13.2与三角形有关的线段- 课时同步练习 2026‑2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学第十三章“与三角形有关的线段”同步练，以“基础巩固-能力提升-综合探究”分层设计，覆盖高、中线、角平分线概念及应用，通过图形辨析、计算推理培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形高/中线/角平分线概念辨析|选择1-8题考查高的画法、角平分线识别，填空11-15题强化高与中线的几何表示| |中档|性质简单应用|选择9-10题结合中点性质求面积，填空16题中点连线面积关系，解答17-19题周长差与角度计算| |综合|多性质综合与拓展|解答20-21题涉及中线周长计算、重心性质探究，培养空间观念与创新意识|

第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 1、 选择题 1．下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 3．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 4．如图，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　） A．17 B．23 C．25 D．28 7．如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定 8．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．4 C．8 D．12 10．如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题 11．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __ ； （2）在中，边上的高为 ． 12．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 13．如图，DE∥BC，CD是△ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝　　度． 14．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 15．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 16．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于_________． 3、 解答题 17．如图，是的中线，，若，求的面积． 18．如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC． 19．如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． (3)若是中上的中线，且，求与周长的差． 20．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 21．综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_____． (3)图4中，是的重心，点、在的边、上，、交于点，，，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 1、 选择题 1．下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据三角形的高度概念判断即可． 【详解】解；A、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； B、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； C、图中BE不是△ABC边AC边上的高，本选项不符合题意； D、图中BE是△ABC边AC边上的高，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 【答案】D． 【分析】利用三角形角平分线的性质即可分析． 【解答】解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据角平分线的性质，可知：BD是△ABC的角平分线，正确； B、CE是△BCD的角平分线，正确； C、∠3∠ACB，正确； D、CE是△ABC的角平分线是错误的，三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交，角的顶点与对边交点之间的线段，错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形角平分线的概念和性质．注意三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 3．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 4．如图，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差． 【详解】解：∵AD为中线， ∴BD＝CD， 又AB＝8，AC＝5， ∴C△ABD﹣C△ACD ＝（AB+AD+BD）−（AC+AD+CD） ＝AB+AD+BD−AC−AD−CD ＝AB−AC ＝8−5 ＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 5．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 6．如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　） A．17 B．23 C．25 D．28 【答案】A． 【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，由△BCD的周长为20，BC＝8，求出CD+BD＝12，进而得出△ABD的周长． 【详解】解：∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长为20，BC＝8， ∴CD+BD＝BC+BD+CD﹣BC＝20﹣8＝12， ∴CD+BD＝AD+BD＝12， ∵AB＝5， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝5+12＝17． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义得出AD＝CD以及利用周长的定义求出CD+BD＝12是解题的关键． 7．如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定 【答案】B． 【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵CD是AB边上的中线， ∴AD＝DB， ∴△ACD的周长﹣△BCD的周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 8．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．4 C．8 D．12 【答案】C． 【分析】利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：∵D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，△DEF的面积为1， ∴S△ADE＝2S△DEF＝2， ∴S△ABD＝2S△ADE＝4， ∴S△ABC＝2S△ABD＝8， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答． 10．如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 2、 填空题 11．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __ ； （2）在中，边上的高为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 12．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 13．如图，DE∥BC，CD是△ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝　　度． 【答案】30． 【分析】利用平行线的性质得出∠EDC＝∠DCB，利用角平分线的性质得出∠EDC＝∠ECD进而求出即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD是△ACB的平分线， ∴∠ECD＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∵∠ACB＝60°， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°． 故答案为：30． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的性质等知识，根据已知得出∠EDC＝∠ECD是解题关键． 14．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 15．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 16．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于_________． 【答案】5 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 3、 解答题 17．如图，是的中线，，若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了由三角形中线求三角形面积，根据三角形中线求出的面积，再利用已知可得，从而得到． 【详解】解：是的中线， ， ， ． ， ， ． 18．如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC． 【答案】（1）50°；（2）10． 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴∠ECB∠ACB＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴BC﹣AB＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10， 【点睛】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 19．如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． (3)若是中上的中线，且，求与周长的差． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段． （1）由三角形外角的定义及性质可得，再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 ，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 ，再由三角形内角和定理计算即可得解； （3）根据三角形中线的定义得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵是中上的中线， ∴， ∵， ∴，即与周长的差为． 20．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 21．综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_____． (3)图4中，是的重心，点、在的边、上，、交于点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）知， ∵与等高， ∴，即 故答案为；． （3）解：是的重心， ∴由（2）知，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $