陕西省洛南中学2026-2027学年高三第一学期第一次模拟考试数学试题

**基本信息** 高三数学模考卷聚焦函数与集合核心知识，以人工智能机器人产量增长为情境，通过基础题（如集合运算）、能力题（如函数奇偶性）、创新题（如抽象函数证明）三级梯度，考查抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、命题、函数性质|单选考基础（如集合运算），多选辨能力（如函数奇偶性与单调性）| |填空题|3/15|幂函数、函数求值|第14题考恒成立问题，提升推理能力| |解答题|5/77|抽象函数、不等式应用|第19题探究抽象函数性质，第6题结合科技情境体现模型意识|

洛南中学2026-2027学年度第一学期第一次模考 高三数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（  ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则为（  ） A．， B．， C．， D．， 3．设，则“”是“”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 5.已知，，则（  ） A. B. C. D. 6．已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（  ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 7．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 8．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（  ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（   ） A．的图象关于对称 B． C． D．是奇函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，若幂函数是偶函数，则_________． 13．已知函数，则_________． 14．函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________. 4、 解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知合，． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（15分）设函数. (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，，，求的最小值. 17．（15分）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 18．（17分）已知函数． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 19． （17分）已知定义在上的函数满足以下条件： ①； ②当时； ③，均有，且. (1)求，并用表示； (2)证明是增函数； (3)对，，恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度第一学期第一次模拟 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 6 选项 D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 选项 AC BCD ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2 13.2 14.(5,+0) 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本题满分13分) 解（1)因为m=0,所以B={xx<m-1或x≥m+1}={xx<-1或x≥1}， 又因为A={x-1<x<3}, 所以AnB={1≤x<3}… …5分 (2)因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，所以A是B的真子集，…8分 又因为A={x-1<x<3},B={xx<m-1或x≥m+1}, 所以-1≥3或m+1≤-1，故m≥4或m≤-2， 故实数m的取值范围为(-0，-2]小[4，+∞).…13分 16.（本题满分15分) 解：若不等式f(x)>0的解集为(-1,3)，则-1,3是方程ax+(b-2)x+3=2的两个根，且a<0, 1+3=2-b a=-1 可得 ...e..eee.e 、,3,角晖子b=4三 …7分 a 第1页共4页 (2)若f(1)=2,则a+(b-2)+3=2,可得a+b=1,…8分 又a>0,b>0, 所以8日别a+1o台：0-2 b 9a a b =16,…13分 Va b 当且仅当2即a=b=3等号成立， a b 4 4 所以号+的最小值为16. …15分 b 17.（本题满分15分) 解（1)当a=2时，f(x)=2x2-3x+1, 二次函数的图象开口向上，对称轴为x, 因为x∈[1,2]，f(x)在L,2]上单调递增， 所以f(x)的最大值为f(2)=3… …7分 (2)由f(x)<0得ar2-(a+l)x+1=(am-1(x-)<0,…8分 若a=1,则x∈0；…I0分 若a>1,则x<l; …12分 1 若0<a<1,则1<x<上；…14分 a 综上：a=1时，不等式解集为o;a>1时，不等式解集为 0<a<1时，不等式解集为1， …15分 a 18.(本题满分17分) (1)证明：令-2<x1<x3<2,则 心有，告 3分 因为x2-x>0,5<4,(x+4)(x号+4)>0，所以x3-4<0, 所以f()-f(x)<0,即f(x)<f(x2),(利用导数证明同样给分) 则f(x)在(-2,2)上单调递增.…5分 (2)f(x)是奇函数，证明：f(x)的定义域为(-2,2)，关于原点对称，…6分 第2页共4页 -44-四， 且f(-x)= 一X 所以f(x)是奇函数…I0分 (3)由f(x)是奇函数，得f(2+a)>-f(1-2）=f(2a-1),…12分 因为f(x)在(-2,2)上单调递增， -2<2+a<2, 所以-2<2a-1<2,解得- 2a<0. 2+a>2a-1, 故实数a的取值范围是 …17分 19.(本题满分17分) 解：(1)对③式，令x=1,y=0,则f)=f)f(0)+f(1)+f(0), 由于f(1)=2,解得f(0)=0,… …2分 (或令x=y=0得f(0)(f(0)+1)=0,由于f(x)≠-1，所以f(0)=0) 对③式，令v=-x,则f(0)=f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)=0, 又因为f四山，即1+f0,月所以)1子0> …5分 (2),x3∈R,且<x2,则 f()f(:)=f(任)-f[3-x)+x]=()[f(s-x)f)+f(s,-)+f(] =-[f(s3-出)f()+(3-x)门=-f(x-x)[f()+1],…8分 因为<x,所以x->0,所以f(5-)>0, 因为当<0时，0，则（功得0，所以-长10，所以1代+0 又因为x>0时，f(x)>0,所以f(x)+1>0,所以f(x)+1>0, 所以f()-f(x)=-f(3-x)[f(化)+1]<0，即f(x)<f(s), 所以f(x)是R上的单调递增函数…I2分 (3)由(2)知，f(x)是单调递增函数，所以f(x)最大值为∫(1)=2，…13分 第3页共4页 所以对任意a∈[2,4]，2≤lnt+at恒成立，即lht+at≥2， 令h(a=ta+ht(t>0),由于h(a)在a∈[2,4]上单调递增，故需满足最小值h(2)=2t+ht≥2， 设p(t)=2t+ht,其在(0，+o)上单调递增且p(1)=2,故由2t+nt≥2，解得t≥1， 所以实数t的取值范围为[1，+0).…17分 第4页共4页