第2章 直线和圆的方程概念清单速记表（知识清单）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“直线和圆的方程”单元内容，涵盖直线的倾斜角与斜率、方程形式、距离公式、圆的方程及位置关系等核心范畴，搭建了从基础概念定义到公式推导应用再到位置关系判定的递进式学习支架。 清单通过“章节-概念-定义-相关概念”的层级结构呈现知识体系，如将“直线方程的内在联系”明确为点斜式是其他形式基础，体现知识完整性与条理性。重点标注斜率公式条件、平行垂直判定中斜率存在与否等细节，培养学生的数学思维与推理能力。设计“坐标法解题步骤”等应用提示，不同基础学生可高效掌握，教师能据此优化教学，提升课堂实效。

第2章 直线和圆的方程清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 2.1.1 倾斜角与斜率 直线的倾斜角 当直线 与 轴相交时，以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角。当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 。直线的倾斜角 的取值范围是 。 x轴正方向、倾斜程度、直线方向 直线的斜率 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母 表示，即 。倾斜角是 的直线没有斜率；倾斜角不是 的直线都有斜率。 倾斜角、正切值、倾斜程度 过两点的直线斜率公式 如果直线经过两点 、（），那么直线的斜率 。 斜率公式、两点坐标、坐标差 直线的方向向量 直线上的向量以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量。若直线 的斜率为 ，则它的一个方向向量的坐标为 。 方向向量、斜率、平行向量 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 两条直线平行的判定 对于斜率分别为 、 的两条直线 、，有 。当两条直线的倾斜角都是 时，斜率不存在，此时两直线也平行；若两直线重合，同样有 。 斜率相等、倾斜角相等、重合 两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 -1；反之，如果两条直线的斜率之积等于 -1，那么它们互相垂直，即 。当一条直线的倾斜角为 时，若两直线垂直，则另一条直线的倾斜角为 。 斜率之积为-1、直角、方向向量垂直 2.2.1 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程 过点 、斜率为 的直线 的方程为 ，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。直线 上每一点的坐标都满足该方程，满足该方程的每一点都在直线 上。 定点、斜率、点斜式 水平直线与垂直直线的方程 当直线 的倾斜角为 时，，直线与 轴平行或重合，方程为 ；当直线 的倾斜角为 时，斜率不存在，方程不能用点斜式表示，此时直线上每一点的横坐标都等于 ，方程为 。 倾斜角0°、倾斜角90°、斜率不存在 直线的斜截式方程 直线 与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线 在 轴上的截距。方程 由直线的斜率 与它在 轴上的截距 确定，叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。其中 是直线的斜率， 是直线在 轴上的截距。 斜率、y轴截距、点斜式 斜截式下两直线平行与垂直的条件 对于直线 、，有 且 ；。 斜截式、斜率相等、截距不等、斜率之积为-1 2.2.2 直线的两点式方程 直线的两点式方程 经过两点 、（其中 ，）的直线方程为 ，叫做直线的两点式方程，简称两点式。 两点坐标、点斜式、分式方程 直线的截距式方程 直线 与 轴的交点 的横坐标 叫做直线 在 轴上的截距。若直线 在 轴、 轴上的截距分别为 与 （，），则直线方程为 ，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 x轴截距、y轴截距、两点式 直线方程的内在联系 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率。这些方程形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画，其中斜率处于核心地位，点斜式方程是其他所有形式方程的基础。 点斜式、斜截式、两点式、截距式、斜率 2.2.3 直线的一般式方程 直线的一般式方程 关于 、 的二元一次方程 （其中 、 不同时为 0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示；反之，任意一个二元一次方程都表示一条直线。 二元一次方程、一般式、A、B、C 一般式方程的斜率与截距 当 时，直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ；当 、 时，方程可化为 ，表示垂直于 轴的直线。 斜率、y轴截距、垂直于x轴 2.3.1 两条直线的交点坐标 两条直线的交点坐标 两条直线 与 的交点坐标，即方程组 ， 的解。解方程组可得交点坐标：有唯一解时两直线相交；无解时两直线平行；两个方程可化为同一方程时两直线重合。 方程组、唯一解、无解、重合 2.3.2 两点间的距离公式 两点间的距离公式 平面内两点 、 间的距离为 。特别地，原点 与任一点 间的距离为 。 距离、坐标差、勾股定理、原点 坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论。 坐标系、方程、代数运算、几何结论 2.3.3 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式 点 到直线 的距离 。当 或 时，上述公式仍然成立。 垂线段、垂足、距离、绝对值 2.3.4 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长。两条平行直线 与 间的距离 。 公垂线段、点到直线距离、平行线 2.4.1 圆的标准方程 圆的标准方程 圆心为 ，半径为 的圆的标准方程为 。圆上的点的坐标满足该方程，满足该方程的点在圆上。 圆心、半径、标准方程 点与圆的位置关系 设圆的方程为 ，点 的坐标为 。若点 的坐标满足方程，则点在圆上；若 ，则点在圆内；若 ，则点在圆外。 圆上、圆内、圆外、半径 2.4.2 圆的一般方程 圆的一般方程 方程 叫做圆的一般方程。当 时，方程表示以 为圆心、 为半径的圆；当 时，方程表示一个点；当 时，方程不表示任何图形。 一般方程、配方、圆心、半径、判别式 待定系数法求圆的方程 求圆的方程常用待定系数法，大致步骤为：(1) 根据题意选择标准方程或一般方程；(2) 根据条件列出关于 、、 或 、、 的方程组；(3) 解出 、、 或 、、，得到标准方程或一般方程。 标准方程、一般方程、方程组、待定系数 轨迹方程 动点按照某种规律运动形成的图形叫做轨迹，用来描述动点坐标之间关系的方程叫做轨迹方程。求轨迹方程通常先设出动点坐标，再根据已知条件建立动点坐标满足的关系式，最后化简整理得到方程。 动点、轨迹、代入法、中点坐标 2.5.1 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系：(1) 相交，有两个公共点；(2) 相切，只有一个公共点；(3) 相离，没有公共点。判定方法有：联立直线与圆的方程，通过方程组解的个数判断；或比较圆心到直线的距离 与半径 的大小（ 时相交， 时相切， 时相离）。 相交、相切、相离、圆心距、半径 圆的弦长 当直线与圆相交时，直线被圆截得的线段叫做圆的弦。若圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，则弦长为 。 弦长、垂径定理、勾股定理、圆心距 直线与圆相切 直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，且直线与过切点的半径垂直。过圆外一点可以作两条切线与圆相切；过圆上一点有且只有一条切线。 切线、切点、半径、圆心距 2.5.2 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 两个圆之间存在三种位置关系：(1) 相交，有两个公共点；(2) 相切，包括外切与内切，只有一个公共点；(3) 相离，包括外离与内含，没有公共点。可依据两圆圆心距 与两半径 、 的和、差的绝对值的大小关系判断： 时相交， 时外切， 时内切， 时外离， 时内含。 相交、相切、相离、圆心距、半径和差 两圆的公共弦 两圆相交时，两个交点之间的线段叫做两圆的公共弦，公共弦所在直线可由两圆方程相减得到。 公共弦、交点、圆方程相减 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $