专题09 二次函数和反比例函数章末易错必刷题型26大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 以26类易错题型为核心，系统化覆盖二次函数与反比例函数全知识链，通过分层训练实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数基础|题型1-15|聚焦概念辨析、图象性质、对称性及方程不等式转化，突出符号判断等易错点|从定义到图象性质，再到与方程不等式的关联，形成“概念-性质-应用”逻辑链| |二次函数应用|题型16-18|涵盖图形、销售、投球等实际问题，强调建模与最值求解|以实际情境为载体，体现数学建模与应用意识，深化函数工具性| |反比例函数|题型19-25|围绕概念、图象分布、k值意义及增减性，强化参数范围与函数值比较|从基本概念到图象性质，结合几何意义，构建完整知识体系| |函数综合|题型26及综合题|一次函数与反比例函数、二次函数综合，涉及面积、交点等综合应用|整合多函数知识，培养综合思维与问题解决能力|

专题09 二次函数和反比例函数章末易错必刷题型 常考题型·精准突破 考点一 二次函数和反比例函数章末易错必刷题型 题型1 二次函数的相关概念 题型2 二次函数的图象 题型3 二次函数的图象与性质 题型4 画二次函数的图象 题型5 二次函数图象与各项系数符号 题型6 一次函数、二次函数图象综合判断 题型7 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 题型10 待定系数法求二次函数解析式 题型11 二次函数的平移问题 题型12 抛物线与坐标轴的交点问题 题型13 根据二次函数图象确定方程的根 题型14 图象法解方程、不等式 题型15 根据交点确定不等式的解集 题型16 二次函数的应用之图形问题 题型17 二次函数的应用之销售问题 题型18 二次函数的应用之投球、喷水问题 题型19 反比例函数的相关概念 题型20 反比例函数的图象 题型21 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型22 已知反比例函数的增减性求参数 题型23 比较反比例函数值的大小 题型24 反比例函数的k值意义 题型25 反比例函数的实际问题 题型26 一次函数与反比例函数综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数和反比例函数章末易错必刷题型 ◆题型1 二次函数的相关概念 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3．若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． ◆题型2 二次函数的图象 4．已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【答案】(1) 解：填表如下， … 0 1 … … 0 2 0 … (2)解：顶点坐标，对称轴是直线，开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． 【详解】（1）略； （2）略． 5．已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) 填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … (2)二次函数的图象如下图所示即为所求： (3) (4) 【分析】（1）根据所给表格代入相应的，求出y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据图象，找到最高点和最低点，即可看出y的取值范围． （4）根据图象，可得函数的对称轴以及开口方向，即可看出x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）略 （3）解：由题意可得：当时，的取值范围是. （4）解：由图可得，二次函数的对称轴为，开口向下，那么当时，随的增大而增大． 6．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 ◆题型3 二次函数的图象与性质 7．已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解； （3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当时，要再细分为两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中， 得： ∴． （2）解：∵对称轴为直线， ∴ ． （3）解：当时，， 图象开口向上，对称轴为直线，顶点， ①当时，最大值最小值 解得：． ②当，即时，最大值最小值 解得：． ③当，即时，最小值为顶点纵坐标， 要使最大值最小值， ∴最大值， 令， 解得：， 当时，即时， 函数在时取最大值， ∵都不在的范围内， ∴该情况不成立， 当时，即时， 函数在时取最大值， 令， ∴ ∵， ∴都不在这个范围内， 故该情况不成立， 综上所述：或． 8．抛物线经过和两点． (1)求的值及，满足的关系式； (2)若抛物线同时经过两个不同的点和，求的值； (3)若抛物线在和两点间，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标代入计算即可； （2）根据抛物线的对称轴建立等式，结合（1）的结论计算即可； （3）先求出抛物线的对称轴，再分两种情况：和，利用二次函数的增减性建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 将点代入得：， ∴， ∴． （2）解：抛物线的对称轴为直线， ∵这个抛物线同时经过两个不同的点和， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， ∵抛物线在和两点间，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴经过点或在点的右侧， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②当时， ∵抛物线在和两点间，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴经过点或在点的左侧， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，的取值范围为或． 9．已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值； ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，求． 【答案】(1) 该抛物线的对称轴为 (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线对称轴直线的计算公式（a是抛物线一般式中二次项的系数，b是抛物线一般式中一次项的系数）求解即可； （2）①根据直线与抛物线交点，联立方程组求解即可；②根据题意由抛物线对称性得到，两点关于对称轴直线对称，得到，根据交点联立方程组得到，是方程的两个根，结合根与系数的关系列式求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的对称轴为直线． （2）①若，则， 为直线与抛物线的交点， ∴若，则的值为． ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， ∵直线与该抛物线相交于，两点， ，是方程的两个根， ， ， ， ． ◆题型4 画二次函数的图象 10．在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数，，与的图象，并从开口方向、最值、增减性方面说说这些抛物线有什么特点． 【答案】画图如解图所示． 这些抛物线的特点：当时，开口向上，有最小值，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大； 当时，开口向下，有最大值，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 【分析】分别画出函数图象，结合函数图象分析即可得出结果． 【详解】略． 11．用描点法画抛物线． (1)完成下面的表格，并根据表中数据在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线． x … 0 1 2 3 4 … … 0 … (2)观察函数图象，回答下列问题： ①直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； ②直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1) 补全表格如下∶ x … 0 1 2 3 4 … … 0 1  　 0   　 … 抛物线如图所示； (2)①抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键． （1）根据表格中自变量的值，求出相应的y的值；再描点，连线，即可画出此抛物线； （2）①根据（1）中的图象写出抛物线的对称轴和顶点坐标即可； ②根据（1）中的图象写出当时，y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，；当时，；当时，；   （2）解：①由图象得，该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； ②由图象得，当时，y的取值范围． 12．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 【答案】(1)； (2) 解：列表： 描点，连线， 如图， (3)当时，随增大而增大． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过配方法配成顶点式即可； （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质解答即可． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：根据图象可知：当时，随增大而增大． ◆题型5 二次函数图象与各项系数符号 13．如图，这是二次函数的图象，则与0的大小关系为（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据图象可知开口向上，与y轴交于负半轴，且交点的纵坐标大于，因此，，得到，进而即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，且交点的纵坐标大于， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 14．已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 由点，代入二次函数，根据推导出，再分析a的符号对的影响． 【详解】解：二次函数图象经过点，， 则，， 由于，得 整理得： 令 则， 当时， 则 故选：C． 15．如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． ①根据函数图象的开口方向即可判断a的符号；②根据对称轴以及抛物线与y轴的交点位置可判断b与c的符号；③将点代入抛物线即可，④根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ②∵抛物线的顶点为， ∴，即， ∵，则， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴，即， ∴，故②错误； ③∵抛物线经过点， ∴，即，故③正确； ④∵抛物线的顶点为，且开口方向向下， ∴时，y随x的增大而减小，即④正确； 综上，正确的共有3个． 故选：B． ◆题型6 一次函数、二次函数图象综合判断 16．函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 17．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数与一次函数的图象及性质依次进行排除选项即可． 【详解】解：A、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故符合题意； B、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故不符合题意； C、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意； D、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意； 故选A． 18．已知二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和___________0（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 设的两根为，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：设的两根为， 对称轴在的负半轴， ，， ， ∴由二次函数的图象可知； 设方程的两根为m，n， 则 ∵ ∴， ∵ ∴ 即 故答案为： ◆题型7 反比例函数、二次函数图象综合判断 19．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 20．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 21．已知是不等于的常数，反比例函数与二次函数在同一坐标系的大致图象如图，则它们的解析式可能分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象位于第二、四象限判断出比例系数小于零，再根据二次函数图象开口向下，顶点坐标在轴坐标轴解答． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴比例系数小于0， 若，则反比例函数解析式为，二次函数解析式为； 若，则反比例函数解析式为，二次函数解析式为; 故仅选项A满足上述其中一种可能． ◆题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 22．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，是常数且）经过点与点，且． （1）若该抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为直线______________； （2）若，则代数式的值为______________． 【答案】 2 【分析】（1）根据对称性求得抛物线的对称轴； （2）根据二次函数的性质求得抛物线的对称轴，根据点与点关于对称轴对称，得出，进而得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线经过点，， 该抛物线的对称轴为直线． （2）， ， 抛物线的对称轴为直线． 点与点在抛物线上， 点与点关于对称轴对称， ，即， ． ， ， ∴， ． 24．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． (1)请直接写出D点的坐标； (2)求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标； （2）设二次函数的解析式为（，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可． 【详解】（1）解：∵如图，二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴对称轴是直线． 又点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴； （2）解：设二次函数的解析式为（，a、b、c常数）， 根据题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为． ◆题型9 根据二次函数的对称性求函数值 25．已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的抛物线，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，计算各点到对称轴的距离，即可比较函数值大小． 【详解】解：∵ 抛物线 中，对称轴为直线 ，且 ，抛物线开口向上， 分别计算三个点到对称轴的距离： ∵ ， ，即 ； ∵ ， ，即 ； ∵ ， ，即 ； ∴  ， 又∵ 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应函数值越大， ． 26．已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． （2）解：，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． （3）解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 27．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，抛物线与y轴交于点，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 ∵当时， ∴抛物线与y轴交于点 当时， ∵ ∴，不符合题意； 当当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即； ∴； 当对称轴在点和点之间时，即当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即 ∴ 当对称轴在点右边时，即当时， ∵ ∴，不符合题意； 综上所述，t的取值范围是． ◆题型10 待定系数法求二次函数解析式 28．若抛物线的顶点是，并且抛物线经过点，则该抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】已知抛物线顶点坐标，设抛物线顶点式解析式，代入已知点坐标用待定系数法求解系数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 29．若二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)这个函数有最大值或最小值吗？是多少？ 【答案】(1) (2)有最小值，最小值是 【分析】（1）利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点代入二次函数顶点式，通过解方程求出参数的值； （2）根据求出的值，结合二次函数顶点式的性质，由的正负判断抛物线开口方向，进而确定函数是否存在最值及最值的大小． 【详解】（1）已知二次函数的图象经过点， 将，代入函数解析式： ， ， ； （2）由（1）得函数解析式为， 在二次函数的顶点式中， ， 所以该二次函数抛物线开口向上， 所以函数有最小值， 所以函数的最小值为． 【点睛】这道题考查了函数图象上的点与解析式的关系、解一元一次方程、二次函数顶点式的性质，解题关键是代入点坐标求参数，再根据的符号判断开口方向和最值． 30．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 2 4 … … 0 5 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)当自变量的取值范围为时，函数的最小值为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）把二次函数转化为顶点式，得到顶点坐标，再描点作图即可； （3）根据二次函数的性质，结合最值可得，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：由表格可知二次函数过点， ，解得， 则二次函数的表达式为； （2）解：， 则顶点坐标为， 作图见答案； （3）解：由（2）可知二次函数的对称轴为， 时，二次函数取得最小值， 又时，函数的最小值为， ，解得． ◆题型11 二次函数的平移问题 31．已知二次函数的图象经过点、 (1)求、的值； (2)画出该函数的图象； (3)若时，随的增大而增大，则的最小值为______； (4)该函数图象向上平移______个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 【答案】(1) (2)图见详解 (3) (4)1 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据列表，描点，连线画函数图象即可； （3）根据（2）中函数图象及二次函数的性质可进行求解； （4）根据（2）中函数图象及二次函数图象的平移可进行求解． 【详解】（1）解：由二次函数的图象经过点、，可得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知：二次函数的解析式为，列表如下： x ….. 0 ….. y ….. 3 0 0 3 ….. 该二次函数图象如下所示： （3）解：由图象可知：当时，随的增大而增大， ∴的最小值为； （4）解：由图象可知：该函数图象向上平移1个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 32．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移的左加右减规律得到平移后的解析式，再利用已知交点坐标求出参数的值，最后通过配方法求出平移后抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点， 将，代入解析式，得， 整理得， 解得或， ， ， 将代入平移后的解析式，得， 整理得， 配方得， 平移后抛物线顶点的纵坐标为． 33．已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当时， （i）将点向右平移个单位长度得到点，将点向左平移个单位长度得到点，若点，恰好都落在该抛物线上，求的值． （ii）若点在该抛物线上，且点到轴的距离小于等于3，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)（i）4；（ii） 【分析】（1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）①根据点的平移得到，，代入计算即可求解；②根据点到轴的距离小于等于3，得到，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线为， （i）将点向右平移个单位得到点，将点向左平移个单位得到点， ，， 点，恰好都落在该抛物线上， 点，关于抛物线对称轴对称， ， ， ， 代入，得． （ii）点在该抛物线上， ， ， 当时，有最小值， 点到轴的距离小于等于3， ，即， ， 当时，有最大值， 时，， 的取值范围是． ◆题型12 抛物线与坐标轴的交点问题 34．已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 【答案】 【分析】将、两点坐标代入二次函数解析式，求出和的值得到完整解析式，再求函数与轴的交点坐标，最后计算的长度． 【详解】解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵点坐标为， ∴另一个交点坐标为， ∴的长为． 35．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 36．如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求该二次函数的图像与轴的交点坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）令得到关于x的方程求得x的值，再结合点在点左侧即可解答； （2）先求得、，如图：过点D作轴于点E，则，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∵点在点左侧， ． （2）解：在中，令，则， ， ∵，点是抛物线的顶点 ， 如图：过点D作轴于点E，则， ． ◆题型13 根据二次函数图象确定方程的根 37．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 38．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 39．二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与x轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在x轴上方图象的自变量的取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有实数根可知，二次函数与直线有一个或两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在x轴上方图象的自变量取值范围是，即不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）解：∵方程有实数根， ∴二次函数与直线有一个或两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴，即方程有实数根，k的取值范围为． ◆题型14 图象法解方程、不等式 40．二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用函数值的符号变化锁定根的位置是解题关键． 对于开口向上的连续二次函数，当函数值由负变正时，对应区间内必有方程的一个根，据此对选项进行判断． 【详解】解：据表可知，当时，， 当时，， ∵，二次函数图象是连续的抛物线且开口向上， ∴在这个区间内，函数值由负变正，即存在使得， ∴方程的一个根的取值范围为． 故选：． 41．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 42．已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)m的值为________； (2)点、在函数图象上，________（填、、）； (3)当时，x的取值范围是________； (4)关于x的一元二次方程的解为________； (5)根据表格画出此函数图象； (6)横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作平行于x轴的直线，与抛物线围成的区域内（不包括边界）有4个整点，则m的取值范围是________． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)， (5) 函数图象如图， (6) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是根据抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，运用数形结合思想； （1）根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，利用对称性求出m的值即可； （2）根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可； （3）利用图象法，求自变量的取值范围即可； （4）找到函数值为5时的自变量的值，即可得解； （5）描点，连线画图即可； （6）先找到符合题意的四个整点，再数形结合即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ； 故答案为：5． （2）解：由表格可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ； 故答案为：． （3）解：由表格可知：当时，或， ∴当时，x的取值范围是； 故答案为：． （4）解：由表格可知，当时，或， ∴一元二次方程的解为， ． 故答案为：， ． （5）略 （6）解：如图， 由图象可知，4个整点为A，B，C，D， ． 故答案为：． ◆题型15 根据交点确定不等式的解集 43．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 【答案】B 【分析】本题先根据表格中的对应值，得到二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，判断开口方向，再结合二次函数的图像性质确定时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，和时值相等，均为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数与轴的交点为和， 顶点纵坐标，且抛物线与x轴有两个交点， 抛物线开口向上， 根据开口向上的二次函数图像性质，可得当时，自变量的取值范围是或． 44．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 45．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． ◆题型16 二次函数的应用之图形问题 46．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S最大， 此时． 47．下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 【答案】(1) (2)栅栏与墙平行的边的长度为21米 【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达； （2）根据（1）中的函数表达式，令，求出对应的的值，再根据墙的长度是，则，取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为，则与墙垂直的边的长度为， ． （2）解：令， ，解得，， ∵墙的长度是， ． ． 答：栅栏与墙平行的边的长度为21米． 48．课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点． (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设正方形的边长为，则，，通过证明，得到，求解即可得出答案； （2）设，用含的代数式表示出的长度，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）解：设，矩形的面积为， ， ， ，即， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，且S的最大值为， 即当时，这个矩形面积有最大值，且最大值为． ◆题型17 二次函数的应用之销售问题 49．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】(1)80 (2)当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元 (3)16 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解； （3）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 50．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【答案】(1) (2)每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元 【分析】（1）根据图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设， 把代入得， 解得：， ∴客房每天的出租数量y（间）与每间房日租金x（元）的函数关系式为， ∵每天房间的出租率不低于， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 则， 即． ∵，且， ∴． 当时，的最大值为． 这时每间客房的日租金为（元）． 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高为元． 51．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为15元或21元 (3)当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可； （3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意列方程：， 解得，， 答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元． （3）解：设日销售利润为W元， 则由题意知 ， ， 抛物线开口向下 当时，W有最大值200， 答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元． ◆题型18 二次函数的应用之投球、喷水问题 52．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 53．掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 54．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． ◆题型19 反比例函数的相关概念 55．下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 【答案】②一定是反比例函数，，的值是； ③一定是反比例函数，，的值是． 【详解】略 56．在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据三个点在不同象限确定点的象限，再结合反比例函数的性质确定反比例经过的两个点，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于计算的值． 【详解】解：点在第一象限， 点在第四象限， 点纵坐标为正，因此点在第一象限或第二象限， 点，，分别在三个不同的象限， 点不在第一象限，即点在第二象限，， 反比例函数的图象两支分别位于两个象限，当时，两支在第一，三象限；当时，两支在第二，四象限，本题三个点中无第三象限的点，因此反比例经过第二象限的和第四象限的， 反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于， ， 即， 解得． 57．已知反比例函数． (1)写出这个函数自变量的取值范围； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1)自变量的取值范围为 (2)函数y的值为 (3)自变量x的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】（1）解：自变量的取值范围为； （2）解：当时，； （3）解：当时， ， 解得． ◆题型20 反比例函数的图象 58．在中，的长为，边上的高为，的面积为2． (1)关于与的函数关系式是______，的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点，点是轴上的点，若的面积等于面积的5倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）利用列表描点法画出函数图象即可； （3）先求出、的坐标，进而得到，设，再根据的面积等于面积的5倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，的长为，边上的高为，的面积为2， 则， 关于的函数关系式是，的取值范围是， （2）解：由（1）可知，， 列表如下： 描点连线，函数图象如下： （3）解：令，则， 则， 联立， 解得：，（舍去）， ，即点E到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， ， 点是x轴上的点， 设，则，如图 的面积等于面积的5倍， ， 即， ， 点的坐标为或． 59．已知一次函数图象和反比例函数图象的两个交点A，B的横坐标分别为2和． (1)求反比例函数的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求： (3)或 【分析】（1）根据一次函数的表达式和点A的横坐标求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）根据题意画函数图象即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入反比例函数的关系式得，解得， ∴反比例函数的关系式为； （2）略 （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 60．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)画出图像，并根据图像直接写出当时．对应的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是或． 【分析】（1）先求出点A的坐标，进而求出反比例函数解析式，然后联立两函数解析式即可求出点B的坐标． （2）先画出函数图象，然后根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， 则， ∴ 把代入，则， ∴， 联立， 解得或， ∴． （2）解：函数图象如下： 根据图像直接写出当时，或． ◆题型21 已知双曲线分布的象限求参数范围 61．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 62．已知图中的曲线是反比例函数(为常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第______象限，常数的取值范围是______． (2)若该函数的图象任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)三， (2) 【分析】（1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以即可求解； （2）设点，根据三角形的面积列方程即可求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：由图可知：这个反比例函数图象的另一支在第三象限， 这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ， 解得； （2）解：设点， 轴， 点的坐标为， ， ， ，  反比例函数的解析式为． 63．已知关于x的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象位于第二、四象限，那么m的值为（    ） A． B．3或 C． D．3 【答案】A 【分析】先根据方程有两个相等的实数根，利用判别式求出m的所有可能值，再根据反比例函数所在象限确定m的取值范围，筛选得到正确结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，，代入得： ， 整理得， 开方得， 解得或， 又∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数满足，即， ∴只有符合条件，即m的值为． ◆题型22 已知反比例函数的增减性求参数 64．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 65．若反比例函数的图象经过，两点，若，分别位于双曲线的两个分支，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据，两点位于反比例函数两个分支，可得两点横坐标异号，结合横坐标大小得到关于的不等式，再结合判断反比例函数比例系数的符号，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：点，分别位于双曲线的两个分支， 两点横坐标异号． 又， ，， 解得． ，点，分别位于双曲线的两个分支， ∴． ∴反比例函数的图象经过一、三象限． ，即． 综上所述，． 66．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数的正负分情况讨论，结合对任意都有的条件，列不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论： 情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小． ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，的最小值为， 又∵，可得， ∵， ∴． 当时，左边，不等式恒成立，符合条件， 当时，两边同乘，得， 又∵， ∴； 情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大， ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，代入，得， ∵， ∴， ∵，两边同乘，得，与矛盾， ∴此情况无解． 综上，的取值范围是或． ◆题型23 比较反比例函数值的大小 67．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，. ∵， ∴． ∴，即． 68．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 69．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】可证明，则反比例函数的图象位于第二、四象限，根据点A和点B的横坐标可确定点A和点B所在的象限，进而得到的符号，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限； 点的横坐标为， 点在第四象限，可得， 点的横坐标为， 点在第二象限，可得， ，即． ◆题型24 反比例函数的k值意义 70．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 71．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 72．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． ◆题型25 反比例函数的实际问题 73．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 74．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【答案】(1) 反比例， (2) 不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 75．某景区有一种叫“喊泉”的游玩项目．它是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的阻值（）和声音的响度（）成反比例关系，且满足．当声敏电阻低于时，水泵开始喷水；当响度越大时，声敏电阻越小，则喷出的水柱越远．如图是某人声音的响度（）随时间（）变化的关系图，下列说法错误的是（     ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．超过时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际应用以及一次函数图象的分析．重难点在于理解电阻R与响度h的相互制约关系，以及将图象中的响度变化转化为电阻的变化，从而判断喷水状态和水柱高度． 【详解】解：①当时，设， 把代入，得， ②当时， ③当时，设， 把和代入，得， 解得， ， 综上所述：， 选项A：由关系图知，第时，， ， 故选项A说法正确，不符合题意； 选项B：当时，， ，解得 故选项B说法正确，不符合题意； 选项C：当，h始终保持最大值100，所以声敏电阻最小，喷出的水柱最高， 故选项C说法正确，不符合题意； 选项D：把代入，得， 把代入，得, 喷出水柱的时长为， 故选项D说法错误，符合题意． ◆题型26 一次函数与反比例函数综合 76．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，在的左侧，连结并延长交双曲线的另一分支于点，连结，交轴于点．已知与四边形的面积之比为，，则的值是______． 【答案】 【分析】连接，由反比例函数图象的对称性可知点关于原点对称，进而知与的面积比为，从而设，根据的坐标关系建立方程即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，、关于原点对称， ， 与四边形的面积之比为， ， ， 过点B作轴于点M，作轴于点N， ∴， ∴， ∴， ∴，． 设，则， ∴，， ∴， ∴点B的横坐标为． ∵，即， ∴， ∴点B的纵坐标为， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∴， ， ， 把代入，得， 解得， ． 77．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于、B两点，与x、y轴分别交于C、D两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，在第四象限的反比例函数图象上有一点E，连接、，若，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将分别代入 与求解，即可得到反比例函数和一次函数的表达式； （2）先求出点的坐标，进而求得，根据求出，再求得点的坐标，结合三角形面积公式求出点E的纵坐标，最后结合反比例函数解析式求出点E的横坐标，即可解题． 熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】（1）解：将， 得， 反比例函数的表达式为．     点在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：在中，当时，， 点的坐标为，则， ， ．     在中，令，得， 点的坐标为，则， ，     解得（正数舍去）， ， 点的坐标为． 78．如图，反比例函数的图象与直线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)已知点P是线段上一个动点（与A、B两点不重合），过P点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点C、D，、与反比例函数图象分别交于点E、F．求的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）将点代入得，将点代入得，联立两个函数的解析式：，解得，将代入得，故点B的坐标为； （2）设点P的横坐标为t，由P在直线上可得点P的坐标为，其中，则，，，，故，对于二次函数，开口向下，对称轴为，当时，，故的分母最大为4，因此的最小值为1． 【详解】（1）解：将点代入得， 反比例函数解析式为， 将点代入得， ， 直线解析式为， 联立两个函数的解析式：，即， 解得， 已知点A的横坐标为，将代入得， 点B的坐标为； （2）解：设点P的横坐标为t，由P在直线上可得点P的坐标为，其中，则点C的坐标为，点D的坐标为， 由题意可得，点E的横坐标为t，代入的点E的坐标为， 点F的纵坐标为，代入的点F的坐标为， ，， ， 对于二次函数，开口向下，对称轴为， 当时，取最大值4， 的分母最大为4， 的最小值为． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先移项，变形不等式得，化成一次函数大于反比例函数的形式；找两个交点横坐标；看图像：找到直线在双曲线上方对应的的范围即可． 【详解】解：不等式： 把移到左边： 此题变为求一次函数的图像在反比例函数图像上方对应的取值． 两个函数交点：，，反比例函数． 观察图像： ：直线在双曲线上方； ：直线在双曲线上方． 解集为：或 2．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 3．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合对称性、增减性判断各选项． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 当时，或， ∴ A、B均错误． ∵ 当时，随的增大而增大， 当时，则， 故C错误． 当时，随的增大而减小， 当时，则， 故D正确． 4．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 5．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 6．已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴． 根据开口向上的抛物线的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，比较各点到对称轴的距离即可判断值的大小． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大． ∴． 7．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 【答案】② 【分析】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 8．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 9．函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】设点A的横坐标为m，根据轴可知点B、C的横坐标也为m，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合建立等式，化简即可求解． 【详解】解：设点A的横坐标为m，由图可知， ∵轴，交x轴于点C ∴点B、C的横坐标均为m，且点C的坐标为 ， ∵点A在的图像上，且位于第二象限 ， ∴点A的纵坐标为，且 ， ∴． ∵点B在的图像上，且位于第三象限 ， ∴点B的纵坐标为，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，、点分别为边、上的点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点在边的中点处，点的对应点在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，利用勾股定理求出，，再证明，利用相似三角形对应边成比例，得出点的坐标，进而求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点，是矩形的顶点， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 点的对应点在边的中点处， ， 设，则， 在中，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 点的对应点在反比例函数的图象上， ． 11．已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 12．已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大， ， ， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 【分析】（1）根据抛物线的性质求解； （2）首先判断出抛物线开口向上，得到抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ∴； （2）略 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将代入求得，得，再将代入可得的值； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，得，，，继而得到，进一步得到，再根据二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 15．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点 (1)______． (2)若此抛物线经过点，抛物线与轴的另一个交点为，当点落在线段上，且最小值为时，求函数解析式． (3)若，当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为4，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将代入即可； （2）根据抛物线经过点得到，即，求出点横坐标，可知，根据顶点纵坐标公式得到，求解即可； （3）用含b的代数式表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为直线，由题意可得出当或时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值，进而判断即可． 【详解】（1）解：将代入得； （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点落在线段上， ∴， ∴， ∵顶点纵坐标公式为，最小值为，，， ∴， 整理得， 解得：，， ∴， ∴， ∴函数解析式为； （3）解：当时，抛物线开口向上，解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ①当时，， ，时，即， 解得（舍）． ，时，即， 解得（舍）， ②，即， ，时，即， 解得（舍）． 当，，即， 解得（舍）， 当，时，即， 解得， 此时，当时，，符合题意． 当，时，即， 解得， 此时，当时，，符合题意． ③，， 当，时，即， 解得， 此时，当时，不符合题意． 当，时，即， 解得（舍）． 综上所述，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数和反比例函数章末易错必刷题型 常考题型·精准突破 考点一 二次函数和反比例函数章末易错必刷题型 题型1 二次函数的相关概念 题型2 二次函数的图象 题型3 二次函数的图象与性质 题型4 画二次函数的图象 题型5 二次函数图象与各项系数符号 题型6 一次函数、二次函数图象综合判断 题型7 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 题型10 待定系数法求二次函数解析式 题型11 二次函数的平移问题 题型12 抛物线与坐标轴的交点问题 题型13 根据二次函数图象确定方程的根 题型14 图象法解方程、不等式 题型15 根据交点确定不等式的解集 题型16 二次函数的应用之图形问题 题型17 二次函数的应用之销售问题 题型18 二次函数的应用之投球、喷水问题 题型19 反比例函数的相关概念 题型20 反比例函数的图象 题型21 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型22 已知反比例函数的增减性求参数 题型23 比较反比例函数值的大小 题型24 反比例函数的k值意义 题型25 反比例函数的实际问题 题型26 一次函数与反比例函数综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数和反比例函数章末易错必刷题型 ◆题型1 二次函数的相关概念 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． ◆题型2 二次函数的图象 4．已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 5．已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 6．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． ◆题型3 二次函数的图象与性质 7．已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 8．抛物线经过和两点． (1)求的值及，满足的关系式； (2)若抛物线同时经过两个不同的点和，求的值； (3)若抛物线在和两点间，随的增大而减小，求的取值范围． 9．已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值； ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，求． ◆题型4 画二次函数的图象 10．在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数，，与的图象，并从开口方向、最值、增减性方面说说这些抛物线有什么特点． 11．用描点法画抛物线． (1)完成下面的表格，并根据表中数据在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线． x … 0 1 2 3 4 … … 0 … (2)观察函数图象，回答下列问题： ①直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； ②直接写出当时，y的取值范围． 12．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ ◆题型5 二次函数图象与各项系数符号 13．如图，这是二次函数的图象，则与0的大小关系为（） A． B． C． D．无法确定 14．已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 15．如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ◆题型6 一次函数、二次函数图象综合判断 16．函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 17．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 18．已知二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和___________0（填“”“”或“”）． ◆题型7 反比例函数、二次函数图象综合判断 19．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 20．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 21．已知是不等于的常数，反比例函数与二次函数在同一坐标系的大致图象如图，则它们的解析式可能分别是（   ） A．， B．， C．， D．， ◆题型8 已知抛物线上对称的两点求对称轴 22．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，是常数且）经过点与点，且． （1）若该抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为直线______________； （2）若，则代数式的值为______________． 24．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． (1)请直接写出D点的坐标； (2)求二次函数的表达式． ◆题型9 根据二次函数的对称性求函数值 25．已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 26．已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 27．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型10 待定系数法求二次函数解析式 28．若抛物线的顶点是，并且抛物线经过点，则该抛物线的解析式为______． 29．若二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)这个函数有最大值或最小值吗？是多少？ 30．在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 2 4 … … 0 5 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)当自变量的取值范围为时，函数的最小值为，请直接写出的取值范围． ◆题型11 二次函数的平移问题 31．已知二次函数的图象经过点、 (1)求、的值； (2)画出该函数的图象； (3)若时，随的增大而增大，则的最小值为______； (4)该函数图象向上平移______个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 32．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 33．已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当时， （i）将点向右平移个单位长度得到点，将点向左平移个单位长度得到点，若点，恰好都落在该抛物线上，求的值． （ii）若点在该抛物线上，且点到轴的距离小于等于3，求的取值范围． ◆题型12 抛物线与坐标轴的交点问题 34．已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 35．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 36．如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求该二次函数的图像与轴的交点坐标； (2)求的面积． ◆题型13 根据二次函数图象确定方程的根 37．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 38．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 39．二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． ◆题型14 图象法解方程、不等式 40．二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 41．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 42．已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)m的值为________； (2)点、在函数图象上，________（填、、）； (3)当时，x的取值范围是________； (4)关于x的一元二次方程的解为________； (5)根据表格画出此函数图象； (6)横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点作平行于x轴的直线，与抛物线围成的区域内（不包括边界）有4个整点，则m的取值范围是________． ◆题型15 根据交点确定不等式的解集 43．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 44．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 45．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． ◆题型16 二次函数的应用之图形问题 46．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 47．下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 48．课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点． (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值． ◆题型17 二次函数的应用之销售问题 49．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 50．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 51．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ ◆题型18 二次函数的应用之投球、喷水问题 52．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 53．掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 54．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． ◆题型19 反比例函数的相关概念 55．下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 56．在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 57．已知反比例函数． (1)写出这个函数自变量的取值范围； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的值． ◆题型20 反比例函数的图象 58．在中，的长为，边上的高为，的面积为2． (1)关于与的函数关系式是______，的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点，点是轴上的点，若的面积等于面积的5倍，求点的坐标． 59．已知一次函数图象和反比例函数图象的两个交点A，B的横坐标分别为2和． (1)求反比例函数的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (3)直接写出不等式的解集． 60．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)画出图像，并根据图像直接写出当时．对应的取值范围． ◆题型21 已知双曲线分布的象限求参数范围 61．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 62．已知图中的曲线是反比例函数(为常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第______象限，常数的取值范围是______． (2)若该函数的图象任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为时，求反比例函数的解析式． 63．已知关于x的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象位于第二、四象限，那么m的值为（    ） A． B．3或 C． D．3 ◆题型22 已知反比例函数的增减性求参数 64．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 65．若反比例函数的图象经过，两点，若，分别位于双曲线的两个分支，且，则的取值范围是_____． 66．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 ◆题型23 比较反比例函数值的大小 67．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 68．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 69．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） ◆题型24 反比例函数的k值意义 70．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 71．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 72．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型25 反比例函数的实际问题 73．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 74．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 75．某景区有一种叫“喊泉”的游玩项目．它是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的阻值（）和声音的响度（）成反比例关系，且满足．当声敏电阻低于时，水泵开始喷水；当响度越大时，声敏电阻越小，则喷出的水柱越远．如图是某人声音的响度（）随时间（）变化的关系图，下列说法错误的是（     ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．超过时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 ◆题型26 一次函数与反比例函数综合 76．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，在的左侧，连结并延长交双曲线的另一分支于点，连结，交轴于点．已知与四边形的面积之比为，，则的值是______． 77．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于、B两点，与x、y轴分别交于C、D两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，在第四象限的反比例函数图象上有一点E，连接、，若，求点E的坐标． 78．如图，反比例函数的图象与直线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)已知点P是线段上一个动点（与A、B两点不重合），过P点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点C、D，、与反比例函数图象分别交于点E、F．求的最小值． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 2．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 3．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 5．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 6．已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 7．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 8．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 9．函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，、点分别为边、上的点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点在边的中点处，点的对应点在反比例函数的图象上，则________． 11．已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 12．已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 15．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点 (1)______． (2)若此抛物线经过点，抛物线与轴的另一个交点为，当点落在线段上，且最小值为时，求函数解析式． (3)若，当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为4，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $