第二十八章 圆 单元测试提优卷 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

**基本信息** 冀教版九年级上册圆单元测试提优卷，通过基础认知、能力应用、综合创新三层设计，覆盖圆的性质、计算及实际应用，强化从单一知识点到跨情境探究的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|圆的基本性质、简单计算|选择1-7题考查圆周角、垂径定理等单一知识点，填空12题直接应用直径与弦关系| |能力应用|综合计算、推理证明|选择8-11题结合菱形、扇形面积综合应用，解答16-18题涉及全等证明与中位线计算| |综合创新|实践探究、跨学科应用|解答19题结合“会圆术”测量弧长，23题定义“十字架四边形”探究正方形判定，培养应用意识|

冀教版九年级上册 第二十八章 圆 单元测试提优卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，圆与菱形中，、、在圆上，在圆内，在上若圆的半径为，，则的长度为多少？(　　) A． B． C． D． 3．如图，是等边的外接圆，，分别为，的中点，延长交于点，若的半径，则的长度为（ ） A． B． C． D． 4． 如图， 弦AC， BD 相交于点 E， 且点 C为 的中点， 连结AD， AB， BC. 若∠ABC=110°， 则∠AEB=（　　) A．60° B．70° C．80° D．90° 5．如图，四边形内接于，，过点C作交于点E，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点 E，G 是弧AC上一点，AG，DC 的延长线交于点F，连结 DG，CG，下列结论正确的是(　　) A．GD平分∠AGC B．EC=CF C． D．∠FGC=∠AGD 7．如图，AC为⊙O的直径，AB为弦，D为弧AB的中点，连接CD，若则∠ACD的度数为（　　）. A．15° B．30° C．45° D．60° 8．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（　　） A． B． C． D． 9． 如图，DE是△ABC的中位线，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交边BC于点 F.若AC=6， ∠C=70°，则扇形EDF的面积为（　　) A． B． C．π D． 10．如图，AB为圆O的弦，C是弧AB的中点，连结AC并延长，OB是⊙O的半径，作BE⊥OB，交AC的延长线于点D，连结BC.给出下列结：①若∠A=30°，则AD∥OB；②若AB=2BD，则其中正确的是（　　） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 11．如图， 在菱形 ABCD 中， ∠D=60°， AB=4， 以 B 为圆心、BC 长为半径画弧AC， 点 P 为菱形内一点， 连接 PA， PB， PC .当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为(　　) A． B． C．8π D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．如图，是的直径，是的弦．若，，则　 　． 13．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=BE.点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，当∠F=3∠PCD时，则=　 　. 14．类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2，l3，…，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为即扇形面积请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为a和b，DE=h，用含a，b，h的代数式表示图中阴影部分面积　 　. 15．如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为　 　 三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16． 如图， 在扇形AOB中， 于点D，求CD的长. 17．在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中点A，B，C均在格点上. （1）仅用无刻度直尺作出△ABC的外接圆圆心O；（保留作图痕迹） （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长。 18．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD 到点C，使DC=BD，连结AC 交⊙O于点 F. （1）AB与AC 的大小有什么关系?为什么? （2） 若∠BAC=60°，AB=4， 求DF 的长. 19．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告. 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求的长l. 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长. 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长. 测量数据： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图1中，弧长 测量数据： PQ≈6.20m MN≈0.50m 取两次测量结果的平均数，则l=6.34m. 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… 反思应用 ①方案一可通过 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长和圆心角∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出. 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： （1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） （2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算的长l； （3）求图2中弧长和圆心角∠AEB.（π取3.1） 20．如图， AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于点E， 连结AC. （1） 已知 求∠CAB 的度数. （2） 若CD=8， BE=2， 求⊙O的半径. 21． 已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． （1）如图①，若，连接，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 22．综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 （1）在图①中，若，，则________． （2）如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 （3）如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． （4）如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） 23．【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”. （1）【探究】如图①，已知▱ABCD是十字架四边形.求证：四边形ABCD是正方形. 以下是小明的部分证明过程： 证明：□ABCD是十字架四边形， ∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形. ∵□ABCD为圆内接四边形， …… （2）【操作】已知AC是⊙O的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形ABCD，使BD为⊙O的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）. （3）【拓展】如图③，四边形ABCD，为十字架四边形，连结OA、OB、OC、OD。 ∠BOC与∠AOD的和为　 　度； （4）若AD+BC=12时，则⊙O半径的最小值为　 　. 参考答案 1．A 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．B 12． 13． 14． 15． 16．解：在扇形AOB中， 是等边三角形， 于点D， 是直角三角形， 在 中， 由勾股定理得： 17．（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 18．（1）解：AB=AC，理由如下 连接AD，如图 ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∴ 又∵AD=AD，BD=CD ∴ ∴AB=AC （2）解：连接BF，如图 由(1)可知是等腰三角形 ∵ ∠BAC=60° ∴是等边三角形 ∴AC=BC=BA=4 ∵AB是⊙O的直径 ∴ ∴点F是AC的中点 又∵点D是BC的中点 ∴DF是的中位线 ∴ 19．（1）多次测量取平均值 （2）方案二：弧长公式米 方案三：会圆术米 （3）解：∵CD⊥AB，AB=6 ∴ 在Rt△ADE中，由勾股定理： 即 解得：AE=5 由会圆术可得， 设∠AEB的度数为n，则 解得： 20．（1）解：连结OD，如图， 的度数为， ， ， ， ； （2）解：设的半径为r，则，， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为 21．（1）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点，即 = ， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，如图②， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 22．（1） （2）如图，连接、、， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 由（1）可知，， ∴（米）． ∴小河最短是沿线段修建，距离为米． （3）解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、， ∵为的直径，， ∴点、点都在上，为的直径， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，，， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）或 23．（1）∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是正方形. （2） 用直尺过圆心画直径 BD，以 A、C 在圆周上的弦 AC 作线段，保证 AC 与 BD 互相垂直，依次连接 AB、BC、CD、DA，描粗四条边得到十字架四边形 ABCD。 ​​​​​​​ （3）180 （4） 学科网（北京）股份有限公司 $