2.3.2 三角不等式教学设计--2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦三角不等式的证明与应用，通过沪苏湖高铁情境联系三角形边关系，衔接初中有理数加法法则，搭建从几何直观到代数证明的学习支架，梳理绝对值不等式与实数运算的脉络。 特色在于情境创设落实立德树人，数学软件动态图像助几何直观，多证法（代数、分类讨论）发展逻辑推理，例题3结合几何意义突破等号条件难点，分层作业含开放性题目。培养数学眼光、思维、语言，提升学生素养，为教师提供结构化教学资源。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 三角不等式 教学目标 1.经历三角不等式的发现和证明；感悟分类讨论、数形结合等思想方法，发展数学抽象、逻辑推理素养. 2.通过三角不等式的变形，理解三角不等式及其中取等号的条件；体会类比和转化的数学思想，树立辩证思维. 3.能够运用三角不等式解决一些简单的不等式证明和一类求不等式最值的问题；发展逻辑推理、数学运算素养． 教学重难点 教学重点：三角不等式的证明和运用 学习难点：三角不等式的运用、等号成立的确认 教学过程 （一）创设情境 引入课题 【引入】在自然界中，距离的长短，面积、重量的大小等都需要用非负数来表示. 因此，研究含有绝对值的不等式具有重要意义.说到距离，最近，沪苏湖高铁首趟检测列车从上海虹桥站开出，标志着沪苏湖高铁正式进入联调联试阶段.这条高铁线路是长三角高铁联网强链的重点项目.在此之前，我们乘坐高铁从上海去湖州，需要绕行杭州.从图1中可以直观看出，有了这条铁路，大大缩短了路程，可以提高区域内民众的生活品质，促进经济持续增长. 图1 上海、杭州、湖州三地的位置关系，体现了三角形中两边之和大于第三边，那么在含有绝对值的不等式中，是否有类似结论呢？这就是我们本节课将要研究的内容. 我们来讨论这里提到的两个数的和，初中阶段我们学习过有理数加法法则，也是实数加法法则，其中提到：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加.也就是说，对同号的实数，.对于任意给定的实数，这个等式是否依然成立呢？ 设计意图：从学生已有基础入手提出问题，符合学生最近发展区，也有助于培养学生发现问题提出问题的能力;以高铁线路联调联试的新闻，让学生体会到祖国的强大，激发学生的民族自豪感，落实立德树人根本任务. （二）探究新知 形成定理 【探究１】请根据实数绝对值的几何意义，使用数学软件，探究之间的关系． 学生活动：时,如图2、3中, 图2 图3 时,如图4、5中,; 图4 图5 时,显然. 从几何直观，得到. 设计意图：借助数学软件绘制动态图像，让学生从直观上感受两者之间的关系，培养直观想象、数学抽象素养，体会分类讨论､数形结合思想,由等式过渡到不等式,在本单元中再次增进学生对两者相互转化的理解,树立辩证统一思维. 【探究2】对于任意给定的实数,你能从代数角度证明吗? 学生活动:学生小组讨论后,学生代表回答不同证法. 方法一： 证明：因为等价于, 即,也即, 所以且等号当且仅当时成立. 方法二： 证明：当中至少一个为零时，显然=； 当时=； 当时,=； 即，时，=成立. 当时，不妨设,= 则时，有； 时，有 综上所述，，且等号当且仅当时成立. 其中第一种方法从结论出发，执果索因，逐步寻求使其成立的充分条件，直至归结为一个明显成立的条件；第二种方法由因导果，推导出所要证明的结论，同时采用了分类讨论的思想.本节课为我们今后证明不等式又增加了新的方法. 设计意图:定理的代数证明是本节课的教学重点,从单元角度,学生已有不等式证明的经验,可以通过探究任务自主完成.多个角度的证明,是对问题的深度学习,有助于发展逻辑推理素养,提升分析解决问题的能力. 【定理】对于任意给定的实数,有,且等号当且仅当时成立. 请在课本上标出此定理，可以用文字语言表达这个定理吗？也就是：两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和.由于这个不等式与三角形两边之和大于第三边相似，故称三角不等式.在后续向量、复数等内容，乃至高等数学的学习中，具有重要作用. 剖析定理，不等式的左边是一个数的绝对值，右边是两个数的绝对值，这是定理的结构形式；左边取绝对值的数是右边两个数的和，构成一种等式关系，这是定理的内在联系.掌握了这两个特点，有助于我们理解运用三角不等式. (三) 例题讲解 理解巩固 【例题1】已知为实数,求证:. 证明：因为由三角不等式， 有 即，所以. 请同学总结一下应用三角不等式进行证明的基本思路：先构造等式，再由等式放缩得到三角不等式. 【探究3】类比三角不等式，两个实数差的绝对值与两个数绝对值的差有什么关系？ 容易发现，，来看例题2. 【例题2】已知为实数,求证:,并指出等号成立的条件. 证明：等价于，由三角不等式，有 所以， 且等号当且仅当，即时成立. 【探究4】用替代三角不等式中的用替代,即, 尝试用一些代数式替换，会得到怎样的不等式? 学生活动：学生分组讨论后,交流成果,如，所以；又如，所以等.结合例2、三角不等式，得到，从某种形式上统一了实数和、差的绝对值.又如，，可将三角不等式推广到多个变量的情况. 设计意图：通过探究使学生深入学习三角不等式,利用类比和转化思想生成各种变形和推广,实现对思维深度的提升.这种活动设计也使学生在本单元再次体会到一般对特殊的指导意义. 【例题3】证明:对所有实数恒成立,并求等号成立时的取值范围. 方法一： 证明:因为,由三角不等式， 有 所以等号当且仅当时成立 因此对所有实数恒成立, 且当且仅当时,等号成立. 方法二：分类讨论 证明：当时， 当时， 当时， 所以,且当且仅当时,等号成立. 几何意义：图6 表示数轴上实数对应的点到3对应的点的距离与到5对应的点的距离之和，其最小值就是3对应的点与5对应的点之间的距离，也就是2，如图6 设计意图：此题通过多个角度讲解,并在数轴上解读,得到一类绝对值问题的解法.通过指出等号成立时取值范围即为的解集,再次帮助学生突破等号的确认这一难点,使他们体会到知识的联系和应用的灵活性,发展数学运算素养. (四)课堂练习 迁移应用 1.教材练习2.3（3）已知为实数,满足,证明下列各式: 2.将上海、湖州、杭州三地在地图上的位置看作平面直角坐标系上的三个点, 记, , , 求证： 【思考】爱学习的小明同学想求的最小值，你能帮助他解决这个问题吗？ 设计意图：利用引入环节的情境作为背景设置练习，首尾呼应，调动学生的思维积极性；通过三个变量的绝对值提出一个思考问题,并将其作为作业放在课后请学生继续探索，促进深层次思考. （五）课堂小结 布置作业 【作业】 [基础练习]教材习题2.3 A组7-8,B组5. [能力拓展]见作业练习单 [开放性题目（选做）]请从以下题目中选择一题,在一周内完成. (1)试求的最小值.尝试寻找求的最小值的一般方法. (2)通过查阅网络资料等方式,了解数学中的各种“距离”,尝试以此为题撰写一篇数学小报告. 设计意图：分层作业设计,面向不同层次学生,因材施教;基础练习要求全部同学完成,能力拓展供学有余力的同学完成.开放性题目选做,培育科研意识. 【课堂小结】 1.数学知识：定理（三角不等式）：对于任意给定的实数,有,且等号当且仅当时成立.利用三角不等式可以解决一些简单的不等式证明和求最值的问题. 2.数学思想方法：分类讨论，数形结合，转化，类比等. 3.数学核心素养：逻辑推理，数学运算等. 结语：实际上,绝对值概念的产生源于正负数运算的需要.我国汉代数学典籍《九章算术》中已经提出世界上最早的有理数加减运算法则.揭示了在正负数的四则运算中，实际参与运算的是它们的绝对值.愿我们同学可以体会中国古代数学家的创新精神，传承优秀品质，勇攀学习高峰. 5 学科网（北京）股份有限公司 $