象出反比例关系→结合图象分析变量变化规律→用反比例函数解决问题”的过程，体会数形结合思想和建模思想，提升用数学知识解决实际问题的能力. 学习目标 知识回顾 新课导入 之前我们已经学会了用反比例函数解析式解决货物装卸、杠杆的问题，今天我们再升级一下难度——结合反比例函数的图象，来分析做功、行程等实际问题，看看图象能帮我们解决什么新问题！ 新课讲解 知识点1 利用反比例函数图象解决简单实际问题 例 1. 近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 （米）之间具有如图所示的反比例函数关系. (1) 求关于 的函数解析式. (2) 经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 解：(1) 由题意可设，把 代入，得 ， 关于的函数解析式为 . (2) 当时， ， （度）. 答：小北同学的近视眼镜度数降低了100度. 新课讲解 例 2. 在力 F（单位：N）的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移s（单位：m），则力F 所做的功 W（单位：J）满足 W=Fs. 当 W 为定值时，s 与F 之间的函数关系如图所示. (1) 当力F 为10 N时，求F 所做的功W； (2) 写出S 关于F 的函数解析式； 解： (1) 由图可知，当力F为10 N时，物体在力F 的方向上发生的位移s为50 m， 此时F 所做的功W=Fs=1050=500（J）. (2) 当W为定值时，可以用反比例函数描述s 与F 之间的关系. 由(1)可知其解析式为 s=. 新课讲解 归纳 由函数图象确定函数解析式的方法： 一看轴 二看图 三设式 四求解 看横轴、纵轴表示的具体含义 观察图象形态，选择函数模型 设出函数解析式 将图中已知点的坐标代入解析式，求出待定系数 新课讲解 练一练 1. 如图，在常温状态下，测量一种气球内的气压 (单位：)与气体体积(单位： )成反比例函数关系，则关于 的函数解析式为 ( ) D A. B. C. D. 新课讲解 练一练 2. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度 .智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度.学习小组通过查阅资料，发现照度 是透明度 的反比例函数，其图象如图所示. (1) 求与 之间的函数解析式. 解：设与之间的函数解析式为 ， 把代入，得 ， 与之间的函数解析式为 . 新课讲解 练一练 2. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度 .智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度.学习小组通过查阅资料，发现照度 是透明度 的反比例函数，其图象如图所示. (1) 求与 之间的函数解析式. (2) 君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意.它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度 应控制在什么范围内？请说明理由. 解：智能玻璃的透明度应控制在 的范围内.理由如下： 当时， ； 当时， . 智能玻璃的透明度应控制在 的范围内. 新课讲解 知识点2 利用反比例函数图象求变量的取值范围 例 3. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为 为定值，单位： 的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积(单位：)与其深度 (单位： )是反比例函数关系，它的图象如图所示. 解：(1) 当时， ， . (1) 求储存室的容积（单位： ）的值； (2) 受地形条件限制，储存室的深度需要满足 ，求储存室的底面积 的取值范围. (2) 由(1)得 ， 则，随着的增大而减小. 当时， ；当时， ， 当时， . 新课讲解 例 4. 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 （单位：km/h）与行驶全程所用时间 （单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120. (1) 写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围； 解：甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述 v 与 t 之间的关系. 由图可知，当 t=2 时，v=120. 于是有 当 v=60 时，由 得 t=4. 因为 60≤v≤120，并且平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小，所以 2≤ t ≤4. 新课讲解 例 4. 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 （单位：km/h）与行驶全程所用时间 （单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120. (1) 写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围； (2≤ t ≤4) (2) 若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围. 解：客车上午 8 时从甲地出发， 若当天 10 时 40 分到达乙地，则行驶全程所用时间 t=2 h， 代入v，可得 v=90（km/h）； 若当天 11 时到达乙地，则行驶全程所用时间 t=3 h， 代入v，可得 v=80（km/h）. 因为平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小， 所以客车平均速度 v 的范围是 80≤v≤90. 新课讲解 练一练 1. 某学校要种植一块面积为100 m2 的长方形草坪，要求相邻两边长均不小于5 m，则草坪的一边长y(单位：m)随其邻边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是图中的 ( ) 解：∵草坪面积为100 m2， ∴ y= . ∵相邻两边长均不小于5 m， ∴ x ≥ 5，y ≥ 5. 当y ≥ 5 时， ≥ 5， ∴ x ≤ 20. ∴ 5 ≤ x ≤ 20. C 新课讲解 练一练 解：(1) 已知电压 U=220 V，代入功率公式 P，得 P. 因此，功率 P 与电阻 R 的函数关系为P (110 ≤R≤220). 2. 收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节.某用电器内置可变电阻 R 的范围为 110∼220 Ω，电压 U 为 220 V. 已知功率 ，回答下列问题： (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？ (2) 这个用电器的功率 P 的范围是多少？ (2) 由 P 可知，当 R>0 时，P 随 R 的增大而减小. 因为 110≤R≤220，所以当 R=110 Ω 时，P最大 440（W）； 当R=220 Ω 时，P最小220（W）.故功率 P 的范围是 220 W≤P≤440 W. 课堂小结 反比例函数模型 利用反比例函数的图象和性质求解 实际问题的答案 构建 数学问题 跨学科问题 生活实际问题 实际问题 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 审 设 列 解 检 答 当堂小练 1. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫作功率，即所做的功一定时，功率 与做功所用的时间 成反比例函数关系，图象如图所示，当时， 为 ( ) A. B. C. D. 解：设. 图象经过点， ，解得， ， 把代入，得 . C 当堂小练 2. 中国面食文化至今已有两千多年的历史(面条在东汉称之为“煮饼”).一定体积的面团做成拉面，拉面的总长度 是拉面粗细(横截面面积) 的反比例函数，其图象如图所示，若拉面的横截面面积在 之间，则拉面总长度的范围为__________________. 当堂小练 3. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形相邻两边的长分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y 关于x 的函数图象是（　　） A 解：根据题意和题图可知，小矩形相邻两边的长分别为x，y, 则一个小矩形的面积是 xy=10，即y=. 又 2≤x≤10，所以当x=2时，y取最大值5；当x=10时，y取最小值1.故选A. 当堂小练 解：(1) 设y与x之间的反比例函数解析式为y=. ∵图象过点(140，10)，∴10=，解得k=1 400. ∴y与x之间的反比例函数解析式为y=. (2) ∵小明在8：20开始录入，完成录入的时间为8：40， ∴共用20 min，∴当y=20时，20=，解得x=70. ∴小明每分钟录入的字数是70. 4. 小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y(min)与录入文字的速度x(字/min)之间的函数关系图象如图所示． (1) 求y 与x之间的反比例函数解析式； (2) 小明在8：20 开始录入，完成录入的时间为8：40，求小明每分钟录入的字数. 当堂小练 5. 某闭合电路中，其两端电压恒定，电流 I（A）与电阻 R（Ω）成反比例函数关系，其图象如图所示，根据图象回答下列问题. (1) 写出电流 I 关于电阻 R 的函数解析式. (2) 如果一个用电器的电阻为5 Ω，其允许通过的最大电流 是1 A，那么这个用电器接在这个闭合电路中，会不会 被烧毁？请说明理由. 解：(1)由题意，设电流I关于电阻R的函数解析式为 (k≠0). 由图象过点B(3，2)，得 2=，解得k=6， 故电流I关于电阻R的函数解析式为 . (2)由(1)知，闭合电路两端电压恒为6 V， 该用电器接到这个闭合电路中，通过的电流为 =1.2(A)， 大于此用电器允许通过的最大电流1 A， 故该用电器接在这个电路中会被烧毁. 当堂小练 5. 某闭合电路中，其两端电压恒定，电流 I（A）与电阻 R（Ω）成反比例函数关系，其图象如图所示，根据图象回答下列问题. (1) 写出电流 I 关于电阻 R 的函数解析式. (3) 若允许通过的电流不超过4 A，那么电阻R应该控制在什么范围？ 解：(3) 方法一（利用函数图象）由 ，可知  时，. 结合函数图象可知，电阻  应该控制在  以上(含 ). 方法三（利用不等式）由题意知 ，R>0，即 4R≥6，解得 R≥1.5， ∴ 电阻 R 应该控制在 1.5 Ω 以上（含 1.5 Ω）. 方法二（利用函数的增减性）∵  k=6>0， ∴ 在第一象限内， 随  的增大而减小. ∵ I4 时，R，∴ 0<I≤4 时，R≥1.5， ∴ 电阻 R 应该控制在 1.5 Ω 以上（含 1.5 Ω）. 对接中考 A. B. C. D. 1. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位： 是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻大于 时，电流 可能是 ( ) 解：由题图可知，该反比例函数在第一象限内， 随的增大而减小， 当 时， ， 电流可能是 . A 对接中考 2. 如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间 是反比例函数关系(如图2)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于 ，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间 段的时间可能是 ( ) A. B. C. D. 解：由题图2得，限速区间段的总路程为 ， 最高车速为，最低车速为， 在最高车速 下的行驶时间为 ， 在最低车速 下的行驶时间为 ， 通过 段限速区间的行驶时间应该在， 选项符合题意. C 拓展与延伸 1. 单板滑雪 是一项以一块滑雪板为工具，在规定的山坡线路上快速回转滑降，在空中完成各种高难度动作的雪上竞技项目，依据对甲、乙、丙三名滑雪爱好者测试所得数据，在给定的坐标系中分别绘制出滑雪板的 压强与受力面积 的相应图象，根据图象及物理知识 ，可判 断出甲、乙、丙三名滑雪爱好者滑雪板压力的大小关系为( ) A. B. C. D. A 解：，， 由题中图象可得，受力面积 相同时，， ， . 拓展与延伸 2. 将某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图放在平面直角坐标系中 ( 如图所示)，其中为水面，滑梯 段可看成是反比例函数图象的一部分，矩形 为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口 点到的距离 为4米. (1) 求 段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2) 求点到轴的距离的长 ； 解：(1) 设段所在的反比例函数的解析式为 ， ，， . 出口点到的距离为4米， (米). 段所在的反比例函数的解析式为 . (2) ，当时， . 点到轴的距离长为 米. 拓展与延伸 2. 将某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图放在平面直角坐标系中 ( 如图所示)，其中为水面，滑梯 段可看成是反比例函数图象的一部分，矩形 为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口 点到的距离 为4米. (1) 求 段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (3) 若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，求到 的距离的取值范围. 解：距水面 的高度不高于3米， ，即，解得 ， 又， ， 又所在直线为，到的距离为， 当 时，距离为(米)，当时，距离为 (米)， 到距离的取值范围是到的距离 . $