2.3.1 平均值不等式及其应用课件-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦平均值不等式及其应用，通过矩形与正方形的周长、面积问题创设情境，结合毕达哥拉斯学派算术中项、几何中项定义，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解算术与几何平均值的概念及关系。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过特殊情况猜想、代数证明培养逻辑推理，结合欧几里得几何模型阐释几何意义发展直观想象，例题分层且融入数学史，小结明确核心素养。学生能深化对不等式本质的理解，教师可高效开展概念教学与能力培养。

2.3.1 平均值不等式及其应用（第一课时） 1 一、创设情境 引入课题 当有一个矩形，它的两边边长分别表示为a与b时，能否找到一个与此矩形周长相同的正方形？它的边长是多少？ 2 一、创设情境 引入课题 当有一个矩形，它的两边边长分别表示为a与b时，能否找到一个与此矩形面积相同的正方形？它的边长又是多少？ 3 公元前6世纪，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义 a>0,b>0 算术中项: 几何中项: 现在 a>0,b>0 算术平均值: 几何平均值: 一、创设情境 引入课题 4 a>0,b>0 算术平均值: 几何平均值: 当a、b分别表示对同一个量进行两次测量所得的数值时，其算术平均值 可理解为这两次测量值的平均. 当a、b分别表示一个矩形的两条边的边长时，其几何平均值 可以理解为与此矩形面积相同的正方形的边长. 一、创设情境 引入课题 5 [问题1] 两正数a、b的算术平均值 与几何平均值 ，有怎样的大小关系？ 特殊情况： 若 时， ， ， 即 若 时， ， ， 即 . 二、探究定理 深化理解 6 [问题1] 两正数a、b的算术平均值 与几何平均值 ，有怎样的大小关系？ 猜想：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值. 即 a>0,b>0时， ，且等号当且仅当 a=b 时成立. 二、探究定理 深化理解 7 [问题2] 如何证明猜想： a>0,b>0时， ，且等号当且仅当 a=b 时成立？ 二、探究定理 深化理解 8 [问题2] 如何证明猜想： a>0,b>0时， ，且等号当且仅当 a=b 时成立？ 9 定理（平均值不等式）： 两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有 ， 且等号当且仅当时成立. 二、探究定理 深化理解 10 欧几里得在《几何原本》卷六命题13中给出了两条已知线段之间的几何中项的作图法，以AB为直径作一半圆，C为直径AB上一点，过点C作CD⊥AB，交半圆于点D，则CD即为线段AC和CB的几何中项. 二、探究定理 深化理解 11 [问题3] 能否借助这个模型，找到相关量，构造出平均值不等式的几何意义？ 二、探究定理 深化理解 12 [问题3] 能否借助这个模型，找到相关量，构造出平均值不等式的几何意义？ 二、探究定理 深化理解 13 [问题3] 能否借助这个模型，找到相关量，构造出平均值不等式的几何意义？ 二、探究定理 深化理解 14 [问题3] 能否借助这个模型，找到相关量，构造出平均值不等式的几何意义？ 二、探究定理 深化理解 15 例题1. 已知 ，求证： ，并指出等号成立的条件. 三、例题讲解，应用巩固 16 例题1. 已知 ，求证： ，并指出等号成立的条件. 证明： 因为 ，由平均值不等式，得 且等号只有当 ，即 时才成立. 由于 ，因此 . 所以，当且仅当 时， . 17 例题2. 已知 ，求证： ，并指出等号成立的条件. 三、例题讲解，应用巩固 18 平均值不等式 两边都为正数，将其两边平方会得到不等式 . 对于任意的正数 ，不等式 成立. [问题4] 对于任意的实数a、b，不等式 ，还成立吗？ 19 [问题4] 对于任意的实数a、b，不等式 ，还成立吗？ 特殊情况： 猜想：对于任意的实数a、b，不等式 ，依然成立. 20 [问题5] 如何证明猜想： 对于任意的实数a、b，不等式 成立？ 定理：对任意给定的实数a、b，总有 ， 且等号当且仅当 时成立. 在这个常用不等式两边，同时加上 得： , 从而 ， 即 ，所以原不等式成立， 且等号当且仅当 时成立. 21 定理： 对于任意的实数a、b，有 ，且等号当且仅当 时成立. [问题6] 常用不等式 是否也有它的几何意义？ 22 欧几里得在《几何原本》卷二命题5中的矩尺形模型 23 欧几里得在《几何原本》卷二命题5中的矩尺形模型 24 欧几里得在《几何原本》卷二命题5中的矩尺形模型 25 当且仅当 时，小正方形GCHL消失，矩形ABCD成为正方形，与正方形MNOL面积相等时，等号成立. 26 例题3. 设 ，求二次函数 的最大值. 解：由不等式 ，推得 于是，当，即 时， 取得最大值 . 27 请同学们完成教材P48 练习2.3(1) 四、课堂练习 迁移应用 28 平均值不等式 探究发现 推理论证 不等式的意义 代数角度 几何角度 逻辑推理 数学抽象 直观想象 五、课堂小结 29 $