第二十八章 圆 单元测试基础卷 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

**基本信息** 冀教版九年级上册“圆”单元基础卷，覆盖圆的性质、计算及应用，融合文化与生活情境，梯度设计适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|点与圆位置关系、圆心角与圆周角、垂径定理|第11题以岭南园拱门为情境，体现文化传承与空间观念| |填空题|4/12|扇形弧长、矩形旋转面积、圆中角度计算|15题矩形旋转面积考查动态几何，发展空间观念| |解答题|8/72|圆内接四边形、垂径定理应用、定义新题型|24题“对直四边形”定义探究，培养创新意识；20题石拱桥问题发展模型意识，贴合真题应用趋势|

冀教版九年级上册 第二十八章 圆 单元测试基础卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，已知点 A，B 和线段 a， 用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过点 A，B，且半径为a，则这样的圆可以作(　　) A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 3． 如图， 在⊙O中圆心角∠BOC=76°， 则圆周角∠BAC 的度数是(　　) A．36° B．38° C．45° D．152° 4．如下图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC.若∠AOC=130°，则∠ABC的度数为（　　） A．100° B．110° C．115° D．130° 5． 如图， A， B， C是⊙O上的点， OC⊥AB，垂足为点 D，且 D为 OC的中点，若 OA的长为 6，则 BC的长为（　　) A．3 B．5 C．3 D．6 6．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器.图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度CD=3cm，液面所在的弦AB=12cm，则其截面圆的半径为（　　） A．6.5cm B．7cm C．7.2cm D．7.5cm 7．如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°.则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC.若∠CAD=2∠BAC， BC=4，则CD的长可能是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图， AB为⊙O的直径， CD为⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠D 的度数为（ ) A．40° B．50° C．60° D．80° 11．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（　　） A． B． C． D． 12． 如图， 是半圆 的直径，点 为半圆 上的一个动点(与 ， 不重合)， ， 分别在弧 ，弧 上，且 与 相交于点 . 若 ，则 的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若扇形的圆心角为，半径为8，则该扇形的弧长为　 　 14． 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠A＝28°， 则∠O＝　 　度. 15．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8cm，将矩形绕点A旋转90°，到达AB'C'D'的位置，则在转动过程中，边CD扫过的图形的面积S＝　 　． 16．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． 如图，AC是的直径，AB、DC是的两条弦，且.已知.求的度数. 18．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长 19．如图，是的直径，点，在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． （1）求这座石拱桥主桥拱的半径； （2）有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 21． 如图， 在⊙O中，． （1）求的度数； （2）求图中阴影的面积. 22．某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． （1）求的长； （2）求的长． 23．在△ABC中， AB=AC， 以AB为直径作⊙O， 交2C于点D， 交直线AC于点 E， 连结BE.小明：根据题意，我画出了如图1的情况； 小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若∠BAC为钝角，我发现圆与直线AC的交点在线段CA的延长线上； 小明：哦…我明白了！ （1）在图1中，求证：点D 是弧BE的中点； （2） 记∠ABE的度数为α. 求出∠C 的度数(用α表示). 24．【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”. 【示例】如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形.ABCD' 【性质探究】小明同学研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明思路如下： 如图2，连接对角线BD，取BD中点O，连接OA，OC. ∵∠BAD=∠BCD=90°，①， ② ∴OA=OB=OC=OD， ∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上. （1）请补全小明同学的证明过程. （2）【性质应用】如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E. ①求证：四边形APED是“对直四边形”； ②若AB=8，AD=6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长. （3）【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中，AB=kBC（k为正实数）.点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F.请求出的值（用含k的式子表示）. 参考答案 1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．A 8．A 9．B 10．B 11．D 12．C 13． 14．56 15．16π 16．2π-4 17．解： ∵，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴. 18．（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB， ∴BD平分∠ADC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°， ∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°-90°＝90°； （2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∴BD垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60° ∵BD⊥AC， ∴， ∵CF∥AD， ∴∠F+∠BAD＝180°， ∴∠F＝90°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠FBC+∠ABC＝180°， ∴∠FBC＝∠ADC＝60°， ∴BC＝2BF＝4， ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴，即BD=2BC=8， ∵BD是圆的直径， ∴圆的半径长是4． 19．（1）证明：是的直径， ． ， ， ， （2）解：， 又，， ， 的半径长度为. 20．（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设OB=， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 21．（1）解：∵， ∴； （2）解：如图所示，过点O作于点H，连接， 由（1）得， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22．（1）解：设交于点、交于点． ∵ 的水平宽为，离地面的高度为， ∴， ， 设， ∵， ， ， ∵， ， ， 的长是. （2）解：连接， ，离地面的高度均为， ， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ． 23．（1）证明：连接AD，如图所示： ∵AB是☉O的直径 ∴∠ADB=90° 即AD⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD， 即点D是边BC的中点 （2）解：当△ABC是锐角三角形时，点E在边AC上，如图2所示： ∵AB是☉O的直径 ∴∠AEB=90° ∴∠BAC=90°-α. ∵AB=AC. ∴ 当△ABC是钝角三角形时，点E在CA的延长线上，如图2所示： ∵AB是☉O的直径 ∴∠AEB=90° ∴∠BAC=90°+α. ∵AB=AC. ∴ 综上所述：∠C的度数是或 24．（1）BD的中点为O ​​​​​​​ （2）解：①连接DP，设圆心为O， ∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∴DP为⊙O的直径，∴∠DEP=90°，∴四边形APED是“对直四边形”； ②矩形ABCD中，AB=8，AD=6，由勾股定理得对角线AC===10. 由 (1) 知A、P、E、D四点共圆，且∠DEP=90∘，∠DPE=∠DAE（同弧DE所对的圆周角相等）。 ∵∠DEP=∠ADC=90∘， ∴△DPE∽△DAC（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴，即，可得PE=DP，DE=DP， 当AE=DE 此时∠EAD=∠EDA。 ∵∠ADC=90∘， ∴DE=AE=EC=AC=5（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。 代入DE=DP，解得DP=。 ∴PE=×=。 当AD=AE=6 在△ADE中，由余弦定理得：DE2=AD2+AE2−2⋅AD⋅AE⋅cos∠DAE 其中cos∠DAE=ADAC==， 代入得：DE2=62+62−2×6×6×=， ∴DE=，代入DE=DP，得=DP，解得DP=。 ∴PE=×=。 当AD=DE=6代入DE=DP，得6=45DP，解得DP=152。∴PE=35×152=92。 综上，PE的长为154或955或92。 PE的长为或或 （3）解：设圆心为点O，连接DP，DE，DF， ∵在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，且AB=kBC（k为正实数）. ∴∠PAD=90°，∴DP是⊙O的直径，∴∠PED=90°，∴∠PED=∠ADC=90°， ∵∠DPE=∠DAE，∴△PDE∽△ACD，∴PE=DE，∴DE=kPE， ∵∠DEF=∠DCF=90°，∴C，D，E，F到线段DF的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以DF为直径的圆上，∴∠DCE=∠DFE， ∵∠DEF=∠ADC=90°，∴△DFE∽△ACD，∴ED=DE，∴EF=kDE，∴EF=k2PE，∴PE= 学科网（北京）股份有限公司 $