1.4.1 2.空间中直线、平面的平行课前导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间中直线、平面的平行关系，通过“温故”环节系统回顾空间点、直线方向向量及平面法向量的向量表示，为“知新”中利用向量判定线线、线面、面面平行搭建知识支架，衔接前后知识脉络。 资料融入拉格朗日向量方法梳理平行理论的数学史，将立体几何平行证明转化为向量运算，培养学生用数学眼光抽象空间形式、用数学思维进行逻辑推理的能力。课前自测设计选择、填空及正方体、四棱锥应用解答题，助力学生用数学语言表达空间关系，提升应用意识与解题能力。

1.4.1 2.空间中直线、平面的平行 预习提要 1.回顾空间中点、直线和平面的向量表示； 2.阅读课本P29—P30内容，自主探究空间中直线、平面的平行，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．在空间中，取一定点作为基点，空间中任意一点可以用向量来表示，我们把向量称为点的向量. 2．用向量表示直线是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使得，即. 3．空间直线的向量表示式（取定空间任意一点）：点在直线上的充要条件是存在实数，使；或将代入，得. 4．空间任意直线由直线上及直线的唯一确定. 5．平面的向量表示（平面向量基本定理形式）：设两条相交直线交于点，它们的方向向量分别为和为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对，使得. 6．空间平面的向量表示式：取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使. 7．空间中任意平面由空间一点及两个向量唯一确定. 8．平面的法向量定义：直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的向量. 9．给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合. 二、知新 1．直线的向量和平面的向量是确定空间中的直线和平面的关键量. 2．线线平行的向量判定：设分别是直线的方向向量，则 3．线面平行的向量判定：设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 4． 面面平行的向量判定：设分别是平面的法向量，则，使得. 课前自测 1．若直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，则能使的是( ) A.， B.， C.， D.， 2．已知是平面的一个法向量，直线l的一个方向向量为，且，则_____________. 3．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则________________ 4．已知正方体的棱长为1，如图以O为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点. (1)求直线的一个方向向量； (2)证明：平面. 5．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点，N为的中点，，求证：. 反思 在笛卡尔建立空间坐标系、哈密顿创立空间向量体系后，法国数学家拉格朗日首次用向量工具系统梳理空间直线、平面所有平行判定理论，把原本复杂的立体几何平行证明转化为简单的向量运算，奠定了如今我们学习的空间平行向量判定法则. 在向量方法出现之前，证明线线、线面、面面平行，需要不断构造中位线、平行四边形、面面交线等辅助图形，空间想象要求极高，推理步骤冗长.拉格朗日发现平行的本质是“方向一致”，全部平行关系都能依靠方向向量与平面法向量判断. 答案及解析 一、温故 1．位置 2． 3． 4．一点；方向向量 5． 6． 7．不共线 8．法 9． 二、知新 1．方向；法 2． 3． 4． 课前自测 1．答案：C 解析：对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D不正确.选C. 2．答案：2 解析：，直线l的一个方向向量与平面的一个法向量垂直， ，解得.故答案为：2. 3．答案： 解析：为空间内三个不共面的向量，可以作为空间的一个基底， 又平面和平面的法向量分别为和，且，. 设，则，，解得，. 故答案为:. 4．答案：(1)(2)证明见解析 解析：(1)，因此，则直线的一个方向向量为， (2)平面， 平面，则， 又因为，，平面，故平面， 因此取平面的法向量为， 由于则，而平面，因此平面. 5．答案：证明见解析 解析：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 所以， 所以，又，故. 学科网（北京）股份有限公司 $