13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 基础通关 5.如图，以A为顶点的三角形有 四三角形的有关概念 A.4个 1.如图所示 B.3个 (1)图中共有几个三角 C.2个 形？分别是什么？ B D D.1个 (2)以AB为边的三角形有几个？分别是什么？ 6.如图，直线l经过A,B,C,D,E,F六点，P是直 (3)以D为顶点的三角形有几个？分别是什么？ 线l外一点，连接PA,PB,PC,PD,PE,PF,则 (4)含有∠B的三角形有几个？分别是什么？ 共有 个三角形 A BC D E F 四三角形的分类 7.如图①是一个三角形，分别连接这个三角形 2.用下面的图表示三角形的分类，其中不正确 三边的中点得到图②，再分别连接图②中间 的是 的小三角形三边的中点得到图③，…，按此 三角形 锐角 直角 方法继续下去，请你根据每个图中三角形个 等腰三角形 三角形 三角形 等边三角形 钝角 数的规律，回答下列问题： 三角形 A. ① 图① 等腰 钝角 图② 图③ 三边都 三角形 直角 三角形 (1)将下表填写完整： 不相等的 三角形 三角形 等边 锐角 三角形 三角形 图形编号 ② ⑤ ④ ⑤ … C. D 三角形的个数 3.根据下列所给条件，判断△ABC的形状， (2)第n个图形中有 个三角形（用含 (1)∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；(2)AB= n的式子表示). BC=3,AC=4. 素养达标 8.按下列要求，过A,B,C,D,E五个点中任意三 点画三角形，画出满足条件的所有三角形，并 能力突破 用符号表示。 4.如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定 (1)在图①中，画出以AB为一边的三角形； 此三角形的类型为 (2)在图②中，画出以C为顶点的三角形. D A.钝角三角形 B.直角三角形 图① 图② C.锐角三角形 D.不能确定 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 基础通关 能力突破 四三角形的三边关系 6.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共 1.如图，为估计池塘岸边A,B两点间的距离，小 边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三 七在池塘的一侧选取一点O,测得OA=10m, 角形”有 （) OB=8m,则A,B两点之间的距离不可能是 B A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 7.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,化简1a+ A.20m B.16m C.14m D.10m b-cl-Ib-a-cl+Ia-b+cl的结果是 2.等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周 () 长等于 ( A.3a-6-c B.a+b-c A.12 B.12或15 C.a-b-c D.-a+3b-3c C.15 D.15或18 8.平面内，将长分别为1,5,1,1，d的线段顺次 3.四边形ABCD的各边长如图所示，对角线AC 首尾相接组成凸五边形（如图），则d的值可 的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC 能是 () 为等腰三角形时，对角线AC的长为( 3 A.1 B.2 C.7 D.8 2 D 9.若a,b是等腰三角形的两条边的长，且满足 A.2 B.3 C.4 D.5 （a-1)2+1b-21=0,求此三角形的周长 4.一个三角形的两边长分别是2和6，若第三边 长为偶数，则侧第三边长为 5.三角形的三边长是三个连续的自然数，且三 角形的周长小于20，求满足条件的三角形的 三边的长 10.已知△ABC的周长为24，三边的长a,b,c满 素养达标 足a:b=3:4,c=2a-b,求△ABC三边 11.模型观念某市木材市场上不同长度的木棒 的长， 及其对应的价格如下表： 长度 1m2m 3m 4m5m6m 价格/（元/根）10 15 20 25 3035 小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用， 现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还 需要到该木材市场上购买一根， (1)有几种长度的木棒可供小明的爷爷选 择？分别是哪些？ (2)在能做成三角形支架的情况下，选择哪 一种规格的木棒最省钱？ 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 基础通送 四三角形的中线 1.在△ABC中，AD是△ABC的中线.看到图形，甲、 乙、丙、丁四名同学给出四个不同的结论，其中正 确的是 甲：AD⊥BC; 乙：∠BAD=∠CAD; 【变式】如图，AD是△ABC的角平分线 丙：AB=AC; (1)若DE∥AC,DF∥AB,DE,DF分别交AB, 丁：BD=CD. AC于点E,F.请在图中作出DF,探究∠ADE A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 与∠ADF的数量关系，并说明理由； 2.如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别为BC, (2)若DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,直 AD,CE的中点，且SA4Bc=4cm2,则阴影部分 接写出∠ADE与∠ADF的数量关系. 的面积为 cm2. 【变式】若图中CF=3EF,其他条件不变，则 △BEF的面积为 cm. 第2题图 第3题图 3.如图，已知AD为△ABC的中线，AB=12, AC=9,△ACD的周长为27，则△ABD的周长 为 凸三角形的高 J三角形的角平分线 6.如图，Rt△ABC是一块三角尺，其中∠C=90°， 4.如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上， ∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A. 展开后得到折痕l,则I是△ABC的 () 若DE∥CB,则∠DAB的度数为 () A.中线 D B.高线 C.角平分线 B D.以上都不对 30° 5.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥ AC,交AB于点E.若∠ADE=∠DAE.试说明： AD是△ABC的角平分线， A.100° B.120°C.135° D.150° 7.下列各图中，△ABC的边AB上的高线画法正 确的是 能力突破 11.小七家有一块三角形的花圃，小七准备将其 8.小明在一个质地均匀的三角形硬纸板上找到 分成面积相等的四部分，分别种上不同的花 一点，过这个点钻一个小孔，通过小孔系一条 卉.请你帮小七设计三种不同的方案， 线将三角形纸板吊起，若三角形纸板处于平 衡状态，则这个点是 A.三角形三条中线的交点 备用图1 B.三角形三条高的交点 C.三角形三条角平分线的交点 D.三角形的一个顶点 9.如图，在△ABC中，AE是高，BD是角平分线， 备用图2 备用图3 CF是中线，下列说法不正确的是 ( A.∠AEC=∠AEB 2∠ABC B.∠ABD= C.∠ACF=∠BCF D.AB=2BF 素养达标 10.如图，在△ABC中，AE,AD分别是边BC上的 中线和高，BE=3,S△ABc=6,求AD的长.。 12.几何直观如图，已知钝角三角形ABC,请作 出边BC上的高AD. (1)若BC=2,AD=3,AB=5,求△ABC中边 AB上的高CE; (2)在(1)的条件下，若C恰为BD的中点， 点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速 度，沿着C→D→A→B→C运动一周后停止. 设所用时间为t秒，当t为何值时，△BPD的 面积为3.参考答案及解析 第十三章三角形 13.2与三角形有关的线段 13.1三角形的概念 13.2.1三角形的边 1.(1)图中共有6个三角形，分别是△ABD 1.A【解析】AB的取值范围为2m<AB<18m, △ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC. ∴.A,B两点之间的距离不可能是20m. (2)以AB为边的三角形有3个，分别是2.C【解析】分两种情况考虑.当等腰三角形的 △ABD,△ABE,△ABC 三边长分别是3,3,6时，不能构成三角形，舍 (3)以D为顶点的三角形有3个，分别是 去；当等腰三角形的三边长分别是3,6,6时，可 △ADB,△ADE,△ADC. 以构成三角形，周长为15. (4)含有∠B的三角形有3个，分别是△ABD,3.B【解析】当△ABC为等腰三角形时，对角线 △ABE,△ABC. AC=AB=3或AC=BC=4. 2.D 在△ACD中，·AD=CD=2, 3.(1)因为∠A=45°，∠B=65°，∠C=75°， ∴.2-2<AC<2+2,即0<AC<4.∴.AC= 所以∠A<∠B<∠C AB=3. 又因为∠C<90°，所以△ABC是锐角三角形 4.6【解析】设三角形第三边的长度为x,则x (2)因为AB=BC=3,AC=4, 的取值范围为4<x<8,且x为偶数，∴.x=6. 所以△ABC是等腰三角形. 5.解：设三角形三边的长分别为x-1,x,x+1,则 4.A解析：由题图可知，三角形露出的部分为钝 x-1+x>x+1,解得x>2 角，“.我们可以判定此三角形的类型为钝角三 角形 由题意得x-1+x+x+1<20,解得花< 3 5.A解析：以A为顶点的三角形有△ABC, △ABD,△ACE,△ADE,共4个 2<x<号且为自然数为3,45,6 6.15解析：共有15个三角形，分别是△PAB, 当x=3时，三角形的三边长分别为2,3,4； △PAC,△PAD,△PAE,△PAF,△PBC,△PBD, 当x=4时，三角形的三边长分别为3,4,5； △PBE,△PBF,△PCD,△PCE,△PCF, 当x=5时，三角形的三边长分别为4,5,6； △PDE,△PDF,△PEF. 当x=6时，三角形的三边长分别为5,6,7. 7.(1)1317(2)(4n-3) 6.B7.B 8.解：(1)如图①，以AB为一边的三角形有8.C【解析】平面内，将长分别为1,5,1,1， △ABC,△ABD,△ABE. d的线段顺次首尾相接组成凸五边形， (2)如图②，以C为顶点的三角形有△ABC ∴.1+d+1+1>5且1+5+1+1>d. △BEC,△BCD,△ACE,△ACD,△CDE. ∴.d的取值范围为2<d<8. .d的值可能是7. 9.解：.(a-1)2+1b-21=0, ∴.a-1=0,b-2=0 图① 图② .a=1,b=2 <1> 若等腰三角形的腰长为1，则三边的长分别为： 理由：如图，：AD是△ABC的角平分线， 1,1,2,不能构成三角形，舍去； ∴.∠1=∠2 若等腰三角形的腰长为2，则三边的长分别为1， .DE∥AC,DF∥AB, 2,2,可以构成三角形，则周长为1+2+2=5. .∠2=∠3，∠1=∠4. 综上，三角形的周长为5· .∠3=∠4， 10.解：设a=3k(k>0),b=4k,则c=2·3k-4k 即∠ADE=∠ADF =2k. (2)∠ADE=∠ADF .△ABC的周长为24， 6.B 3k+4+2k=24,解得k= 7.B 3 8.A【解析】若三角形纸板处于平衡状态，则这 a=3×弩=8,6=4×号- 3,c=2× 个点是三角形的重心，即三角形三条中线的 交点 8-16 3=3 9.c △A0C三边的长分别为8，号，9 10.解：：AE是边BC上的中线， ∴.BE=EC. 11.解：(1)有4种长度的木棒可供小明的爷爷选 .SAABE=S△Ac=6. 择，分别是3m,4m,5m,6m. 又，AD是边BC上的高，BE=3, (2)根据木棒的价格可得选3m长的木棒最 SA版=2跳·A0=3x3MD=6 省钱。 .AD=4. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 11.解：如图所示.（答案不唯一) 1.D【解析】.AD是△ABC的中线， .D是BC的中点 .BD=CD,故丁同学的结论正确！ C B 2.1【解析】，中线能平分三角形的面积，易得 D 图1 图2 图3 △ABD,△ACD的面积均为△ABC面积的一半， 方案一：如图1，D,E,F分别为BC的四等 同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一 分点； 半，为2，那么阴影部分的面积等于△BEC面积 方案二：如图2，D为BC的中点，E为AD的 的一半，为1. 中点； 变式：2【解析】由CF=3EF,则阴影部分的 方案三：如图3，D,E,F分别为AB,BC,AC的 面积等于△BEC面积的好，为子×2=(cm). 中点 12.解：如图，AD即为所求 3.304.C 、D 5.解：.DE∥AC,∴.∠ADE=∠CAD. :∠ADE=∠DAE,∴.∠CAD=∠DAE. .AD是△ABC的角平分线. 【变式】解：(1)如图，DF即为所求.∠ADE=∠ADF (1)BCAD=ABCE. <2> cE.”239 ∴.∠ACB=180°-（∠CBE+∠EBA+ AB =5 ∠BAC)=35°. (2)C为BD的中点， 5.D【解析】设折痕1与BC边交于点D,如图 .CD=BC=2,BD =2BC=4. 所示 .SBDAD=x4x3=6. 当P为AD的中点或AB的中点时，SABPD= 25m=3. D--- 当P为AD的中点时，PD=)AD= 2 2, :∠B=50°，∠C=70°， 此时1-2=3，解得1=子 7 .∠BAC=180°-（∠B+∠C)=180°- (50°+70°)=60°. 当P为AB的中点时，PA=)AB=多 2’ 由题意，得∠MD=∠CMD=分∠BAC=分× 此时4-3-2= 2 60°=30°， ∴.∠1=180°-（∠C+∠CAD)=180°-(70°+ 解得4-空 30°)=80°. 6.解：由折叠的性质，得∠B=∠HOG,∠A= ∠DOE,∠C=∠EOF, 13.3三角形的内角与外角 ∴.∠DOE+∠HOG+∠EOF=∠A+∠B+ 13.3.1三角形的内角 ∠C=180°. 第①课时三角形的内角和 ∴.∠2=360°-∠1-（∠H0G+∠E0F+ 1.B【解析】由题图可知，x+y=180-70=110. ∠D0E)=360°-131°-180°=49°. 2.B【解析】将三角形BED沿着DE折叠，点7.C【解析】方案I,:∠HEN=∠CFG, B恰好落在射线DA的B'处， .MN∥CD. ∴.∠B=∠BB'E=50. ∴.直线AB,CD所夹锐角与∠AEM相等，故方 ∴.∠BEB'=180°-∠B-∠BB'E=180°- 案I可行 50°-50°=80°. 方案Ⅱ，根据三角形内角和定理可知，直线AB, 3.D CD所夹锐角与180°-∠AEH-∠CFG相等， 4.A【解析】如图， 故方案Ⅱ可行 北 北 第②课时直角三角形的两个锐角互余 AD 1.C【解析】∠C=90°，∴.∠A+∠B=90° .∠B=40°，.∠A=50°. 2.C【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°， 由题意得∠CAD=75°，∠CBE=40°，AD∥BE, ∴.∠B=90°-∠A=68°. ∴.∠EBA+∠BAD=180°. 由折叠的性质，得∠DEC=∠B=68°. ∴.∠EBA+∠BAC=180°-∠DAC=105°. 3.B【解析】.∠C0D=90°，∠AOD=20°， <3>