1.3空间向量的坐标运算（知识清单）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学资料聚焦空间向量及其运算的坐标表示，前承空间直角坐标系的建立与点的坐标规则，包括原点、坐标轴、右手系及对称点规律，后接空间向量的坐标运算，涵盖距离、中点、加减数乘、数量积、夹角、模长、平行垂直条件及投影向量，构建从基础概念到运算应用的学习支架。 知识链路按“概念—运算—应用”逻辑清晰展开，先明确坐标系与点坐标基础，再系统梳理向量运算公式，通过八类题型结合正方体、正三棱柱等模型实例训练。亮点在于题型分类细致，例题注重空间情境转化，帮助学生用数学思维进行逻辑推理，以坐标语言精准表达空间关系，发展空间观念与运算能力。

第一章 空间向量与立体几何 第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 知识点1 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.它们把空间分成八个部分。 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 注意：1.在空间直角坐标系中，轴与平面垂直，并且正方向向上，轴又称为竖轴．在平面内，一定要注意，轴可逆时针旋转到轴． 2.空间直角坐标系与直线坐标系和平面直角坐标系一样也有三个要素，即原点、正方向、单位长度． 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点2 空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是. 注意： 空间中点的三类对称问题 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数． （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数． （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面上的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为；关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反 知识点3 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若， 则① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①;②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则(1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② （7）投影向量：向量在向量上的投影向量= 也可以表示为 注意： 1.其中θ的范围是 2.求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． 题型一：空间向量坐标的表示 规律与方法： 空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 1.在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，为的中点， ∴，∴坐标为. 故选：D 2．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，所以， 所以，所以的坐标为．故选：B． 3．（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】在等边中，，所以，则，，则.故选：ABC 4.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】空间点到平面的距离即为该点坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点P到平面Oxy的距离为5. 题型二：空间向量坐标的对称问题 规律与方法： 空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是. 1.（25-26高二上·黑龙江 ·期末）在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 3.（25-26高二上·河北·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 题型三：空间向量坐标的运算 规律与方法： 1.空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 2.向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①;②; ③; 1.（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 2.（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 3.（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.8 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量共面求参数 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 题型四：空间向量坐标运算：平行 规律与方法： 若，则 1.（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 2.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 3.（26-27高二上·河南焦作·开学考试）在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间中点的位置及坐标特征、求空间图形上的点的坐标、空间向量平行的坐标表示 【分析】先设出P点坐标，根据三点共线可得,再根据向量共线的坐标表示列方程组即可求得P点坐标. 【详解】设直线与平面的交点为,则, 即, 即, , , , 直线与平面的交点的坐标为 题型五：空间向量坐标的运算:数量积 规律与方法： 向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 1.（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】空间向量的坐标运算、数量积的坐标表示 【详解】根据题意，， 则. 2.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.38 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积、向量与几何最值 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 3.（25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. 题型六：空间向量坐标的运算：夹角问题 规律与方法： 1.空间向量两向量夹角的坐标计算公式 若，则 . 2.若， 1.（25-26高三·全国·三轮复习）已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【详解】由题可知：，则， 又与垂直， 则，得. 2.（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.93 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】因为向量，可知， 则. 3.（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 题型七：空间向量坐标的运算：模长 规律与方法： 若， 则. 1.（多选 25-26高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 2.（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 【答案】 【难度】0.93 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 3.（2026高三下·全国）在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间中两点间的距离 【分析】设点，利用空间两点距离公式展开得出关于的二次多元函数，根据平面内一点到三角形三顶点距离平方和的最小值在该三角形重心处取得，再利用空间三角形重心坐标公式求解． 【详解】设点，则 ， 是关于的二次凸函数，的最小值在的重心处取得， 重心坐标为，即． 该点在平面上，符合要求． 题型八：空间向量坐标的运算：投影向量 规律与方法： 投影向量：向量在向量上的投影向量= 也可以表示为 1.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】空间向量模长的坐标表示、求投影向量、数量积的坐标表示 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 2.（25-26高二上·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】空间向量的坐标运算、求投影向量、坐标计算向量的模 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 3.（多选25-26高二上·江西宜春·期末）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标表示判断A；根据向量共线定理判断B；求出向量在向量上的投影向量，判断C；求出点关于平面对称的点的坐标，判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 故选：BCD. 课后作业 1.（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.89 【知识点】求空间图形上的点的坐标 【详解】由题，，， 所以，，， 因此点的坐标为. 2.（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量共面求参数 【分析】由题意得，列出方程组求解即可． 【详解】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 3.（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 5.（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 6.（25-26高二·湖南·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   7.（2026高二·全国·专题练习）向量在向量上的投影向量的模长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、求投影向量、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 8.点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点设点的坐标为，由题意可得 ， ， 由二次函数的性质可得，当时取得最小值为； 当或1，且或1时，取得最大值为0， 则的取值范围是故选D． 9.（多选 25-26高二上·河南开封·期末）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、求投影向量、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据向量的加法的坐标运算，计算即可判断A；根据两向量平行的坐标关系，可判断B；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C；根据夹角为钝角，可得，且与不共线，根据数量积公式求解可判断D. 【详解】对于A，由， 则，即，解得，故正确； 对于B，若，显然与不共线， 若，与共线，则， 解得，故正确； 对于C，因为在上的投影向量为， 所以，即，解得或，故错误； 对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线， 则，解得，且，即， 所以，故错误， 故选：AB. 10.（多选 2026·四川巴中·模拟预测）正方体的棱长为，是上底面的一个动点（含边界），，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．在平面上投影的面积为定值 B．一只蚂蚁从点出发沿正方体表面运动到点，则其最短路程为 C．经过，的平面截该正方体的截面不可能为梯形 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、棱柱及其有关计算、空间向量与立体几何综合、判断正方体的截面形状、平行投影及其有关计算 【分析】选项A，在正方体中，作出在平面上投影即可解决问题； 选项B，蚂蚁沿正方体表面运动，只需将正方体展开成恰当的平面图形，运用两点之间线段最短即可解决问题； 选项C，因为梯形的结构特征是一组对边平行且不等，而正方体的相对侧面又互相平行，结合，是中点即可构造出符合题意的梯形； 选项D，类似于“将军饮马”问题，找到点关于平面的对称点，即可用两边之和大于第三边解决问题． 【详解】 选项A，如图，是上底面的一个动点，过作，则就是在平面上的投影，因为，所以在平面上投影的面积为定值.故A正确； 选项B，如图1，将平面和平面展平为同一平面，则蚂蚁爬行的最短路程为的长，因为； 如图2，将平面和平面展平为同一平面，则蚂蚁爬行的最短路程为的长，此时. 综上可得，蚂蚁爬行的最短路程为.故B正确； 选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意取点，则，， 因为，所以且，所以经过，的平面截该正方体的截面是梯形.故C错误； 选项D，如图，点是关于平面的对称点，点，则，所以的最小值为．故D正确. 【点睛】本题的选项A，B用几何法较为适宜，考查了三角形的投影的作法（找到点的投影即可）和立体图形的恰当展开问题（长方体的展开较之正方体的展开要难）；选项C，D用坐标法较为方便，对于选项C而言，平时学习中的积累很重要，否则这个梯形不易找到，而选项D则是经典问题“将军饮马”的立体几何版本，解法与平面几何解法几乎一模一样． 11．（多选 25-26高二下·河南驻马店·期末）已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则（     ） A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 【答案】BC 【难度】0.35 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量与立体几何综合、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标关系判断A，向量数量积相等可得，计算向量的模判断B；分析可知点在及其内部，即可求面积即可判断C；根据数量积判断垂直关系即可判断D. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 因为是正方体的表面及内部的点，所以. 对于选项A，， 若，则， 得，不需要，例如当时，故A错误； 对于选项B，， 因为与，，三个向量的夹角都相等， 所以，即，则. 所以，则. 因为，所以，故B正确； 对于选项C，点，， 若， 当时，则，得与重合； 当时，则，得与重合； 当时，则，得与重合. 所以点在及其内部，则， 所以，即点的运动区域的面积为，故C正确； 对于选项D，当时，，. 所以， 所以 ， 所以不存在满足，故D错误. 12.（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 13.（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 14.（2026·重庆·三模）在空间直角坐标系中，正四面体的顶点分别在轴和轴上滑动，若的最大值为，则该四面体的棱长为___________． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】把正四面体补成棱长为的正方体，由、分别在、轴滑动，知原点在以为直径的球面上，最大值为球心到的距离加半径，得到，解出后再由正四面体棱长为，化简求得棱长为. 【详解】如图将正四面体补齐为正方体，设正方体的边长为. 则原点即在以为大圆直径的球上． 如图所示，当为射线与球的外侧交点时，取得最大值1，此时. 正四面体的边长为 15.（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【答案】1 【难度】0.86 【知识点】数量积的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以 ， 因为，所以，解得 . 16.（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【难度】0.72 【知识点】求投影向量、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、由空间向量共线求参数或值 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 知识点1 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.它们把空间分成八个部分。 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 注意：1.在空间直角坐标系中，轴与平面垂直，并且正方向向上，轴又称为竖轴．在平面内，一定要注意，轴可逆时针旋转到轴． 2.空间直角坐标系与直线坐标系和平面直角坐标系一样也有三个要素，即原点、正方向、单位长度． 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点2 空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是. 注意： 空间中点的三类对称问题 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数． （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数． （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面上的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为；关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反 知识点3 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若， 则① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①;②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则(1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② （7）投影向量：向量在向量上的投影向量= 也可以表示为 注意： 1.其中θ的范围是 2.求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． 题型一：空间向量坐标的表示 规律与方法： 空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 1.在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（       ） A． B． C． D． 2．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（       ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（       ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 题型二：空间向量坐标的对称问题 规律与方法： 空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是. 1.（25-26高二上·黑龙江 ·期末）在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·河北·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 题型三：空间向量坐标的运算 规律与方法： 1.空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 2.向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①;②; ③; 1.（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 题型四：空间向量坐标运算：平行 规律与方法： 若，则 1.（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 2.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 3.（26-27高二上·河南焦作·开学考试）在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 题型五：空间向量坐标的运算:数量积 规律与方法： 向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 1.（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 2.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 3.（25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 题型六：空间向量坐标的运算：夹角问题 规律与方法： 1.空间向量两向量夹角的坐标计算公式 若，则 . 2.若， 1.（25-26高三·全国·三轮复习）已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 题型七：空间向量坐标的运算：模长 规律与方法： 若， 则. 1.（多选 25-26高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 2.（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 3.（2026高三下·全国）在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 题型八：空间向量坐标的运算：投影向量 规律与方法： 投影向量：向量在向量上的投影向量= 也可以表示为 1.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 2.（25-26高二上·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 3.（多选25-26高二上·江西宜春·期末）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 课后作业 1.（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3.（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 5.（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 6.（25-26高二·湖南·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7.（2026高二·全国·专题练习）向量在向量上的投影向量的模长为（ ） A． B． C． D． 8.点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 9.（多选 25-26高二上·河南开封·期末）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 10.（多选 2026·四川巴中·模拟预测）正方体的棱长为，是上底面的一个动点（含边界），，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．在平面上投影的面积为定值 B．一只蚂蚁从点出发沿正方体表面运动到点，则其最短路程为 C．经过，的平面截该正方体的截面不可能为梯形 D．的最小值为 11．（多选 25-26高二下·河南驻马店·期末）已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则（     ） A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 12.（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 13.（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 14.（2026·重庆·三模）在空间直角坐标系中，正四面体的顶点分别在轴和轴上滑动，若的最大值为，则该四面体的棱长为___________． 15.（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 16.（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $