微专题 平均值不等式的应用-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理平均值不等式的内容，涵盖定理条件、变形公式、不等式链及13类应用题型，以表格对比不同不等式成立条件，突出“一正二定三相等”核心要点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础理解到综合应用，如“配凑法求最值”“1的妙用”等技巧，结合实际应用题（加油方案优化）和数学史题（秦九韶公式），培养数学思维与应用意识。例题解析含易错点提示，帮助不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

【解析版】 微专题 【沪教版】定理：平均值不等式的应用种种 沪教版高中数学的平均值不等式（基本不等式）规定：任意的两个正数、的算术平均数几何平均数，也就是，取等前提为：；解题必须遵守一正、二定、三相等，即变量为正数、和或积是定值、可以达成等号条件； 使用该不等式有三个前提：一正、二定、三相等。一正指：、必须为正数；二定是求和的最小值或积的最大值时，和或积为定值；三相等代表要检验等号能否取到，若取不到定值，则不能直接用此不等式求解最值； 它常见应用分为两类：已知正数和为定值，求乘积最大值；已知正数乘积为定值，求和的最小值；解题时常需要配凑变形，构造和或积为定值的形式；同时可拓展至多个正数的均值不等式；在函数求最值、代数式比较大小、实际应用题（面积、造价优化）中广泛使用，是不等式求最值的核心工具，解题必须牢记三个条件，避免忽略等号成立条件而得出错误结果。 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数、，数称为、，的算术平均值；数称为、的几何平均值； 2、定理：平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求、，是实数即可，而后者要求、都是正实数（实际上后者只要、即可【P46上的注解】）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形： ①(、)．；②(、同号)；③(、)； 3、平均值不等式与最值 已知、，则 （1）若（和为定值），则当时，积取得最大值；（简记：和定积最大） （2）若（积为定值），则当时，和取得最小值；（简记：积定和最小） 即：两个正数的和为常数时，它们的积有最大值； 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值。 【说明】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合均值不等式成立的前提条件，、； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立； 以上三点缺一不可。 4、重要不等式链 （1）若，则； （2）设、，则有（当且仅当时取等号）； 其中为平方平均值， 为算术平均值，为几何平均值，为调和平均值； 题型1、对定理：平均值不等式的理解 例1、已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、下列不等式的推导过程正确的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 题型2、利用定理：平均值不等式比较大小 例3、已知，，且，，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 例4、若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的序号是 题型3、利用定理：平均值不等式求积最大值 例5、设且，则的最大值是（     ） A．400 B．100 C．40 D．20 例6、已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 题型4、利用定理：平均值不等式求和最小值 例7、已知x，y是非零实数，则的最小值为（       ） A．6 B．12 C．2 D．4 例8、已知正实数，满足，则的最小值为________． 题型5、利用定理：平均值不等式求二次或二次商式的最值 例9、若，则的最大值是______． 例10、设为正实数，若则的最大值是__________. 题型6、利用定理：平均值不等式根据条件等式求最值 例11、已知，，且，则的最小值为______. 例12、已知，，则的最小值为__________． 题型7、借助定理：平均值不等式利用配凑法求最值 例13、已知，，，则的最小值为（     ） A．2 B．1 C． D． 例14、若，则有（     ） A．最大值 B．最小值9 C．最大值 D．最小值 题型8、借助定理：平均值不等式利用消元（换元）法求最值 例15、已知，，，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 例16、设正实数x，y，z满足，则的最小值为______ 题型9、定理：平均值不等式与‘1’的妙用 例17、已知（，），则的最小值为 例18、在中，角的对边分别为，若，则的最小值为______． 题型10、注意多次使用定理：平均值不等式求最值保证等号成立 例19、已知，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．2 例20、已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型11、利用定理：平均值不等式证明不等式 例21、（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 例22、已知正数满足．求证： （1）； （2）． 题型12、利用定理：平均值不等式解决实际问题 例23、汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 例24、一天，陶渊明采菊东篱下.想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（   ）. A．289 B．104 C．162 D．138 题型13、定理：平均值不等式与数学史的交汇 例25、我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 例26、中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．4 D．4 1、基本不等式 （1）基本不等式成立的条件：、； （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）基本不等式的代数解释：因为，令，，代入展开可得； （4）基本不等式的几何解释：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD. 由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD小于或等于圆的半径， 可得不等式 当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立． 2、基本不等式及有关结论 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．2）重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （3）几个常用的重要结论：① ＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)； ② a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)； ③ ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； ④ ≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 3、平均值不等式与最值 已知x、y都是正数， （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小． 4、平均值不等式的其他形式与拓展 （1）四个重要不等式： ①a2＋b2≥2ab；(a，b∈R)；②ab≤；(a，b∈R)； ③a＋b≥2；(a≥0，b≥0)；④ab≤.(a，b∈R) 【注意】1、①②④三种形式的前提条件是a、b为实数，③形式的前提条件是a、b为非负数；2、四种形式等号成立的条件都是a＝b. （2）平方平均数 ，算术平均数，几何平均数，调和平均数 的大小顺序为 ≥≥≥. 【注意】这里a、b都为正实数，当且仅当a＝b时， ＝＝＝. 1．若正数，满足，则的最小值为（     ） A．2 B． C．3 D． 2．若，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（    ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 5．函数的最小值是 6．若，，且，则下列不等式：①；②；③；④，其中成立的是___________（写出所有正确命题的序号）. 7．已知正数，满足，则的最小值为__________． 8．已知实数、满足且，则的最小值为______． 9．已知，，，则＋的最小值为____． 10．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积S可由公式 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为______. 11．求最值 （1）已知正实数满足，求的最小值． （2）已知，求的最小值． （3）已知，求的最小值． 12．对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： ①已知，，且，求的最小值； ②设，，都是正数，求证：. 【解析版】 微专题 【沪教版】定理：平均值不等式的应用种种 沪教版高中数学的平均值不等式（基本不等式）规定：任意的两个正数、的算术平均数几何平均数，也就是，取等前提为：；解题必须遵守一正、二定、三相等，即变量为正数、和或积是定值、可以达成等号条件； 使用该不等式有三个前提：一正、二定、三相等。一正指：、必须为正数；二定是求和的最小值或积的最大值时，和或积为定值；三相等代表要检验等号能否取到，若取不到定值，则不能直接用此不等式求解最值； 它常见应用分为两类：已知正数和为定值，求乘积最大值；已知正数乘积为定值，求和的最小值；解题时常需要配凑变形，构造和或积为定值的形式；同时可拓展至多个正数的均值不等式；在函数求最值、代数式比较大小、实际应用题（面积、造价优化）中广泛使用，是不等式求最值的核心工具，解题必须牢记三个条件，避免忽略等号成立条件而得出错误结果。 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数、，数称为、，的算术平均值；数称为、的几何平均值； 2、定理：平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求、，是实数即可，而后者要求、都是正实数（实际上后者只要、即可【P46上的注解】）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形： ①(、)．；②(、同号)；③(、)； 3、平均值不等式与最值 已知、，则 （1）若（和为定值），则当时，积取得最大值；（简记：和定积最大） （2）若（积为定值），则当时，和取得最小值；（简记：积定和最小） 即：两个正数的和为常数时，它们的积有最大值； 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值。 【说明】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合均值不等式成立的前提条件，、； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立； 以上三点缺一不可。 4、重要不等式链 （1）若，则； （2）设、，则有（当且仅当时取等号）； 其中为平方平均值， 为算术平均值，为几何平均值，为调和平均值； 题型1、对定理：平均值不等式的理解 例1、已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【提示】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断； 【答案】C； 【解析】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D 正确， 故选：C； 【说明】本题考查了定理：平均值不等式的内容及辨析与定理：平均值不等式的应用； 例2、下列不等式的推导过程正确的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 【提示】根据基本不等式成立的条件进行判断即可； 【答案】②； 【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当，即时，等号成立， 因为，所以，故①错误； ②因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故②正确； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件， 当时，，故③错误． 故答案为： ②. 【说明】本题考查了定理：平均值不等式的内容及辨析；理解时需要了解其常见变形，如： （1）； （2）。 题型2、利用定理：平均值不等式比较大小 例3、已知，，且，，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【提示】使用基本不等式求解，注意等号成立条件； 【答案】A； 【解析】， 因为，，∴等号不成立，故； ， 因为，，∴等号不成立，故， 综上，. 故选：A； 【说明】本题主要考查了由定理：平均值不等式比较大小，用到了指数幂的运算性质； 例4、若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的序号是 【提示】①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立； 【答案】①②； 【解析】对于①，由重要不等式可知①正确； 对于②， ，故②正确； 对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确； 对于④，令可知④不正确． 故恒成立的序号为：①②； 【说明】本题主要考查了由定理：平均值不等式比较大小； 题型3、利用定理：平均值不等式求积最大值 例5、设且，则的最大值是（     ） A．400 B．100 C．40 D．20 【提示】直接用基本不等式求解即可； 【答案】A； 【解析】因为，所以，即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A； 【说明】本题主要考查了由定理：平均值不等式求积的最大值； 例6、已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【提示】利用基本不等式，直接计算即可； 【答案】B； 【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B； 【说明】本题考查了由定理：平均值不等式求积的最大值； 题型4、利用定理：平均值不等式求和最小值 例7、已知x，y是非零实数，则的最小值为（       ） A．6 B．12 C．2 D．4 【提示】由基本不等式即可求解； 【答案】A； 【解析】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 故选：A； 【说明】本题主要考查了由定理：平均值不等式求和的最小值； 例8、已知正实数，满足，则的最小值为________． 【提示】注意根据题设使得“积微常数”； 【答案】6； 【解析】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为； 【说明】本题主要考查了利用定理：平均值不等式求和的最小值；兼顾了条件等式求最值、定理：平均值不等式“1”的妙用求最值 题型5、利用定理：平均值不等式求二次或二次商式的最值 例9、若，则的最大值是______． 【提示】将转化为，利用基本不等式求解； 【答案】； 【解析】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 【说明】本题考查了利用定理：平均值不等式解二次与二次（或一次）的商式的最值； 例10、设为正实数，若则的最大值是__________. 【提示】根据条件及基本不等式得，且，再把目标式化为，最后应用基本不等式求最大值，注意取值条件； 【答案】； 【解析】由，则，当且仅当，即取等号， 同时，故，则且， ， 当且仅当，即，则或时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 【说明】本题考查了利用定理：二次与二次（或一次）的商式的最值、条件等式求最值； 题型6、利用定理：平均值不等式根据条件等式求最值 例11、已知，，且，则的最小值为______. 【提示】利用定理：平均值不等式求和的最小值； 【答案】； 【解析】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11； 【说明】定理：平均值不等式求和的最小值、条件等式求最值； 例12、已知，，则的最小值为__________． 【提示】利用，结合基本不等式可求最小值； 【答案】； 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 【说明】本题考查了利用定理：平均值不等式求和的最小值、条件等式求最值、定理：平均值不等式“1”的妙用求最值； 题型7、借助定理：平均值不等式利用配凑法求最值 例13、已知，，，则的最小值为（     ） A．2 B．1 C． D． 【提示】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解； 【答案】B； 【解析】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 【说明】本题主要考查了根据条件等式，“配凑”出利用定理：平均值不等式的条件，然后求最值；同时考查了定理：平均值不等式“1”的妙用求最值； 例14、若，则有（     ） A．最大值 B．最小值9 C．最大值 D．最小值 【提示】配凑构造基本不等式的形式求解即可； 【答案】C； 【解析】因为，故 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C； 【说明】本题主要考查了“配凑”法利用定理：平均值不等式求和的最小值； 题型8、借助定理：平均值不等式利用消元（换元）法求最值 例15、已知，，，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【提示】利用定理：平均值不等式，，解不等式即可； 【答案】B； 【解析】利用均值不等式，，令，故 又因为，解得，所以的最小值为6．故选B； 【说明】本题考查了借助定理：平均值不等式，利用“换元”法求和的最小值； 例16、设正实数x，y，z满足，则的最小值为______ 【提示】由题意可得z＝x2+3xy+4y2，则3，由定理：平均值不等式计算可得所求最小值； 【答案】7； 【解析】正实数x，y，z满足x2+3xy+4y2﹣z＝0，可得z＝x2+3xy+4y2， 则3≥3+27， 当且仅当x＝2y时，上式取得等号， 则的最小值为7． 故答案为7； 【说明】本题主要考查了根据题设条件等式，借助定理：平均值不等式，利用“消元”法求最值； 题型9、定理：平均值不等式与‘1’的妙用 例17、已知（，），则的最小值为 【提示】根据，可转化为，用“1”的代换，再之用基本不等式，得出结果； 【答案】； 【解析】， ，因为，，时 故答案为：； 【说明】本题主要考查了定理：平均值不等式“1”的妙用求最值； 例18、在中，角的对边分别为，若，则的最小值为______． 【提示】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合定理：平均值不等式即可求解； 【答案】； 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故答案为：； 【说明】本题综合考查了定理：平均值不等式的应用、定理：平均值不等式“1”的妙用求最值； 题型10、注意多次使用定理：平均值不等式求最值保证等号成立 例19、已知，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．2 【提示】注意规范使用定理：平均值不等式； 【答案】D； 【解析】因为， 所以，当且仅当时，取等号①； 再由，所以， 当且仅当时，取等号②； 综合①②，解得，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 【说明】本体考查了在“多次”使用定理平均值不等式求最值时，注意同时保证等号成立； 例20、已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【提示】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可； 【答案】A； 【解析】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A； 【说明】本题考查了在“多次”使用定理：平均值不等式求和的最小值时，应主要保证等号“同时”成立； 题型11、利用定理：平均值不等式证明不等式 例21、（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【提示】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论； 【证明】（1）证明：因为，、都是正数， 所以，，，， 所以，， 当且仅当时，等号成立． （2）证明：因为，，，， 所以，，，， 所以，， 故，当且仅当， 即时等号成立； 【说明】本题考查了利用地：平均值不等式证明不等关系； 例22、已知正数满足．求证： （1）； （2）． 【提示】（1）根据，结合基本不等式，即可得证； （2）由，结合基本不等式，即可得证； 【证明】（1）因为正数满足， 由，当且仅当时，等号成立， 可得， 即，所以，当且仅当时，等号成立. （2）由 ， 当且仅当，即，等号成立. 所以. 【说明】本题主要考查了利用定理：平均值不等式证明不等关系； 题型12、利用定理：平均值不等式解决实际问题 例23、汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【提示】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断； 【答案】A； 【解析】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A； 【说明】本题考查了定理：平均值不等式的实际应用； 例24、一天，陶渊明采菊东篱下.想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（   ）. A．289 B．104 C．162 D．138 【提示】设出矩形菜园的靠墙的一边长为，由已知表示出另一边长，再表示出面积，利用基本不等式即可求出菜园的最大面积； 【答案】C； 【解析】设矩形菜园的靠墙的一边长为， 因为篱笆的长为，则宽为， 所以矩形菜园的面积为： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以矩形菜园的最大面积是. 故选：C； 【说明】本题考查利用定理：平均值不等式求积的最大值的实际应用； 题型13、定理：平均值不等式与数学史的交汇 例25、我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【提示】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，利用勾股定理和基本不等式可求得的最大值，由此可得出该直角三角形周长的最大值； 【答案】C； 【解析】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，所以， 即，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 【说明】本题考查了定理：平均值不等式与数学史知识的交汇； 例26、中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．4 D．4 【提示】求出，得到，由基本不等式求出面积最大值； 【答案】B； 【解析】由题意得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故此三角形面积最大值为12. 故选：B 【说明】本题考查了定理：平均值不等式与数学史的交汇，求积的最大值； 1、基本不等式 （1）基本不等式成立的条件：、； （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）基本不等式的代数解释：因为，令，，代入展开可得； （4）基本不等式的几何解释：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD. 由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD小于或等于圆的半径， 可得不等式 当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立． 2、基本不等式及有关结论 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．2）重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （3）几个常用的重要结论：① ＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)； ② a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)； ③ ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； ④ ≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 3、平均值不等式与最值 已知x、y都是正数， （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小． 4、平均值不等式的其他形式与拓展 （1）四个重要不等式： ①a2＋b2≥2ab；(a，b∈R)；②ab≤；(a，b∈R)； ③a＋b≥2；(a≥0，b≥0)；④ab≤.(a，b∈R) 【注意】1、①②④三种形式的前提条件是a、b为实数，③形式的前提条件是a、b为非负数；2、四种形式等号成立的条件都是a＝b. （2）平方平均数 ，算术平均数，几何平均数，调和平均数 的大小顺序为 ≥≥≥. 【注意】这里a、b都为正实数，当且仅当a＝b时， ＝＝＝. 1．若正数，满足，则的最小值为（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B； 【解析】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 2．若，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【提示】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解； 【答案】B； 【解析】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 3．已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【提示】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可； 【答案】A； 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 4．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（    ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C； 【解析】由题设，总成本为，则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 故选：C 5．函数的最小值是 【答案】； 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 6．若，，且，则下列不等式：①；②；③；④，其中成立的是___________（写出所有正确命题的序号）. 【答案】①③④； 【解析】对于①，因为，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以①正确， 对于②，因为，，所以，所以，所以②错误， 对于③，因为，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以③正确， 对于④，因为，，且，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以④正确， 故答案为：①③④ 7．已知正数，满足，则的最小值为__________． 【提示】由条件结合定理：平均值不等式证明，解不等式可得结论； 【答案】； 【解析】由，得， 所以， 因为，，所以， 所以，即， 所以，当且仅当，且，即时，上式取“=”， 所以的最小值为． 故答案为：9. 8．已知实数、满足且，则的最小值为______． 【提示】由换元法，令，，再根据定理：平均值基本不等式求解即可； 【答案】90； 【解析】令，，则， 原式， 当且仅当，即， 时取等号， 此时，故最小值为90． 9．已知，，，则＋的最小值为____． 【提示】将原等式化为，从而可得，利用换元法和基本不等式可求最值； 【答案】； 【解析】可化为， 因为，，故，故， 所以. 设，故且， 故 又， 因为，故即，当且仅当时等号成立， 故的最小值为4，故的最小值为. 故答案为：. 10．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积S可由公式 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为______. 【提示】因为，可得，代入，利用基本不等式的性质即可得出； 【答案】； 【解析】因为，，．． 所以，， 当且仅当时取等号． 所以，，即三角形面积的最大值为． 故答案为: . 11．求最值 （1）已知正实数满足，求的最小值． （2）已知，求的最小值． （3）已知，求的最小值． 【提示】（1）根据定理：平均值不等式“1”的代换，计算即可得答案； （2）对所求进行配凑变形可得，利用定理：平均值不等式，即可得答案； （3）对所求进行变形可得，利用基定理：平均值不等式，即可得答案； 【答案】（1）；（2）5；（3）7； 【解析】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5 （3）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7 12．对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： ①已知，，且，求的最小值； ②设，，都是正数，求证：. 【提示】（1）根据使用定理：平均值不等式的前提及等号成立条件判断甲乙解法是否正确即可； （2）①由题设，且，应用定理：平均值不等式求最小值，注意取值条件；②利用定理：平均值不等式证明不等式即可； 【答案】（1）甲错误，乙正确，理由如下： 同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合要求，故错误. 同学乙恒等变换后，直接用定理：平均值不等式，满足定理：平均值不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确； （2）①； 因为，，则， 所以， ， 当且仅当，即时等号成立； ②因为，，为正数，结合基本不等式， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号. 第4页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $