第六单元 图形的奥秘 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版四年级上册（新教材）

第六单元 图形的奥秘 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、截面的形状与大小对比 2 1. 截面的定义 2 2. 常见立体图形的截面形状 2 3. 截面的大小对比 2 4. 截面问题的核心方法 2 二、平面图形与立体的转化 2 1. 立体图形的展开与折叠 2 2. 正方体的展开图 3 3. 正方体展开图找相对面的规律 3 4. 长方体的展开图 3 三、翻滚正方体的规律探究 3 1. 翻滚的基本特征 3 2. 核心规律 3 3. 解题方法 4 四、易错点总结 4 考点讲练 4 考点一：截面的形状判断与大小对比 4 考点二：平面图形与立体的转化（展开与折叠） 5 考点三：翻滚正方体的规律探究 7 综合训练 8 知识梳理 一、截面的形状与大小对比 1. 截面的定义 用一个平面去切割一个立体图形，切出来的平面图形就叫做这个立体图形的截面。截面的边是平面与立体图形面的交线，截面的形状取决于立体图形本身，也和切割的方向、位置密切相关。 2. 常见立体图形的截面形状 正方体（长方体） 平行于任意一个面切割：截面是正方形（长方形），和对应面的形状、大小完全相同； 斜着切割：根据切割经过的面数不同，可以得到三角形、平行四边形、梯形、五边形、六边形； 核心规律：正方体有 6 个面，截面最多和 6 个面相交，因此最多是六边形，不可能出现七边形及以上的截面。 圆柱 平行于底面切割：截面是圆形，大小和底面完全相同； 垂直于底面切割：截面是长方形，长等于圆柱的高，宽等于底面直径； 倾斜切割：截面是椭圆形。 圆锥 平行于底面切割：截面是圆形，越靠近底面，圆越大； 过顶点且垂直于底面切割：截面是等腰三角形。 3. 截面的大小对比 同一个立体图形，切割方向和位置不同，截面的大小可能不同： 长方体中，平行于最大的面切割，截面面积最大；平行于最小的面切割，截面面积最小； 圆柱、圆锥平行于底面切割时，越靠近底面，截面的圆越大； 正方体斜切时，切割面经过的面越多、倾斜程度不同，截面面积也会发生变化。 4. 截面问题的核心方法 判断截面形状，关键看切割平面和立体图形的几个面相交：和 n 个面相交，截面就是 n 边形。 二、平面图形与立体的转化 1. 立体图形的展开与折叠 展开：把立体图形的表面沿着棱剪开，平铺后得到的平面图形，叫做这个立体图形的展开图。 折叠：将符合规则的平面图形沿边线折叠，可以还原成立体图形。 核心本质：展开和折叠是互逆的过程，展开不改变面的形状和大小，只改变面的位置关系。 2. 正方体的展开图 正方体展开图由 6 个完全相同的正方形组成，共有 11 种标准类型，分为四大类： 一四一型（6 种）：中间 4 个正方形连成一排，上下各 1 个，位置可左右移动； 二三一型（3 种）：中间 3 个连成一排，上方 2 个、下方 1 个，错开排列； 三三型（1 种）：两行各 3 个正方形，错开 1 个对齐； 二二二型（1 种）：三行各 2 个正方形，依次错开呈阶梯状。 不能折成正方体的典型结构： 田字格结构：4 个正方形组成 “田” 字，折叠时面会重叠； 凹字形结构：一排出现凹进去的形状，折叠时面会冲突。 3. 正方体展开图找相对面的规律 相间是对面：同一行（列）中，中间隔一个正方形的两个面，是相对面； Z 端是对面：呈 “Z” 字形排列时，Z 字两端的两个面，是相对面。 补充：相对的面在展开图中永远不相邻，相邻的面一定不是相对面。 4. 长方体的展开图 长方体展开图由 3 组完全相同的长方形组成，相对的面大小、形状完全一致，展开后不会相邻。 三、翻滚正方体的规律探究 1. 翻滚的基本特征 正方体沿着直线方向翻滚，每次翻滚转动 90°，翻滚过程中正方体的形状、大小不变，只是面的朝向发生改变。 翻滚三要素：翻滚中心（棱）、翻滚方向（前、后、左、右）、翻滚次数。 2. 核心规律 面的关系不变：无论怎么翻滚，正方体的相对面始终相对，相邻面始终相邻，不会发生改变。 周期规律：沿同一个方向连续翻滚，每翻滚4 次，正方体会回到初始的朝向，朝上的面、朝前的面都会和初始状态一致，也就是翻滚的周期为 4。 单次翻滚变化：向前翻滚 1 次，原来的前面变成上面，原来的上面变成后面，原来的后面变成下面，原来的下面变成前面；左右翻滚同理。 3. 解题方法 初始标记法：先标记正方体初始的上下、前后、左右六个面； 逐步推导法：翻滚次数少时，按顺序依次推导每次翻滚后各面的朝向； 周期计算法：翻滚次数多时，用总次数 ÷4，根据余数判断最终朝向： 余数为 0：和初始状态一致； 余数为 1：和翻滚 1 次后的状态一致； 余数为 2：和翻滚 2 次后的状态一致； 余数为 3：和翻滚 3 次后的状态一致。 四、易错点总结 误以为正方体截面最多是五边形，实际正方体有 6 个面，截面最多可以是六边形。 判断正方体展开图时，认为 6 个正方形就一定能折成正方体，忽略田字格、凹字形等错误结构。 找展开图的相对面时，误将相邻面当成相对面，不会运用 “相间、Z 端” 的规律判断。 对比截面大小时，只看形状不看切割方向，忽略 “平行于哪个面切割，截面就和哪个面等大” 的规律。 翻滚正方体计算周期时，搞错余数对应的状态，或误以为翻滚后相对面会变成相邻面。 考点讲练 考点一：截面的形状判断与大小对比 【典例精讲】 用一个平面去切割一个正方体，不可能得到的截面形状是（ ）。 A. 三角形 B. 五边形 C. 七边形 【变式训练】 把一个圆柱沿垂直于底面的方向竖直切开，截面的形状是（ ）。 A. 圆形 B. 长方形 C. 三角形 【变式训练】 一个长方体长 10 厘米、宽 8 厘米、高 5 厘米。分别平行于上下面、左右面、前后面各切一刀，其中截面面积最大的是（ ）。 A. 平行于上下面切割 B. 平行于左右面切割 C. 平行于前后面切割 【变式训练】 判断题：用一个平面切正方体，只能得到正方形或长方形的截面。（ ） 考点二：平面图形与立体的转化（展开与折叠） 【典例精讲】下列盒子拆开后分别是下面的哪个图形？连一连。 【变式训练】连一连。 【变式训练】折一折，想一想，连一连． 【答案】 【详解】略 【变式训练】把如图展开图与相应的长方体、正方体连起来。 考点三：翻滚正方体的规律探究 【典例精讲】 一个正方体初始状态：1 号面朝上，2 号面朝前面。沿着向前的方向连续翻滚，每翻滚一次，前面的面转到朝上的位置。翻滚第 4 次后，朝上的面是几号？ 【变式训练】 一个正方体初始时，正面写 “数”，上面写 “学”，右面写 “乐”。向右翻滚 1 次后，朝上的面写的字是（ ）。 A. 数 B. 乐 C. 学 【变式训练】 一个正方体沿直线向前翻滚，初始 A 面朝上，已知每翻滚 4 次回到初始朝向。翻滚第 15 次后，朝上的面和翻滚第几次的状态相同？ 【变式训练】 判断题：正方体翻滚一次后，原本相对的两个面会变成相邻的面。（ ） 综合训练 1．下列图形沿虚线折叠，能折成长方体（不包括正方体）的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面的图形中，能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面四幅图沿虚线折叠后能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 4．图1是一个正方体，图2是它的展开图其中的5个面，第6个面是图3的（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．下图中要使涂色部分成为一个正方体的展开图，还需再选择两个小正方形涂色，这两个小正方形不可能是（    ）。 A．1和2 B．1和8 C．4和6 D．4和7 6．六艺是指我国古代教育的六种科目，即：礼、乐、射、御、书、数，下图是一个正方体的展开图，它的每个面上分别写着“六艺”中的一种，若将这个展开图围成一个正方体，“礼”字相对的面是（    ）。 A．射 B．御 C．乐 D．数 7．如图是一个正方体的展开图，与“快”相对的面上写着( )。 8．将一个正方体纸盒展开（如图），现有三个正方形分别填着3、6、8，如果要使相对面上两个数的积都为1，那么A＝( )，B＝( )，C＝( )。 9．如图，在正方体展开中，与“A”相对的字母是“( )”。 10．下列图形沿虚线能折成正方体盒子吗？能的在（    ）里画“√”。 11．下图是一个正方体的表面展开图，在围成的正方体中，“英”的对面是( )字。 12．如图中A、B、C、D四个正方形不能与给定的5个面形成正方体展开图的是( )（填字母）。 13．下图是一个正方体的平面展开图，每个面上都有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么a和b的乘积是( )。 14．每年的6月5日是世界环境日，下图是笑笑和同学们设计的环境保护语。折成正方体后，和“绿”相对的是( )。 15．下图是一个长方体的表面展开图，和“明”字相对的面上是“( )”字。 16．下图是一个长方体的展开图，如果以图形（2）为下底面再组成长方体，则图形( )在上面，图形( )在前面（填序号）。 17．把下面的各个立体图形和相应的展开图连一连。 18．下列盒子拆开后分别是下面的哪个图形？连一连。 19．下面这些图形能折成什么形状的盒子？ 20．想一想，连一连。 21．下面的图形分别是上面哪个盒子的展开图？想一想，连一连。 22．把下面的长方体、正方体和相应的展开图用线连起来。 23．下面一行图是由上面哪个纸盒拆开的，连一连。 24．连一连。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 图形的奥秘 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、截面的形状与大小对比 2 1. 截面的定义 2 2. 常见立体图形的截面形状 2 3. 截面的大小对比 2 4. 截面问题的核心方法 2 二、平面图形与立体的转化 2 1. 立体图形的展开与折叠 2 2. 正方体的展开图 3 3. 正方体展开图找相对面的规律 3 4. 长方体的展开图 3 三、翻滚正方体的规律探究 3 1. 翻滚的基本特征 3 2. 核心规律 3 3. 解题方法 4 四、易错点总结 4 考点讲练 4 考点一：截面的形状判断与大小对比 4 考点二：平面图形与立体的转化（展开与折叠） 6 考点三：翻滚正方体的规律探究 9 综合训练 11 知识梳理 一、截面的形状与大小对比 1. 截面的定义 用一个平面去切割一个立体图形，切出来的平面图形就叫做这个立体图形的截面。截面的边是平面与立体图形面的交线，截面的形状取决于立体图形本身，也和切割的方向、位置密切相关。 2. 常见立体图形的截面形状 正方体（长方体） 平行于任意一个面切割：截面是正方形（长方形），和对应面的形状、大小完全相同； 斜着切割：根据切割经过的面数不同，可以得到三角形、平行四边形、梯形、五边形、六边形； 核心规律：正方体有 6 个面，截面最多和 6 个面相交，因此最多是六边形，不可能出现七边形及以上的截面。 圆柱 平行于底面切割：截面是圆形，大小和底面完全相同； 垂直于底面切割：截面是长方形，长等于圆柱的高，宽等于底面直径； 倾斜切割：截面是椭圆形。 圆锥 平行于底面切割：截面是圆形，越靠近底面，圆越大； 过顶点且垂直于底面切割：截面是等腰三角形。 3. 截面的大小对比 同一个立体图形，切割方向和位置不同，截面的大小可能不同： 长方体中，平行于最大的面切割，截面面积最大；平行于最小的面切割，截面面积最小； 圆柱、圆锥平行于底面切割时，越靠近底面，截面的圆越大； 正方体斜切时，切割面经过的面越多、倾斜程度不同，截面面积也会发生变化。 4. 截面问题的核心方法 判断截面形状，关键看切割平面和立体图形的几个面相交：和 n 个面相交，截面就是 n 边形。 二、平面图形与立体的转化 1. 立体图形的展开与折叠 展开：把立体图形的表面沿着棱剪开，平铺后得到的平面图形，叫做这个立体图形的展开图。 折叠：将符合规则的平面图形沿边线折叠，可以还原成立体图形。 核心本质：展开和折叠是互逆的过程，展开不改变面的形状和大小，只改变面的位置关系。 2. 正方体的展开图 正方体展开图由 6 个完全相同的正方形组成，共有 11 种标准类型，分为四大类： 一四一型（6 种）：中间 4 个正方形连成一排，上下各 1 个，位置可左右移动； 二三一型（3 种）：中间 3 个连成一排，上方 2 个、下方 1 个，错开排列； 三三型（1 种）：两行各 3 个正方形，错开 1 个对齐； 二二二型（1 种）：三行各 2 个正方形，依次错开呈阶梯状。 不能折成正方体的典型结构： 田字格结构：4 个正方形组成 “田” 字，折叠时面会重叠； 凹字形结构：一排出现凹进去的形状，折叠时面会冲突。 3. 正方体展开图找相对面的规律 相间是对面：同一行（列）中，中间隔一个正方形的两个面，是相对面； Z 端是对面：呈 “Z” 字形排列时，Z 字两端的两个面，是相对面。 补充：相对的面在展开图中永远不相邻，相邻的面一定不是相对面。 4. 长方体的展开图 长方体展开图由 3 组完全相同的长方形组成，相对的面大小、形状完全一致，展开后不会相邻。 三、翻滚正方体的规律探究 1. 翻滚的基本特征 正方体沿着直线方向翻滚，每次翻滚转动 90°，翻滚过程中正方体的形状、大小不变，只是面的朝向发生改变。 翻滚三要素：翻滚中心（棱）、翻滚方向（前、后、左、右）、翻滚次数。 2. 核心规律 面的关系不变：无论怎么翻滚，正方体的相对面始终相对，相邻面始终相邻，不会发生改变。 周期规律：沿同一个方向连续翻滚，每翻滚4 次，正方体会回到初始的朝向，朝上的面、朝前的面都会和初始状态一致，也就是翻滚的周期为 4。 单次翻滚变化：向前翻滚 1 次，原来的前面变成上面，原来的上面变成后面，原来的后面变成下面，原来的下面变成前面；左右翻滚同理。 3. 解题方法 初始标记法：先标记正方体初始的上下、前后、左右六个面； 逐步推导法：翻滚次数少时，按顺序依次推导每次翻滚后各面的朝向； 周期计算法：翻滚次数多时，用总次数 ÷4，根据余数判断最终朝向： 余数为 0：和初始状态一致； 余数为 1：和翻滚 1 次后的状态一致； 余数为 2：和翻滚 2 次后的状态一致； 余数为 3：和翻滚 3 次后的状态一致。 四、易错点总结 误以为正方体截面最多是五边形，实际正方体有 6 个面，截面最多可以是六边形。 判断正方体展开图时，认为 6 个正方形就一定能折成正方体，忽略田字格、凹字形等错误结构。 找展开图的相对面时，误将相邻面当成相对面，不会运用 “相间、Z 端” 的规律判断。 对比截面大小时，只看形状不看切割方向，忽略 “平行于哪个面切割，截面就和哪个面等大” 的规律。 翻滚正方体计算周期时，搞错余数对应的状态，或误以为翻滚后相对面会变成相邻面。 考点讲练 考点一：截面的形状判断与大小对比 【典例精讲】 用一个平面去切割一个正方体，不可能得到的截面形状是（ ）。 A. 三角形 B. 五边形 C. 七边形 【分析】 截面的边数等于切割平面和立体图形相交的面数。正方体一共有 6 个面，平面最多和 6 个面相交，形成六边形，不可能出现七条边的截面。 【详解】 正方体只有 6 个面，切割平面最多和 6 个面相交，对应六边形截面，不可能得到七边形。 三角形、五边形都可以通过斜切得到。 【答案】C 【变式训练】 把一个圆柱沿垂直于底面的方向竖直切开，截面的形状是（ ）。 A. 圆形 B. 长方形 C. 三角形 【分析】 垂直于底面切割圆柱，也就是沿着圆柱的高切开，切割面和圆柱的侧面、两个底面相交，形成的截面是长方形。 【详解】 平行于底面切圆柱，截面是圆形；垂直于底面切圆柱，截面是长方形；只有圆锥过顶点竖直切，截面才是三角形。 【答案】B 【变式训练】 一个长方体长 10 厘米、宽 8 厘米、高 5 厘米。分别平行于上下面、左右面、前后面各切一刀，其中截面面积最大的是（ ）。 A. 平行于上下面切割 B. 平行于左右面切割 C. 平行于前后面切割 【分析】 平行于哪个面切割，截面的面积就和那个面的面积相等，分别算出三个面的面积再比较即可。 【详解】 上下面面积：（平方厘米） 左右面面积：（平方厘米） 前后面面积：（平方厘米） ，平行于上下面的截面面积最大。 【答案】A 【变式训练】 判断题：用一个平面切正方体，只能得到正方形或长方形的截面。（ ） 【分析】 正方体的切割方向不同，截面形状也不同，斜着切可以得到三角形、梯形、六边形等多种形状，不只有长方形和正方形。 【详解】 沿着倾斜的方向切割正方体，可以得到三角形、平行四边形、五边形、六边形等多种截面，因此说法错误。 【答案】× 考点二：平面图形与立体的转化（展开与折叠） 【典例精讲】下列盒子拆开后分别是下面的哪个图形？连一连。 【答案】见详解 【分析】观察发现是长方体，相对的面完全相同，那么前后2个面应该是正方形，上下、左右4个面都是长方形，只有符合； 是长方体，前后2个面为较宽的长方形，左右和上下4个面都是较窄的长方形，只有符合； 是正方体，前后、上下、左右6个面都是正方形，只有符合。 【详解】如图： 【变式训练】连一连。 【答案】见详解 【详解】如图所示： 【变式训练】折一折，想一想，连一连． 【答案】 【详解】略 【变式训练】把如图展开图与相应的长方体、正方体连起来。 【答案】见详解 【分析】 6个面中有2个相对的面是正方形，其它4个面都是完全一样的长方形； 6个面都是长方形，有三组相对的面完全相同； 6个面都是完全一样的正方形； 据此连线。 【详解】如图： 考点三：翻滚正方体的规律探究 【典例精讲】 一个正方体初始状态：1 号面朝上，2 号面朝前面。沿着向前的方向连续翻滚，每翻滚一次，前面的面转到朝上的位置。翻滚第 4 次后，朝上的面是几号？ 【分析】 正方体沿同一个方向连续翻滚，周期为 4，每翻滚 4 次就回到初始朝向，朝上的面和初始状态相同。 【详解】 翻滚周期为 4： 第 1 次翻滚后：2 号面朝上； 第 2 次翻滚后：底面朝上； 第 3 次翻滚后：后面朝上； 第 4 次翻滚后：回到初始状态，1 号面朝上。 （组），没有余数，对应初始状态。 答：翻滚第 4 次后，朝上的面是 1 号。 【答案】1 号 【变式训练】 一个正方体初始时，正面写 “数”，上面写 “学”，右面写 “乐”。向右翻滚 1 次后，朝上的面写的字是（ ）。 A. 数 B. 乐 C. 学 【分析】 向右翻滚时，原来在右面的面会翻转到上方，原来的上面转到左面，原来的左面转到下面，原来的下面转到右面。 【详解】 向右翻滚 90° 后，原本在右侧的 “乐” 字面会转到朝上的位置，因此朝上的面写 “乐”。 【答案】B 【变式训练】 一个正方体沿直线向前翻滚，初始 A 面朝上，已知每翻滚 4 次回到初始朝向。翻滚第 15 次后，朝上的面和翻滚第几次的状态相同？ 【分析】 用总翻滚次数除以周期 4，根据余数判断对应的状态：余数是几，就和第几次翻滚后的状态一致。 【详解】 周期为 4 （组）……（次） 余数是 3，说明翻滚 15 次后的状态，和翻滚 3 次后的状态相同。 答：和翻滚第 3 次的状态相同。 【答案】第 3 次 【变式训练】 判断题：正方体翻滚一次后，原本相对的两个面会变成相邻的面。（ ） 【分析】 正方体的相对面和相邻面是固定的结构，翻滚只会改变面的朝向，不会改变面与面之间的位置关系。 【详解】 无论怎么翻滚，相对的面始终相对，相邻的面始终相邻，不会发生改变，因此说法错误。 【答案】× 综合训练 1．下列图形沿虚线折叠，能折成长方体（不包括正方体）的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方体展开图的特点：展开图通过折叠能够使六个面两两相对，且相对面大小一样，且相邻面的公共边在折叠后能完全重合。据此逐项分析。 【详解】A．这个展开图中，每个面都是正方形，且不符合正方体展开图的任何一种，该图形既不能折成正方体，也不能折成长方体； B．，符合正方体展开图“1－3－2”结构，能折成一个正方体，不能折成一个长方体； C．通过折叠能够使六个面两两相对，且相邻面的公共边在折叠后能完全重合。能折成长方体。 D．折叠后相对面的大小不一样，不符合长方体的特征，所以不能折成长方体。 所以能折成长方体的是。 2．下面的图形中，能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】长方体展开图的特征：①展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的大小完全相同。②长方体长、宽、高均不相等，那么其展开图，在同一行或同一列中，如有3个或4个长方形的其中完全相同的两个长方形中间一定只隔一个其他的长方形。如果是两个长方形相连，那么这两个长方形一定不完全相同（有两个相对的面是正方形的长方体的表面展开图例外）。 【详解】A．存在两个相对的面是正方形，其余四个面是长方形，但其排列不符合长方体展开图的特征，不能围成长方体。 B．是1—4—1型的长方体展开图，相对的面完全相同，符合长方体展开图的特征，能围成长方体。 C．图形的面的分布不符合长方体相对面的特征，不能围成长方体。 D．存在三个面是正方形，三个面是长方形，不能组成3组相对的面，不能围成长方体。 3．下面四幅图沿虚线折叠后能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】长方体展开图必须满足：3组完全相同的长方形，相对的面大小一致，不能出现重复尺寸、不能有重叠面，据此求解。 【详解】A．上下两个小长方形在同一侧，折叠后会重叠，无法围成长方体，该选项错误； B．属于 “1－4－1” 标准长方体展开图，上下两个小长方形分别在中间长条的两端，三组对面尺寸匹配，折叠后无重叠，能围成长方体，该选项正确； C．上方同时有两个小长方形，折叠后顶面重叠，不能构成长方体，该选项错误； D．上下小长方形的位置不一致，折叠后无法围成长方体，该选项错误。 能围成长方体。 4．图1是一个正方体，图2是它的展开图其中的5个面，第6个面是图3的（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】要找出第6个面是在图3的哪一个位置，需依据正方体展开图的特征分析：正方体展开图有11种基本形式，可分为“1－4－1”型（中间4个面，上下各1个面）、“2－3－1”型（中间3个面，上下分别为2个和1个面）、“2－2－2”型（每排2个面，共3排）、“3－3”型（每排3个面，共2排），且不能出现“田”字格、“凹”字格等无法折叠的结构。 【详解】根据以上分析可知，此图属于“1－4－1”型，即中间4个面，上下各1个面；所以第6个面是在图3乙的位置。 5．下图中要使涂色部分成为一个正方体的展开图，还需再选择两个小正方形涂色，这两个小正方形不可能是（    ）。 A．1和2 B．1和8 C．4和6 D．4和7 【答案】A 【分析】 正方体的展开图如图所示：，分别根据选项画出对应的图片，选择不符合图中展开图的选项即可。 【详解】 A．不是正方体的展开图。 B．是正方体的展开图。 C．是正方体的展开图。 D．是正方体的展开图。 这两个小正方形不可能是1和2。 6．六艺是指我国古代教育的六种科目，即：礼、乐、射、御、书、数，下图是一个正方体的展开图，它的每个面上分别写着“六艺”中的一种，若将这个展开图围成一个正方体，“礼”字相对的面是（    ）。 A．射 B．御 C．乐 D．数 【答案】D 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 【详解】若将这个展开图围成一个正方体，可以想象成：“射”是下面，“乐”是左面，“御”是右面，“礼”是后面，“数”是前面，“书”是上面。所以，分别相对的两个面是“礼”和“数”、“射”和“书”、“御”和“乐”。 7．如图是一个正方体的展开图，与“快”相对的面上写着( )。 【答案】啦 【分析】由图可知，这是正方体三三型展开图。正方体展开图的规律是：同行隔一个是相对面，不是同一行的隔一列是相对面。 【详解】根据分析，“我”和“毕”是相对面，“业”和“！”是相对面，所以“快”相对的面上是“啦”。 8．将一个正方体纸盒展开（如图），现有三个正方形分别填着3、6、8，如果要使相对面上两个数的积都为1，那么A＝( )，B＝( )，C＝( )。 【答案】 【分析】找出正方体展开图中三个数字的相对面，找相对面时，先找同行，同行中间隔一个正方形的两个面是相对面，再找异行，异行中间隔两个正方形的两个面是相对面，最后求出A、B、C代表的数字，然后用1除以对应的数字即可得出结果。 【详解】根据分析： A与6相对，B与3相对，C与8相对，故，，。 9．如图，在正方体展开中，与“A”相对的字母是“( )”。 【答案】F 【分析】在正方体展开中，找相对的面，两个面中间要隔一个面。 【详解】E与C面在同一列中间隔一个D面，所以E与C相对； B与D虽不在同列，从下往上看，中间隔了一个E面，所以B与D相对； A与F虽不在同列，从左往右看，中间隔了个一个D面，所以A与F相对。 10．下列图形沿虚线能折成正方体盒子吗？能的在（    ）里画“√”。 【答案】 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即1－4－1、2－2－2、3－3、1－3－2结构，若展开图中含有明显的“田”字型和“凹”字型结构，折叠时会出现重叠的面，无法折成正方体。据此解答。 【详解】左起第一个图形为2－2－2型正方体展开图（每层2个正方形，共3层，且层间错开排列），这种结构沿虚线折叠时各面能完美拼接，无重叠或空缺，因此能折成正方体盒子。 左起第二个图形在尝试折叠时，会出现面重叠或无法形成封闭正方体的情况，不符合正方体展开图的有效结构，所以不能折成正方体盒子。 左起第三个图形属于1－3－2型正方体展开图（一层2个、一层3个、一层1个正方形的排列），该类型是正方体展开图的有效形式，沿虚线折叠可形成正方体盒子。 左起第四个图形含有明显的“田”字型结构，在折叠过程中，存在重叠的面，不满足正方体展开图的要求，故不能折成正方体盒子。 因此，能折叠成正方体的是左起第1个和第3个展开图。如下： 11．下图是一个正方体的表面展开图，在围成的正方体中，“英”的对面是( )字。 【答案】舞 【分析】根据正方体展开图的类型有：1－4－1型，2－3－1型，2－2－2型，3－3型，属于3－3型，“府”字与“猴”字相对，“楼”字与“歌”字相对，“英”字与“舞”字相对，据此解答。 【详解】根据分析得，“英”字的对面是“舞”字。 12．如图中A、B、C、D四个正方形不能与给定的5个面形成正方体展开图的是( )（填字母）。 【答案】C 【分析】正方体展开图有“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型这四种类型；只要出现“田”字形、“凹”字形、“7”字形的结构，就一定不是正方体的展开图，且一行（列）正方形的数量不超过4个。 【详解】A．正方形A与给定的5个小正方形组成了“2－3－1”型，是正方体的展开图，不符合题意； B．正方形B与给定的5个小正方形组成了“1－4－1”型，是正方体的展开图，不符合题意； C．正方形C与给定的5个小正方形组合，出现了“田”字形，不是正方体的展开图，符合题意； D．正方形D与给定的5个小正方形组成了“1－4－1”型，是正方体的展开图，不符合题意。 13．下图是一个正方体的平面展开图，每个面上都有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么a和b的乘积是( )。 【答案】 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的相对面，据此找到a和b的相对面，再用1除以相对面的数字即可得到a和b的值，最后用乘法求出a和b的积。 【详解】a和2相对，b和3相对； 1÷2＝ 1÷3＝ ×＝ 14．每年的6月5日是世界环境日，下图是笑笑和同学们设计的环境保护语。折成正方体后，和“绿”相对的是( )。 【答案】用 【分析】正方体中相邻的面不相对。“呵”和“护、心、绿、用”相邻。那么“呵”和“色”相对。“用”和“心、呵、护”相邻，那么“用”和“绿”相对。剩下的“心”和“护”相对。 【详解】折成正方体后，和“绿”相对的是用。 15．下图是一个长方体的表面展开图，和“明”字相对的面上是“( )”字。 【答案】诚 【分析】在长方体的展开图中，相对的面不会相邻，且通常在展开图中呈隔一个面的位置关系。 【详解】这个展开图属于一四一型，中间一行的4个面中，隔一个面的两个面是相对面。中间一行的字依次是：文、明、法、诚，所以明和诚隔了一个法，二者是相对面。 16．下图是一个长方体的展开图，如果以图形（2）为下底面再组成长方体，则图形( )在上面，图形( )在前面（填序号）。 【答案】 （4） （3） 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“（2）”与“（4）”相对，图形（2）的下边缘和图形（3）的上边缘是共用边，把展开图折成长方体时，图形（3）会沿着共用边向上立起，位于下底面（2）的正前方，也就是前面的位置，据此解答即可。 【详解】根据分析得，如果以图形（2）为下底面再组成长方体，则图形（4）在上面，图形（3）在前面（填序号）。 17．把下面的各个立体图形和相应的展开图连一连。 【答案】 【分析】区分正方体和两类长方体，其中正方体6个面都是正方形，一类长方体有2个相对的面是正方形、其余4个面是相同长方形，另一类长方体6个面都是长方形且长宽高均不相等。 如果展开图中6个面都是正方形，那么它对应正方体；如果展开图中有2个正方形和4个相同的长方形，那么它对应有2个正方形面的长方体；如果展开图中6个面都是长方形且包含三种不同边长的长方形，那么它对应长宽高均不相等的长方体。 【详解】 观察发现该长方体的宽和高组成的是正方形，所以展开图中有两个面是正方形。与符合。 是正方体，与符合。 该长方体展开后，各个面都是长方形。与符合。 18．下列盒子拆开后分别是下面的哪个图形？连一连。 【答案】 【分析】我们可以根据立体图形的展开图特征来连线： 正方体（第一个立体图形）：它的展开图是6个完全相同的正方形，对应第二个展开图。 金字塔形（第二个立体图形）：它的展开图是由4个三角形和1个正方形组成的，对应第一个带四个三角形的展开图。 长方体（第三个立体图形）：它的展开图是6个长方形（有两个相对面可能是正方形），对应第四个带两个小长方形的展开图。 【详解】略 19．下面这些图形能折成什么形状的盒子？ 【答案】 【详解】根据每个图形进行分析： 根据三棱柱的特征可知，三棱柱有5个面，两个面是三角形且大小相等，三个面是长方形且大小相等； 根据四棱锥的特征可知，四棱锥有5个面，一个面是正方形，四个面是三角形且大小相等； 根据长方体的特征可知，长方体有6个面，相对的两个面都是大小形状都一样的长方形； 根据圆柱的特征可知，圆柱有3个面，两个面是圆且大小相等，一个面是长方形。 20．想一想，连一连。 【答案】 【分析】长方体一共有6个面，大多为长方形，相对的面大小、形状完全一致，部分特殊长方体会有两个相对的正方形面。 正方体同样有6个面，所有面都是大小相同的正方形。 三棱锥由4个三角形面组成。 三棱柱包含5个面，上下两个底面是三角形，侧面为长方形。 圆柱有两个圆形底面和一个曲面，它的侧面展开后是长方形。 【详解】略 21．下面的图形分别是上面哪个盒子的展开图？想一想，连一连。 【答案】 【分析】根据正方形展开图由6个完全相同的正方形组成；两端有三角形的立体图形，展开图含有2个三角形和3个长方形；长方体有6个面，相对的面完全相同（有3组长方形）根据长、宽、高的长短区分展开图，据此连线。 【详解】根据分析可得： 22．把下面的长方体、正方体和相应的展开图用线连起来。 【答案】 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等。 【详解】 ，展开图的6个面都是完全一样的正方形，是正方体的展开图； ，展开图中有2个相对的面是正方形，其余4个面都是相同的长方形，属于有两个相对面是正方形的长方体的展开图； ，展开图的6个面都是长方形，相对的面相同，属于长方体的展开图。 23．下面一行图是由上面哪个纸盒拆开的，连一连。 【答案】见详解 【分析】长方体有6个面，且相对的两个面大小相等。 正方体的6个面是完全相同的正方形。 据此解答。 【详解】 ：这个立体图形是长方体，观察发现左右两侧的面是正方形，对应展开图。 ：这个立体图形是正方体，展开后的图形6个面是完全相同的正方形，对应展开图。 ：这个立体图形是长方体，观察发现上下两个面是较宽的长方形，对应展开图。 连一连如下： 24．连一连。 【答案】见详解 【分析】把正方体展开，每一个面都是一个小正方形，且展开的所有小正方形同样大。把图中的长方体展开，会得到三种不同的长方形。把圆柱体展开，上下是两个圆，侧面展开是一个长方形。 【详解】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $