精品解析：广东深圳市坪山区坪山实验学校等2026-2027学年第一学期九年级开学考数学试卷

2026-2027学年深圳市坪山区两校联考九年级（上）开学收心练习 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使式子有意义，则( ) A. x≠－3 B. x≠ 0 C. x≠2 D. x≠3 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 已知，且关于的方程有两个相等的实数根，那么(　　) A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 6. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，正方形的边长为6，点E，F是边，上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接交于点H，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 长和宽分别为、的长方形，它的周长为12，面积为5，则______． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m等于________． 11. 如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号__________． 12. 如图，在中，，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，则的长为_______． 13. 如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解决下列问题： （1）解分式方程：； （2）解方程：． 15. 如图，在矩形中，分别是边上的点，且． （1）求证：； （2）当时，四边形是菱形吗？请说明理由． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 17. 某网店专售一种商品，其成本为每件60元，当售价为每件80元时，每月可销售400件．已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，据市场调查发现：销售单价每提高5元，则每月少销售25件，设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件． （1）直接写出与的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为元，当销售价单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，求该商品的销售单价应该写在什么范围内？ 18. 如图，是菱形的对角线． （1）在线段上确定一点，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 20. 【问题提出】 如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连接交于点，若，求的值． （1）猜想证明：小明想过点作交于点．请你根据他的思路，写出解答过程． 【问题探究】 （2）如图②，在中，点是边上的点，点是边延长线上的点，连接交的延长线于点．若，且的面积为2，求四边形的面积． 【问题解决】 （3）如图③，某市区需要改造一个矩形公园，其中两个门的位置点分别在边上，千米，千米，根据改造要求，需要增加步行通道，且与原步行通道交于点，将改造为休息长廊，由设计图知，求休息长廊的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年深圳市坪山区两校联考九年级（上）开学收心练习 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使式子有意义，则( ) A. x≠－3 B. x≠ 0 C. x≠2 D. x≠3 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵分式有意义， ∴x+3≠0 解得：x≠-3. 故选A. 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的性质，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∴， 故选：B． 3. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴． 故选：B． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，是假命题，不合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，是假命题，不合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，是假命题，不合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 5. 已知，且关于的方程有两个相等的实数根，那么(　　) A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据题意令，解方程，即可求解． 【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或， ∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 7. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 8. 如图，正方形的边长为6，点E，F是边，上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接交于点H，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长；根据折叠的性质可得，，为中点；设，在和中利用勾股定理列方程求出，进而求出的长；最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，，如图， 四边形是正方形，边长为6， ，， 在中，，， ， ， 由折叠的性质可知，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ，解得， ， ， ， 在中，． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 长和宽分别为、的长方形，它的周长为12，面积为5，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据一个长方形的长、宽分别为a、b，周长为12，面积为5，可以得到a+b的值和ab的值，从而可以得到a2b+ab2的值． 【详解】解：∵一个长方形的长、宽分别为a、b，周长为12，面积为5， ∴2（a+b）=12，ab=5， ∴a+b=6，ab=5， ∴a2b+ab2 =ab（a+b） =5×6 =30， 故答案为：30． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，求出a+b的值和ab的值． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再根据方程的根的定义可得一个关于m的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可得． 【详解】由一元二次方程的定义得：， 解得， 关于x的一元二次方程有一个根为0， ， 解得或（与不符，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握定义和方程的解法是解题关键． 11. 如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形、矩形与正方形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．连接，根据三角形的中位线定理和平行公理推论可得，，，，则四边形一定为平行四边形，结论④正确；根据不能得出四边形为正方形，结论①错误；根据可得，则四边形为菱形，结论②正确；根据可得，则四边形为矩形，结论③正确；由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形一定为平行四边形，结论④正确； 当时，四边形不一定是正方形，结论①错误； 当时，则， ∴四边形为菱形，结论②正确； 当时，则， ∴， ∴四边形为矩形，结论③正确； 综上，正确的序号为②③④， 故答案为：②③④． 12. 如图，在中，，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， 为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是求出的长，再利用勾股定理求解． 13. 如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，设，过作交于，根据，设，，根据可得，，再延长、交于点，即可得到，求出，，然后根据得到，可以求出，最后求出即可． 【详解】过作交于，延长、交于点， ∵ ∴设， ∵， ∴设，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴, ∵矩形， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 整理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，难度比较大，解题的关键是设未知数表示线段并求出不同未知数的关系． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解决下列问题： （1）解分式方程：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程与一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法与公式法解一元二次方程是解答本题的关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程整理后，求出的值，再代入公式进行计算，即可求出方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得：， 经检验：是原方程的解； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 则原方程的解为，． 15. 如图，在矩形中，分别是边上的点，且． （1）求证：； （2）当时，四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ ， （2）解：当 时，四边形AECF是菱形，理由如下： ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形AECF是菱形． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出由HL证明即可； （2）由全等三角形的性质得出 证出四边形AECF是平行四边形，再由 ，即可得出四边形AECF是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 【答案】 (1)证明：， ， ，， ， ． 又， ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)32 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题． （2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD的周长. 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 17. 某网店专售一种商品，其成本为每件60元，当售价为每件80元时，每月可销售400件．已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，据市场调查发现：销售单价每提高5元，则每月少销售25件，设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件． （1）直接写出与的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为元，当销售价单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，求该商品的销售单价应该写在什么范围内？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元；（3）为了保证捐款后每月利润不低于7700元，该商品的销售单价应该定在80元到90元之间（含80元、90元） 【解析】 【分析】（1）每件商品的售价提高部分为x-80,每月销量减少部分件，每月的销售量为=400-即可； （2）利用每件利润×销售件数可列出利润解析式，由销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，列不等式组，求出售价范围，求出抛物线对称轴为直线，，由<0，抛物线开口向下，函数图象在对称轴的左侧，随的增大而增大，取最大值时，取得最大值，； （3）根据利润不低于7700元，构造取最小值方程，解得，利用抛物线两个边值来确定范围即可． 【详解】解：（1）每件商品的售价提高部分为x-80,每月销量减少部分件， 每月的销售量为=400-， ∴与的函数关系式为； （2）由题意，得， ∵销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%， ∴，解得：， ∵，∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴此时函数图象在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴时，取得最大值，； 答：当销售单价为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元． （3）根据题意得：， 解得：， ∵抛物线开口向下，∴当时，每月利润不低于7700元， 又∵，∴当时，每月利润不低于7700元， 答：为了保证捐款后每月利润不低于7700元，该商品的销售单价应该定在80元到90元之间（含80元、90元）． 【点睛】本题考查销量与售价的一次函数关系，销售利润与售价二次函数关系式，利用抛物线解决获取最低利润的售价范围问题，掌握销售单价每提高1元，则每月少销售5件的关系，利润=每件利润×销量是解题关键． 18. 如图，是菱形的对角线． （1）在线段上确定一点，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1） 点F即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质与尺规作图，等边对等角等等： （1）根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等，只需要作线段的垂直平分线交于F，点F即为所求； （2）由菱形的性质得到，，，则，再由等边对等角得到，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，作线段的垂直平分线交于F， 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ∴， ， 又∵， ∴， ∴ 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 【答案】（1）方程是“伴根方程”； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：解方程得，， ， 方程是“伴根方程”； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，， 方程是常数）是“伴根方程”， ， 或． 20. 【问题提出】 如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连接交于点，若，求的值． （1）猜想证明：小明想过点作交于点．请你根据他的思路，写出解答过程． 【问题探究】 （2）如图②，在中，点是边上的点，点是边延长线上的点，连接交的延长线于点．若，且的面积为2，求四边形的面积． 【问题解决】 （3）如图③，某市区需要改造一个矩形公园，其中两个门的位置点分别在边上，千米，千米，根据改造要求，需要增加步行通道，且与原步行通道交于点，将改造为休息长廊，由设计图知，求休息长廊的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，矩形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）过点E作交于点G，可得，，根据相似三角形的性质解答即可； （2）连接，根据等高三角形计算面积得出的面积为4，面积为3，设的面积为x，则的面积为，结合图形列出方程求解即可； （3）延长交于点M，利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质得出，，，，继续利用相似三角形的判定和性质确定，延长交于点N，同理，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点E作交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，的面积为2， ∴的面积为4， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为3， 设的面积为x，则的面积为， ∵， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为； （3）延长交于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即休息长廊的长为千米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $