图形的奥秘（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学北师大版

该小学数学讲义围绕《图形的奥秘》单元，通过切开立体图形、搭建立体大楼、翻滚正方体三大实践活动构建三维几何启蒙体系。知识梳理部分分点呈现截面定义、切割规律、搭建步骤等核心内容，用口诀总结圆柱圆锥切割特征，清单罗列考点，清晰展现立体与平面转化的重难点及内在联系。 讲义亮点在于例题设计注重空间观念与推理意识培养，如根据平面图纸搭立体图形并判断视图，正方体翻滚周期计算等题型，结合易错指引帮助学生规避切割形状判断、隐藏方块计数等问题。分层练习从基础例题到真题拔高，满足不同学生需求，为教师提供精准教学的考点与方法支持。

单元复习讲义：专题06 图形的奥秘（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 一、单元学习概述 《图形的奥秘》是2026新版北师大版四年级上册第六单元全新几何实践单元，是小学阶段三维立体几何的核心启蒙内容。本单元通过三大核心实践活动：切开立体图形、搭建立体大楼、翻滚正方体，引导学生从切割、搭建、动态翻滚三个维度探究立体图形的特征与变化规律，实现三维立体图形与二维平面图形的转化。本单元重点培养空间想象、动手操作、规律归纳、几何建模能力，是新版教材重点新增重难点模块，侧重实操理解与规律应用，常以填空、选择、操作探究题考查。 二、知识点一：切开立体图形（截面探究） 1. 截面核心定义 用一个平面去切割立体图形，平面与立体图形表面相交形成的平面图形，叫做截面。切割的方向、角度直接决定截面的形状与大小，核心原理是将三维立体图形转化为二维平面图形观察，是“面动成体”的逆向应用。 2. 圆柱的三种标准切法（必考） 横切（平行于底面）：截面为圆形，所有横切圆大小完全相等，与圆柱底面大小一致； 竖切（垂直于底面）：截面为长方形，长方形的长对应圆柱的高，宽对应圆柱的底面直径； 斜切（倾斜于底面）：截面为椭圆形，无直角、边缘平滑。 3. 圆锥的切割规律 横切：截面为圆形，从上至下切割，圆形截面逐渐变大； 竖切（过顶点）：截面为等腰三角形，底边为圆锥底面直径，高为圆锥的高。 4. 正方体、长方体切割特点 切面可出现正方形、长方形、三角形、梯形、六边形等多种平面图形，切割角度不同，截面形状不同。 三、知识点二：搭建立体大楼（识图与建模） 1. 核心题型 根据平面位置图纸、层数标注，利用小正方体搭建立体组合图形，实现平面图纸与立体实物的相互转化。 2. 标准搭建步骤 第一步：观察平面图纸，明确每一个对应位置的小正方体层数； 第二步：分层搭建，优先搭建底层基础结构，再逐层叠加上层方块； 第三步：核对每个点位层数，补齐空缺、纠正多余方块； 第四步：整体观察立体结构，确保与图纸标注完全一致。 3. 核心考点 能根据立体图形还原平面图纸，也能根据平面图纸精准搭建立体图形；能准确数出组合立体图形的总方块数，区分看得见的方块与被遮挡的隐藏方块。 四、知识点三：翻滚正方体（动态规律探究） 1. 正方体基础特征 正方体有6个完全相同的正方形面，相对的面永不相邻，相邻的面永不相对，翻滚过程中面的位置循环变化。 2. 翻滚核心循环规律（必背） 正方体向同一个方向连续翻滚，翻滚4次为一个完整周期，4次后正方体完全还原初始状态； 向同一方向翻滚2次，朝上的面变为原来的相对面。 3. 周期计算解题方法 已知翻滚总次数，用总次数÷4，根据余数判断最终状态：无余数回归初始面，余数对应周期内对应面，快速求解翻滚后朝上、朝前的面。 五、单元核心数学思想 1. 转化思想：立体图形与平面图形相互转化，通过切面、视图实现维度转换； 2. 建模思想：将实物搭建、翻滚问题抽象为数学规律模型； 3. 周期思想：发现正方体翻滚循环周期，利用周期规律简化运算； 4. 有序思想：分层、定点搭建图形，有序计数，杜绝重复遗漏。 易错指引 六、单元高频易错点（扣分重灾区） 1. 混淆圆柱切割形状，误将斜切判断为圆形、竖切判断为椭圆形； 2. 记错圆锥横切规律，认为圆锥横切圆大小始终相等； 3. 搭建立体图形时，遗漏底层遮挡方块，数错总方块数量； 4. 不理解正方体翻滚周期，无法根据次数判断最终朝向； 5. 无法区分立体图形不同切割角度对应的截面形状，空间想象薄弱； 6. 搭建图形无序操作，出现层数错乱、位置错位等问题。 七、单元必背核心口诀 立体切割看角度，横竖斜切形不同； 圆柱横圆竖长方，斜切椭圆记心中； 圆锥横圆竖三角，大小渐变不雷同； 搭建分层按图纸，遮挡方块不能空； 正方体翻四次复，两次相对周期通； 立体平面能互化，空间奥秘轻松懂。 八、单元核心考点清单 1. 理解截面的定义与立体切割的核心原理，掌握维度转化思维； 2. 熟练掌握圆柱、圆锥、正方体的不同切割方式与对应截面形状； 3. 掌握立体大楼分层搭建方法，能实现平面图纸与立体图形互推； 4. 能精准数出组合立体图形方块总数，找准隐藏遮挡方块； 5. 熟记正方体翻滚周期规律，掌握周期计算解题技巧； 6. 能根据翻滚次数，推理正方体各面的朝向与对应状态； 7. 熟练运用转化、周期、有序建模思想解决实操探究题型； 8. 规避切割形状判断、搭建计数、周期推理等高频易错点。 例题讲解 【例题1】 左图是从上面看到的图形，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的正方体的个数，一共摆了( )个正方体，从左面看是( )（填序号）。 【例题2】 洋洋用同样的正方体积木搭成一个从上面看是的几何体，每个正方形上面的数字表示这个位置上所用的正方体积木的个数，这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。 【例题3】 一个几何体，从正面看到的是，从左面看到的是。 （1）摆出这样的几何体最多要( )个小正方体，最少要( )个小正方体。 （2）如果这个几何体是由6个小正方体摆成的，在如图相应的方格内标出从上面看，这个位置上小正方体的个数。（请摆出两种情况） 【例题4】 如图1是从上面看一些小正方体所搭几何体的平面图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数。 （1）搭成这样的几何体，一共需要（    ）个小正方体。 （2）请你在图2的方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的图形。 真题拔高 一、填空题 1．下图中骰子向右依次滚动，并在方格中留下点的印记。 由此判断，点5的对面是点( )，点1的对面是点( )，点3的对面是点( )。 2．一个两层立体大楼，第一层有6个1，如图，第二层有3个1，如图，这个大楼一共用了( )个正方体。 3．按下面的图纸搭成的立体大楼是什么样子的？想一想，在（    ）里画“√”。 4．圆柱横着（平行于底面）切开，切面是( )形，且所有横切面的大小( )；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是( )形。 5．胡萝卜按A→B→C的顺序切，切面大小从( )到( )再到( )（填“大”“中”或“小”）。 6．长方体平行于前面切开，切面是( )形；正方体无论从哪个方向平行于面切开，切面都是( )形。 7．小林搭的积木从上面看是，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。搭的这组积木，从左面看是_____________，从前面看是_____________。（填序号） 8．选一选，将正确的序号填在括号里。 搭的这组积木，从前面看是( )，从左面看是( )。 二、选择题 9．把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 10．把下面的立体图形切开，切开后（    ）得到的切面不是圆。 A． B． C． D． 11．立体大楼第一层图纸，第二层，总共有（    ）个正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 12．把萝卜斜着切，切面形状更接近（    ）。 A．正方形 B．椭圆 C．三角形 D．长方形 13．由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到的是（其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数），则从右面看到的是（    ）。 A． B． C． D． 三、判断题 14．一个两层大楼的图纸，图纸里数字 1 代表这个格子位置摆放正方体。 第一层1的数量一定比第二层多。( ) 15．圆柱无论怎么切，切面都不可能是圆形。( ) 16．圆锥横着切，切面都是圆形，大小一样。( ) 17．长方体竖着切，切面一般是长方形。( ) 18．正方体滚动5格和滚动1格朝上的面相同。( ) 四、作图题 19．一个由同样的小正方体组成的几何体，从上面看到的图形如下图（数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。在方格图中画出这个几何体从前面和左面看到的图形。 五、解答题 20．正方体按图中的方向从起点开始翻滚。 (1) 灰色面第1次经过的数是多少？ (2) 灰色面第4次经过的数是多少？ (3) 当正方体滚到数18时，灰色面会落在这个数上吗？请说明理由。 21．下图所示的是从上面看到的一些小正方体所搭几何体的平面图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数。 （1）请你在方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的图形。 （2）要使从左面看到的图形保持不变，最多可以去掉（    ）个小正方体。（小正方体需面与面相接）。 22．小欣和小悦用一些大小相同的小立方块搭几何体，想要使该几何体从正面和上面看到的形状图如图所示。从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数。 （1） a表示几？ （2） 小欣说b的值一定为2，请问小欣的说法是否正确？请说明理由； （3）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 23．利用大小相等的正方体纸箱若干个，按要求完成纸箱拼搭任务。甜甜要摆的几何体从三个不同方向看到的图形如下： （1）组成这个几何体，需要（    ）个纸箱，在“从上面看”的图形上标出对应位置的纸箱个数。 （2）纸箱总数不变，移动一个纸箱，使得从上面看到的图形不变，一共有多少种移法？ （3）若在保持总数不变的情况下，移动一个纸箱使得从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样，可以怎样调整纸箱的位置？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元复习讲义：专题06 图形的奥秘（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 一、单元学习概述 《图形的奥秘》是2026新版北师大版四年级上册第六单元全新几何实践单元，是小学阶段三维立体几何的核心启蒙内容。本单元通过三大核心实践活动：切开立体图形、搭建立体大楼、翻滚正方体，引导学生从切割、搭建、动态翻滚三个维度探究立体图形的特征与变化规律，实现三维立体图形与二维平面图形的转化。本单元重点培养空间想象、动手操作、规律归纳、几何建模能力，是新版教材重点新增重难点模块，侧重实操理解与规律应用，常以填空、选择、操作探究题考查。 二、知识点一：切开立体图形（截面探究） 1. 截面核心定义 用一个平面去切割立体图形，平面与立体图形表面相交形成的平面图形，叫做截面。切割的方向、角度直接决定截面的形状与大小，核心原理是将三维立体图形转化为二维平面图形观察，是“面动成体”的逆向应用。 2. 圆柱的三种标准切法（必考） 横切（平行于底面）：截面为圆形，所有横切圆大小完全相等，与圆柱底面大小一致； 竖切（垂直于底面）：截面为长方形，长方形的长对应圆柱的高，宽对应圆柱的底面直径； 斜切（倾斜于底面）：截面为椭圆形，无直角、边缘平滑。 3. 圆锥的切割规律 横切：截面为圆形，从上至下切割，圆形截面逐渐变大； 竖切（过顶点）：截面为等腰三角形，底边为圆锥底面直径，高为圆锥的高。 4. 正方体、长方体切割特点 切面可出现正方形、长方形、三角形、梯形、六边形等多种平面图形，切割角度不同，截面形状不同。 三、知识点二：搭建立体大楼（识图与建模） 1. 核心题型 根据平面位置图纸、层数标注，利用小正方体搭建立体组合图形，实现平面图纸与立体实物的相互转化。 2. 标准搭建步骤 第一步：观察平面图纸，明确每一个对应位置的小正方体层数； 第二步：分层搭建，优先搭建底层基础结构，再逐层叠加上层方块； 第三步：核对每个点位层数，补齐空缺、纠正多余方块； 第四步：整体观察立体结构，确保与图纸标注完全一致。 3. 核心考点 能根据立体图形还原平面图纸，也能根据平面图纸精准搭建立体图形；能准确数出组合立体图形的总方块数，区分看得见的方块与被遮挡的隐藏方块。 四、知识点三：翻滚正方体（动态规律探究） 1. 正方体基础特征 正方体有6个完全相同的正方形面，相对的面永不相邻，相邻的面永不相对，翻滚过程中面的位置循环变化。 2. 翻滚核心循环规律（必背） 正方体向同一个方向连续翻滚，翻滚4次为一个完整周期，4次后正方体完全还原初始状态； 向同一方向翻滚2次，朝上的面变为原来的相对面。 3. 周期计算解题方法 已知翻滚总次数，用总次数÷4，根据余数判断最终状态：无余数回归初始面，余数对应周期内对应面，快速求解翻滚后朝上、朝前的面。 五、单元核心数学思想 1. 转化思想：立体图形与平面图形相互转化，通过切面、视图实现维度转换； 2. 建模思想：将实物搭建、翻滚问题抽象为数学规律模型； 3. 周期思想：发现正方体翻滚循环周期，利用周期规律简化运算； 4. 有序思想：分层、定点搭建图形，有序计数，杜绝重复遗漏。 易错指引 六、单元高频易错点（扣分重灾区） 1. 混淆圆柱切割形状，误将斜切判断为圆形、竖切判断为椭圆形； 2. 记错圆锥横切规律，认为圆锥横切圆大小始终相等； 3. 搭建立体图形时，遗漏底层遮挡方块，数错总方块数量； 4. 不理解正方体翻滚周期，无法根据次数判断最终朝向； 5. 无法区分立体图形不同切割角度对应的截面形状，空间想象薄弱； 6. 搭建图形无序操作，出现层数错乱、位置错位等问题。 七、单元必背核心口诀 立体切割看角度，横竖斜切形不同； 圆柱横圆竖长方，斜切椭圆记心中； 圆锥横圆竖三角，大小渐变不雷同； 搭建分层按图纸，遮挡方块不能空； 正方体翻四次复，两次相对周期通； 立体平面能互化，空间奥秘轻松懂。 八、单元核心考点清单 1. 理解截面的定义与立体切割的核心原理，掌握维度转化思维； 2. 熟练掌握圆柱、圆锥、正方体的不同切割方式与对应截面形状； 3. 掌握立体大楼分层搭建方法，能实现平面图纸与立体图形互推； 4. 能精准数出组合立体图形方块总数，找准隐藏遮挡方块； 5. 熟记正方体翻滚周期规律，掌握周期计算解题技巧； 6. 能根据翻滚次数，推理正方体各面的朝向与对应状态； 7. 熟练运用转化、周期、有序建模思想解决实操探究题型； 8. 规避切割形状判断、搭建计数、周期推理等高频易错点。 例题讲解 【例题1】 左图是从上面看到的图形，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的正方体的个数，一共摆了( )个正方体，从左面看是( )（填序号）。 【答案】 【分析】将每个位置的正方体个数相加，即可得到正方体的总数。 根据立体图形的特征判断三视图的各自特点，找到符合左视图特征的图形，就是从左面看到的图形。 图①横向一列有个正方体，中间竖向一列也是个正方体，它是从这个图形的前面或者上面看到的图形，不符合题目的要求。 图②从左面看这个立体图形，能看到三列，左边一列有个正方体，中间一列有个正方体，右边一列有个正方体，图②选项符合题目要求。 图③无论从左面、右面、前面和上面看都不是这个正方体的图形，所以图③不符合要求。 【详解】 （个） 一共摆了8个正方体，从左面看是②。 【例题2】 洋洋用同样的正方体积木搭成一个从上面看是的几何体，每个正方形上面的数字表示这个位置上所用的正方体积木的个数，这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。 【答案】 ② ④ 【分析】 根据从上面看到的图形还原立体图形是，由此可知： 从前面能看到三层三列，从左往右数，第一列在第一层和第二层上各有1个小正方形，第二列在第一层、第二层和第三层上各有1个小正方形，第三列在第一层有1个小正方形。 从左面能看到三层三列，从左往右数，第一列在第一层、第二层和第三层上各有1个小正方形，第二列在第一层和第二层上各有1个小正方形，第三列在第一层有1个小正方形。 【详解】 从前面能看到的图形是 从左面能看到的图形是 【例题3】 一个几何体，从正面看到的是，从左面看到的是。 （1）摆出这样的几何体最多要( )个小正方体，最少要( )个小正方体。 （2）如果这个几何体是由6个小正方体摆成的，在如图相应的方格内标出从上面看，这个位置上小正方体的个数。（请摆出两种情况） 【答案】 7 4 （2）摆法一：；摆法二：。 【分析】（1）最多的情况如下：共需7个： 最少的情况可以有多种：共需4个： 例如： （2）如果由6个摆成，摆法有多种： 【详解】（1）由分析可知：摆出这样的几何体最多要7个；最少要4个。 （2）画图略； 【例题4】 如图1是从上面看一些小正方体所搭几何体的平面图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数。 （1）搭成这样的几何体，一共需要（    ）个小正方体。 （2）请你在图2的方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的图形。 【答案】（1）8 （2）图见详解 【分析】（1）根据图1把标注的小正方体个数相加即可求出需要小正方体的个数； （2）根据图中所示各位置小正方体的个数，从正面能看到6个正方形，分三列，各列从左到右分别是3个、1个、2个；从左面能看到6个正方形，分三列，各列从左到右分别是3个、2个、1个。 【详解】（1）3＋2＋1＋1＋1＝8（个） 即搭成这样的几何体，一共需要8个小正方体。 （2）作图如下： 真题拔高 一、填空题 1．下图中骰子向右依次滚动，并在方格中留下点的印记。 由此判断，点5的对面是点( )，点1的对面是点( )，点3的对面是点( )。 【答案】 2 6 4 【分析】印记中，间隔一个方格的两个面是骰子相对的两个面，据此判断即可。 【详解】印记中，点5与点2间隔一个方格，所以点5的对面是点2；同理点1的对面是点6，剩下点3和点4两个面是相对的。 2．一个两层立体大楼，第一层有6个1，如图，第二层有3个1，如图，这个大楼一共用了( )个正方体。 【答案】9 【分析】这种标数字的平面图里，格子上的数字就代表这个位置对应的本层正方体的数量。这个大楼一共用正方体的个数等于第一层数量加第二层数量。 【详解】6＋3＝9（个） 所以这个大楼一共用了9个正方体。 3．按下面的图纸搭成的立体大楼是什么样子的？想一想，在（    ）里画“√”。 【答案】（√）（    ）（    ） 【分析】观察第一层表格：第一行（后排），4个位置都有正方体；第二行（中排），只有第2个位置有正方体；第三行（前排），只有第二个位置有正方体，这说明底层的形状是后排4个连在一起，中排和前排各有一个，且都在第2列的位置。 观察第二层表格：第一行（后排），第2个和第4个位置有正方体；第二行（中排），没有正方体；第三行（前排），只有第二个位置有正方体，这说明上层有3个正方体，分别叠在底层对应的位置。 【详解】 4．圆柱横着（平行于底面）切开，切面是( )形，且所有横切面的大小( )；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是( )形。 【答案】 圆 相等 长方/正方 【分析】圆柱上下两个底面是完全相同的圆形，平行于底面横切圆柱，切面和底面形状相同，是圆；同一个圆柱所有平行底面的横切面直径相等，大小相等；竖着切、垂直底面：沿过圆柱轴线的平面，切面上下两条边平行且等于圆柱的高，左右两条边等于底面直径，切面是长方形；特殊情况：当圆柱底面直径＝圆柱的高时，切面为正方形。 【详解】由分析可知，圆柱横着（平行于底面）切开，切面是圆形，且所有横切面的大小相等；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是长方形或正方形。 5．胡萝卜按A→B→C的顺序切，切面大小从( )到( )再到( )（填“大”“中”或“小”）。 【答案】 大 中 小 【分析】胡萝卜近似为一端粗、一端逐渐变细的圆锥，从粗端向细端依次切时，切割位置不断靠近细端，对应的切面会越来越小。分别观察A、B、C区域在萝卜中的位置，判断其切面大小。 【详解】观察图中的萝卜可知，A区域最粗，B区域居中，C区域最细，因此按A→B→C的顺序切，切面大小从大到中再到小。 6．长方体平行于前面切开，切面是( )形；正方体无论从哪个方向平行于面切开，切面都是( )形。 【答案】 长方 正方 【分析】长方体的前面本身是长方形，平行于前面切开时，得到的切面和前面的形状、大小完全一样，所以是长方形。正方体的6个面全都是正方形，不管沿着哪个面的平行方向切，切面都和对应的面形状一致，所以都是正方形。 【详解】长方体平行于前面切开，切面是长方形；正方体无论从哪个方向平行于面切开，切面都是正方形。 7．小林搭的积木从上面看是，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。搭的这组积木，从左面看是_____________，从前面看是_____________。（填序号） 【答案】 ③ ① 【分析】根据从上面看到的形状，可以确定底层有4个小正方体，并能确定这4个小正方体的摆放位置；根据上面的数字可以确定一共有3层，并能确定每层个数，从左面看有2列，左边1列2个小正方形，右边1列3个小正方形；从正面看有3列，中间1列3个小正方形，两边靠下各1个小正方形，据此分析。 【详解】根据分析，搭的这组积木，从左面看是，从正面看是。 8．选一选，将正确的序号填在括号里。 搭的这组积木，从前面看是( )，从左面看是( )。 【答案】 ① ③ 【分析】从上面看已经给出对应数字，说明这个立体图形前面有两列，左侧有一个小正方体，右侧3个小正方体，3个小正方体的后面还有2个小正方体。 从前面看，有3层，最上层、中间层各有1个小正方形，最下层有2个小正方形，右齐。 从左面看，有3层，最上层1个小正方形，中间和最下层各有2个小正方形，右齐，据此解答。 【详解】 根据分析可知，搭的这组积木，从前面看是，从左面看是。 二、选择题 9．把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 【答案】B 【分析】长方体的面均由线段围成，切面不可能出现曲线图形；普通长方体无特殊说明时长宽高不全相等，沿长竖直切得到的四边形邻边不等。 【详解】圆形、椭圆形由曲线围成，长方体的切面都由线段组成，没有特殊说明时，默认是普通长方体，长宽高不完全相等，沿长的方向竖直切得到的四边形邻边长度不等，为长方形。 10．把下面的立体图形切开，切开后（    ）得到的切面不是圆。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．选项是平行于圆锥底面切圆锥，切面是圆。 B．选项的切面是斜着竖切圆柱，这样切出来的图形是椭圆，不可能得到圆形。 C．选项是切球体，不管怎么切球，切面都是圆。 D．选项是平行于圆柱上下底面切圆柱，切面是圆。 【详解】由分析可知，切开后得到的切面不是圆。 11．立体大楼第一层图纸，第二层，总共有（    ）个正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】图纸中的数字表示此位置的方块数量，把两层图纸中所有的数字加起来就是总的正方体数量。 【详解】第一层：1＋1＋1＝3（个） 第二层：1＋1＝2（个） 3＋2＝5（个） 12．把萝卜斜着切，切面形状更接近（    ）。 A．正方形 B．椭圆 C．三角形 D．长方形 【答案】B 【分析】结合生活常识，萝卜近似圆柱体，可根据圆柱不同切法对应的切面形状判断。 【详解】 萝卜整体近似圆柱体：平行于底面切，切面为圆形；平行于高竖直切，切面为长方形或正方形；斜着切时，切面没有棱角，形状更接近椭圆。如图所示： 13．由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到的是（其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数），则从右面看到的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上面看到的图形以及各小正方形内的数字，可知从右面看到的图形有2列，左列和右列中小正方形的数目分别为1，2；据此解答。 【详解】根据分析： 从右面看到的是底层有2个并排的正方形，上层的正方形叠在右侧正方形的上方，与选项D完全一致。 三、判断题 14．一个两层大楼的图纸，图纸里数字 1 代表这个格子位置摆放正方体。 第一层1的数量一定比第二层多。( ) 【答案】× 【分析】图纸里数字 1 代表这个格子位置摆放正方体。 规则：第二层的正方体，必须摆在第一层有正方体（写1）的格子上面，不能悬空。    【详解】根据分析，第一层1的数量不一定比第二层多。 举反例：第一层：只有1个格子写 1（底层就1个正方体）。 第二层：在这同一个格子上，仍然写 1（上层1个正方体）。 此时：第一层数量＝1，第二层数量＝1，两层数量相等。  原题说法错误。 故答案为：× 15．圆柱无论怎么切，切面都不可能是圆形。( ) 【答案】× 【分析】圆柱平行于底面切割时，切面就是圆形，题干说法错误。 【详解】当切割方向平行于圆柱的底面时，得到的切面和底面形状相同，为圆形。原题说法错误。 故答案为：× 16．圆锥横着切，切面都是圆形，大小一样。( ) 【答案】× 【分析】圆锥横切的切面都是圆形，但不同位置的切面大小不同，越靠近底面的圆越大。 【详解】圆锥横着切时，切面都是圆形，靠近底面的切面圆更大，靠近顶点的切面圆更小，切面大小不一致。原题说法错误。 故答案为：× 17．长方体竖着切，切面一般是长方形。( ) 【答案】√ 【分析】长方体的面以长方形为主，仅特殊情况有2个相对的面是正方形，竖直切割的切面通常符合长方形特征，据此作答。 【详解】长方体的六个面通常是长方形，仅特殊情况有2个相对的面是正方形。竖着切时，切面的对边分别平行于长方体的棱，四个角都是直角，多数情况下是长方形；即使切出正方形，正方形也属于特殊的长方形，因此说法正确。 故答案为：√ 18．正方体滚动5格和滚动1格朝上的面相同。( ) 【答案】√ 【分析】正方体沿同一方向滚动的周期为4格，滚动格数除以4余数相同时，朝上的面相同。 【详解】，滚动5格相当于完整滚动1个周期后再滚动1格，和滚动1格的朝上的面相同。原说法正确。 故答案为：√ 四、作图题 19．一个由同样的小正方体组成的几何体，从上面看到的图形如下图（数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。在方格图中画出这个几何体从前面和左面看到的图形。 【答案】 【分析】先确定几何体的行列分布：从上面看的图形中，横向为行，纵向为列，每个位置的数字代表对应位置小正方体的层数。从前面看：因为从前面看时，每一列的高度由该列所有位置的最大层数决定，所以先找到每一列的最大层数，再按列数对应画出每列的高度。从左面看：因为从左面看时，每一行的高度由该行所有位置的最大层数决定，所以先找到每一行的最大层数，再按行数对应画出每行的高度。 【详解】从前面看到的图形：一共分3列，从左到右每列的小正方形数量依次是1个、3个、1个，也就是左列竖排1个正方形，中列竖排3个正方形，右列1个正方形，所有正方形都对齐在底部。 从左面看到的图形：一共分2列，从左到右每列的小正方形数量依次是3个、2个，也就是左列竖排3个正方形，右列竖排2个正方形，所有正方形都对齐在底部。 五、解答题 20．正方体按图中的方向从起点开始翻滚。 (1)灰色面第1次经过的数是多少？ (2)灰色面第4次经过的数是多少？ (3)当正方体滚到数18时，灰色面会落在这个数上吗？请说明理由。 【答案】(1)1 (2)13 (3)13＋4＝17，灰色面落在17上，不会落在18上，落在数18上的是白色面。（理由合理即可） 【分析】（1）正方体每滚动1圈共有4个面，灰色面是第1个，正方体朝一个方向连续滚动4次就会回到初始的面状态，也就是滚动一圈，这一圈里灰色面会出现1次，灰色面第1次经过的数是1。 （2）正方体翻滚，灰色的面接触地面的位置呈现周期性规律，每翻滚4次为1个周期，所以第2个周期的灰色面经过1＋4＝5，以此类推，第3个周期的灰色面经过的数是5＋4＝9，第4个周期的灰色面经过9＋4＝13。 （3）方法一：用18除以4，求出商就是周期数，余数就是1个周期的第几个面；方法二：13＋4＝17，灰色面会落在17上。以此答题即可。 【详解】（1）答：灰色面第1次经过的数是1。 （2）1＋4＋4＋4 ＝5＋4＋4 ＝9＋4 ＝13 答：灰色面第4次经过的数是13。 （3）方法一： 18÷4＝42 1个周期的第2个面是白色。 方法二： 13＋4＝17，灰色面会落在17上。 答：13＋4＝17，灰色面落在17上，不会落在18上，落在数18上的是白色面。（理由合理即可） 21．下图所示的是从上面看到的一些小正方体所搭几何体的平面图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数。 （1）请你在方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的图形。 （2）要使从左面看到的图形保持不变，最多可以去掉（    ）个小正方体。（小正方体需面与面相接）。 【答案】（1）见详解 （2）2 【分析】（1）从正面看，有三列，从左到右小正方体的个数分别为3、1、2，据此画出图形；从左面看，有三列，从左到右小正方体的个数分别为1、3、1，据此画出图形； （2）要使从左面看到的图形保持不变，就要保证每一行的最高层数不变，且还需保证面与面相接。第一行只有一个小正方体，不能去掉；第二行最高是三层，有三个小正方体，去掉第三列的2个仍能满足最高3层；第3行只有1个小正方体不能去掉。所以最多可以去掉2个小正方体。 【详解】根据分析得： （1）如图： （2）要使从左面看到的图形保持不变，最多可以去掉2个小正方体。（小正方体需面与面相接） 22．小欣和小悦用一些大小相同的小立方块搭几何体，想要使该几何体从正面和上面看到的形状图如图所示。从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数。 （1）a表示几？ （2）小欣说b的值一定为2，请问小欣的说法是否正确？请说明理由； （3）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】（1）3 （2）错误；见详解 （3）最少11个；最多16个 【分析】（1）从正面看第3列小立方块的个数为3； （2）从正面看可知第2列小立方块的个数最多为2，所以可知b的取值； （3）从正面看和从上面看可知a是定值3，b、c最小为1，最大为2，且至少有一个为2，d、e、f最小为1，最大为3，且至少有一个为3，根据最大最小值计算即可。 【详解】（1）根据从正面看得到的形状图可知，第3列小立方块的个数为3，则a＝3。 （2）小欣的说法错误。理由：根据从正面看得到的形状图可知，第2列小立方块的个数为2，则b的值可以取1或2。 （3）从左往右，最少的情况为：第1列的小立方块的个数为3，1，1第2列的小立方块的个数为2，1，第3列的小立方块的个数为3，此时小立方块的数量为3＋1＋1＋2＋1＋3＝11（个） 如下图所示： 最多的情况为：第1列的小立方块的个数为3，3，3，第2列的小立方块的个数为2，2，第3列的小立方块的个数为3，此时小立方块的数量为3＋3＋3＋2＋2＋3＝16（个）。 如下图所示： 答：综上所述：这个几何体最少11个，最多16个小立方块搭成。 23．利用大小相等的正方体纸箱若干个，按要求完成纸箱拼搭任务。甜甜要摆的几何体从三个不同方向看到的图形如下： （1）组成这个几何体，需要（    ）个纸箱，在“从上面看”的图形上标出对应位置的纸箱个数。 （2）纸箱总数不变，移动一个纸箱，使得从上面看到的图形不变，一共有多少种移法？ （3）若在保持总数不变的情况下，移动一个纸箱使得从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样，可以怎样调整纸箱的位置？ 【答案】（1）10；图见详解 （2）12种 （3）见详解 【分析】 （1）根据如下可知，这个几何体有3层；从上面看到图形可知，这个几何体最下层需要7个小正方体纸箱；从前面和左面看到图形可知，这个几何体的中间层需要2个小正方体纸箱，最上层需要1个小正方体纸箱，一共需要（7＋2＋1）个小正方体纸箱。再用数字标出在“从上面看”的图形上标出对应位置如图：。 （2）可以把最上层的正方形纸箱也就是③放入其它6个位置的任何一个位置，则从上面看到的图形不变，或把从中间层左边的小正方体纸箱也就是②放到其它6个位置的任何一个位置，则从上面看到的图形不变；共有（6＋6）种方法，据此解答。 （3）把从前面看到图形的最下层最左边的小正方形（也就是从上面看到最左边的小正方形）也就是①移到从前面看的中间层的右边与中间层的小正方体挨着也就是与中间层①的位置，看到的图形和从左面看到的图形相同；据此解答。 【详解】（1）7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 如图： （2）6＋6＝12（种） 答：一共有12种移法。 （3）如图： 根据分析可知，把最上层左边①移到中间层①的位置，从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $