第16章 整式的乘法（知识手册）-【一飞冲天】2025-2026学年八年级上册数学课时作业（人教版·新教材）

一冲天 知识手册 第十六章 整式的乘法 第一部分 知识点填空 一、幂的运算性质 1.同底数幂的乘法性质 am·a”=① (m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数② (1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式： (2)三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即am·a”·a=③ (m,n,p都 是正整数)； (3)逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， 它们的指数之和等于原来的幂的指数.即am+"=am·a"(m,n都是正整数). 2.幂的乘方法则 (am)"=④ (,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数⑤ (1)公式的推广：((a)”)=amp(a≠0，m,n,力均为正整数)； (2)逆用公式：am=(a")”=⑥ ,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变 形，从而解决问题， 3.积的乘方法则 (ab)”=⑦ (n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别⑧ ,再把所 得的幂相乘。 (1)公式的推广：(abc)”=⑨ (n为正整数)； (2)逆用公式：a"b”=(αb)”,逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.例如：（分）”X2=(分×2)°=1. 1 二、整式的乘法 1.单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的⑩ 同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 (1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用； (2)单项式乘单项式的运算结果仍为① ,也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成； (3)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 2.单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的② ,再把所得的积③ ,即 m(a+b+c)=ma+mbmc. 裸时作业八年级上册数学 一飞冲天， (1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项 式的问题； (2)单项式与多项式的乘积仍是一个④ ,项数与原多项式的项数⑤ (3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式 的符号： (4)对混合运算，应注意运算顺序，最后有⑥ 时，必须合并，从而得到最简的结果。 3.多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 即(a十b)(m十n)=① 多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之 积.多项式与多项式相乘的最后结果需⑧ ,有同类项的要合并， 4.同底数幂的除法：am÷a”=g (a≠0，m,n都是正整数，并且m>n).即同底数幂相 除，底数不变，指数⑩ 规定：a°=① (a≠0).这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1. 5.整式的除法 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式.即(am+bm)÷m=@ 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商⑧ 三、乘法公式 1.平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=@ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.完全平方公式 完全平方公式：(a十b)=⑤ ;(a-b)2=⑥ 两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的2倍. 完全平方公式的常见变形： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;(a+b)2=(a-b)2+4ab. 3.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都⑦ 符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都⑧ 符号.添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去 括号法则检查添括号是否正确」 4.补充公式 (x+p)(x十q)=四 ;(a±b)(a2干ab+b)=a3±b3; (a±b)3=a3±3a2b+3ab±b3;(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 一冲天 知识手册 ■■ ■■■ 第二部分 解题技巧 1.幂的运算中的要点诠释 (1)底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式； (2)同底数幂的乘法，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏； (3)幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加； (4)积的乘方运算时需注意积的乘方要将每一个因式（特别是系数）分别乘方； (5)带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯， 2.在幂的运算中，经常用到以下变形： 〔a”(n为偶数) (-a)”= (a-b)=6一a)(n为偶数) 一a”(n为奇数) -(b-a)"(n为奇数) 3.比较几个数大小时，可以逆用幂的乘方法则化为相同底数，从而比较指数，或者化为相同的指 数，从而比较底数。 4.各运算之间的转化关系 多项式×多项式转化为，单项式×多项式转化为，单项式X单项式转化为，同底数幂的乘法： 多项式÷单项式转化为，单项式÷单项式转化为同底数幂的除法。 5.(1)化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值； (2)在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来， 6.平方差公式中的a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形 式有利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有“相同项”，又有“相反项”，而 结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： (1)位置变化：如(a十b)(一b十a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型； (2)系数变化：如(3x十5y)(3.x-5y): (3)指数变化：如(m3十n2)(m3一n2); (4)符号变化：如(-a一b)(a一b); (5)增项变化：如(m十n十p)(m一n十p); (6)增因式变化：如(a-b)(a十b)(a2+b)(a+b). 7.运用完全平方公式计算的方法 (1)求二项式的平方时，当所给二项式中两项的符号相同时，一般选用“和”的完全平方公式；当 二项式中两项的符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式； (2)将（一x十3y)2先转化为(3y一x)2或(x-3y)2,便于运用完全平方公式计算，这是一个常用 的技巧： (3)遇到（一m一）2形式时，可先转化为(m十n)2形式，再按“和”的完全平方公式进行计算.