精品解析：陕西洛南中学2025-2026学年高三第二学期四月阶段性自检数学试题

2025-2026学年高三第二学期四月阶段性自检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合的元素，再由交集定义求解即得. 【详解】因表示奇数集，而， 故. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分离复数，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得 的值. 【详解】由，得． 3. 已知椭圆：，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由椭圆的方程，可得：， 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得，解得； 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得，解得， “”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件． 故选：A. 4. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 5. 若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ） A. 840 B. C. D. 210 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 6. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且（O为坐标原点）．若，则焦点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点M作轴，利用直角三角形的性质可求出以，从而可求出，进而可求出焦点F 的坐标. 【详解】由抛物线的对称性，不妨设点M在x轴上方． 设抛物线C的准线l与x轴的交点为H，则． 过点M作轴于点N，作准线l于点Q，则四边形是矩形，，所以．在中，因为，，所以，所以． 因为焦点F的坐标为，所以焦点F的坐标为． 故选C． 7. 已知函数，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出后结合题意可得，，结合周期性与题意所给单调性可得或，再分别验证即可得. 【详解】，由， 则有，即，， 由，则，故，， 则，，， 化简得，，， 令，则，， 由函数在上单调递增，则，即， 又，则或， 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递增，故在上单调递增， 故时符合题意； 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调，故不合题意； 综上所述：. 故选：A. 8. 已知三棱锥中，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析得到外接圆的半径和外接球半径相等，得到为外接球中的大圆，进而判断当平面ABC时，三棱锥的高最大，通过计算即可得到答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R，则，解得， ∵，，∴，即为直角三角形， 则外接圆的直径即为直角三角形的斜边AB， 故外接圆的半径， 所以为外接球中的大圆，AB即为三棱锥外接球的直径， 设AB的中点为O，则O即为球心， 当平面ABC时，三棱锥的高最大，此时， 此时， 即三棱锥体积的最大值为. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线进而求解； （2）坐标法：通过建立恰当的空间直角坐标系，结合空间坐标运算公式求解； （3）基底法：通过向量的基底转化以及向量的运算法则进行求解. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】不妨设，则， 因为与，的中位数都是，所以，A正确； 当时，，所以B错误； 由条件知， 因为，所以， 所以余下6个数据的方差， 所以，C正确； ，D错误． 10. 设函数，则（   ） A. 当时，在处取极大值 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项. 【详解】当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，故A正确； 又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴，轴，原点均对称 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最大值是 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题定义可得双纽线方程.对于A，可分别用替换原方程的验证方程是否不变即可；对于B，可根据求出的范围；对于C，将双纽线方程分离出一个,再求另一侧的最大值；对于D，联立直线与双纽线方程，使其仅有唯一解即可. 【详解】根据双纽线的定义可得，,整理化简得： . 对于A：分别用替换原方程的,方程不变，故A正确； 对于B：对化成关于的一元二次方程得， ，舍去负根，得：. ,两边平方后化简， 得,解得, 即,故B正确. 对于C：易知当最大时，必不在坐标原点，因此可写为： ,当时取到等号， 因此,即双纽线上任意一点到原点的距离都不超过，故C正确. 对于D：直线与曲线一定有公共点,若直线与曲线只有一个交点， 联立与双纽线方程,整理得： ,解得或. 要使方程只有唯一解，则,解得或,故D错误. 故选：ABC. 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为______ 【答案】##12.5 【解析】 【分析】如图，根据单位向量的概念可得，，利用几何图形可得，即可得解. 【详解】 如图，由于=+，所以， 则，所以在等腰直角中，， ，所以， 即腰长为5，故的面积. 故答案为：. 13. 已知为第一象限角，，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切和角公式得到方程，结合所在象限求出，再由正切二倍角公式进行求解. 【详解】由，得，解得或． 又为第一象限角，所以，所以． 故答案为： 14. 过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和________． 【答案】 【解析】 【分析】则根据题意可知O为的中点，所以，化简得到， 由A，B，C，E四点共面得到，可证明得到数列是等比数列．求得， 再利用错位相消法得到． 【详解】作出示意图如下： 设直线与底面ABC的交点为E， 则根据题意可知O为的中点，所以， 又， 所以， 又因为A，B，C，E四点共面，且，，不共面， 所以， 所以，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， ， 两式相减得： ， 所以． 故答案为：. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 16. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望． 附：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）运用独立性检验判断赛事与性别关系；（2）先进行分层抽样，求概率后列分布列，利用期望公式求期望. 【小问1详解】 假设：关注“苏超”赛事与性别无关， 依题意， 则假设不成立，即有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关. 【小问2详解】 由题意可得，关注赛事的市民中男女比例为， 所以6人中抽取男性市民人，女性市民人， 则的取值为， ， ， ， 分布列如下表所示： 所以． 17. 如图，在三棱台中，点，分别为，的中点，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：由棱台性质知，所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为为中点，所以，， AI    所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，即， 又因为，，、平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形求出，余弦定理求出，即可根据勾股定理证明，结合，可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）求出平面ADE的法向量，设，由点M在侧面内，所以存在使得，再结合平面可推出，根据两点间距离公式及二次函数的性质可求出取最小值时m的取值，即可求出此时点M的坐标，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，则， 以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图， 所示，，，，， ，， ，，， 设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为，； 【小问3详解】 设为平面的法向量， ，， ，令得，， 设，因为点在侧面内，所以存在m、n使得， ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为在侧面内，所以， ， 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为，设平面的法向量为， ，， ， 令，，， 设平面与平面所成的二面角为，， 所以平面与平面所成的二面角得余弦值为. 18. 如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． （1）求C的方程； （2）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； （3）设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 直线PQ过定点，理由如下： 设， 直线PQ的方程为， 联立， 整理得， 则， 所以， 所以，所以， 直线，所以， 又N，B，Q三点共线， 所以，即，即， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 整理可得， 所以，所以PQ过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）因为离心率，将点代入双曲线方程得，又，解得a，b，即可得出答案； （2）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可得出答案； （3）设和的外接圆半径分别为，由正弦定理可得，又，可得，设直线PQ的方程为，与双曲线C的方程联立，可得，，由韦达定理得m的范围，结合弦长公式及函数性质进而可得答案. 【小问1详解】 因为离心率，所以，双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 所以， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设和的外接圆半径分别为 由正弦定理可得， 又， 所以，即， 设直线PQ的方程为x＝my+4， 与C的方程联立， 整理得， 则， 又，即， 所以，所以， 所以，即， 解得， 又因为， ， 所以， 因为，所以， 即. 19. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意n个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”．若为上任意n个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”．可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式． （1）证明：函数在上为“凹函数”； （2）已知正实数a，b，c满足，求证：； （3）一般形式的柯西不等式：设，是实数，则，当且仅当或存在一个实数k，使得时，等号成立．设均为大于0的实数，且，求证：． 【答案】（1），， ，， 当时，，故， 由“凹函数”的定义可得，函数在上为“凹函数”； （2）由正实数a，b，c满足，可得， 满足（1）中函数的定义域， 由（1）知在上为“凹函数”， 对n=3，根据“凹函数”的琴生不等式：． 令，，，代入得：， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立； （3）构造单变量函数， 则， ， 当时，，故，且，， 因此，即函数在上为“凸函数”， 根据“凸函数”的琴生不等式， 对任意，有， 两边同乘n，变形为，①， 又， 由柯西不等式有， 即， 化简可得，② 由， 当时，，因此在上单调递增， 由结论②：， 结合的单调性得，③， 将结论③代入不等式①，得， 故不等式得证． 【解析】 【分析】（1）求，根据的正负即可得证； （2）由（1）利用的凹凸性即可得证； （3）构造函数，判断的凹凸性，利用凹凸性即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三第二学期四月阶段性自检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆：，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 5. 若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ） A. 840 B. C. D. 210 6. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且（O为坐标原点）．若，则焦点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 8. 已知三棱锥中，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（   ） A. 当时，在处取极大值 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴，轴，原点均对称 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最大值是 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为______ 13. 已知为第一象限角，，则=______． 14. 过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和________． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 16. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望． 附：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱台中，点，分别为，的中点，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． （1）求C的方程； （2）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； （3）设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 19. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意n个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”．若为上任意n个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”．可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式． （1）证明：函数在上为“凹函数”； （2）已知正实数a，b，c满足，求证：； （3）一般形式的柯西不等式：设，是实数，则，当且仅当或存在一个实数k，使得时，等号成立．设均为大于0的实数，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $