13.3.2 三角形的外角 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的概念、性质及外角和，通过“小猫截鼠”情境导入，复习三角形内角知识，引导学生观察延长边形成的角，自然引出外角概念，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以情境探究和多法证明（如内角和推导、作平行线转移角）培养推理能力，总结“飞镖形”等基本模型，结合零件合格判断等中考问题渗透应用意识。学生能提升几何直观与问题解决能力，教师可高效突破重难点。

13.3.2 三角形的外角 第十三章 三角形 【2025新教材】人教版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 13.3.2 三角形的外角 学习目标 理解三角形外角的概念，能准确识别三角形的外角。 掌握三角形外角的性质，能运用性质解决与三角形外角相关的角度计算和证明问题。 经历三角形外角性质的探究过程，培养观察、分析和推理能力。 情境导入 实例：道路拐角问题 在一条笔直的道路旁有一个三角形的草坪，草坪的一个内角∠A 为 60°，∠B 为 50°。当你沿着道路从草坪的一边走到另一边时，会经过一个拐角，这个拐角与草坪的内角有什么关系呢？这个拐角其实就是三角形的一个外角，今天我们就来研究三角形的外角。 三角形外角的概念 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，在△ABC 中，延长 BC 到点 D，那么∠ACD 就是△ABC 的一个外角。 特征 三角形的外角的顶点是三角形的一个顶点。 三角形的外角的一边是三角形的一条边。 三角形的外角的另一边是三角形某条边的延长线。 识别 一个三角形有 6 个外角，其中每一个顶点处的两个外角是对顶角，大小相等。例如，在△ABC 中，顶点 A 处有两个外角，它们是对顶角；顶点 B 和顶点 C 处也各有两个这样的外角。 三角形外角的性质 探究活动 在△ABC 中，延长 BC 到点 D，测量∠A、∠B 和∠ACD 的度数，看看它们之间有什么关系。 通过测量发现，∠ACD = ∠A + ∠B。 性质 1 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 数学表达式：在△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD = ∠A + ∠B。 推导过程 因为∠ACB + ∠ACD = 180°（平角的定义），且∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），所以∠ACB = 180° - ∠A - ∠B。 将∠ACB = 180° - ∠A - ∠B 代入∠ACB + ∠ACD = 180°，可得： 180° - ∠A - ∠B + ∠ACD = 180°，所以∠ACD = ∠A + ∠B。 性质 2 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。 数学表达式：在△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。 性质 3 三角形的外角和等于 360°。 （三角形的外角和是指在三角形的每个顶点处取一个外角，这三个外角的和） 例题讲解 例 1：利用外角性质求角度 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，求∠ACD 的度数。 解：因为∠ACD 是△ABC 的外角，根据三角形外角的性质 1，∠ACD = ∠A + ∠B。 已知∠A = 70°，∠B = 60°，所以∠ACD = 70° + 60° = 130°。 例 2：结合角平分线求角度 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 相交于点 D，若∠A = 80°，求∠D 的度数。 解：设∠ABC = 2x，则∠DBC = x（因为 BD 是角平分线）。 ∠ACB 的外角为∠ACF，因为 CE 是∠ACF 的平分线，设∠ACE = ∠ECF = y，则∠ACF = 2y。 根据三角形外角性质 1，∠ACF = ∠A + ∠ABC，即 2y = 80° + 2x，化简得 y = 40° + x。 在△DBC 中，∠D = 180° - ∠DBC - ∠BCD。 ∠BCD = ∠ACB + ∠ACE，而∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 80° - 2x = 100° - 2x。 所以∠BCD = 100° - 2x + y = 100° - 2x + 40° + x = 140° - x。 则∠D = 180° - x - (140° - x) = 180° - x - 140° + x = 40°。 例 3：利用外角性质证明角的关系 如图，求证：∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C。 证明：延长 BD 交 AC 于点 E。 因为∠BEC 是△ABE 的外角，所以∠BEC = ∠A + ∠B（三角形外角性质 1）。 又因为∠BDC 是△CDE 的外角，所以∠BDC = ∠BEC + ∠C（三角形外角性质 1）。 将∠BEC = ∠A + ∠B 代入上式，可得∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C。 例 4：实际应用问题 一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于 90°，∠B 和∠C 应分别等于 32° 和 21°。检验工人量得∠BDC = 148°，就断定这个零件不合格，为什么？ 解：根据例 3 的结论，∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C = 90° + 32° + 21° = 143°。 而检验工人量得∠BDC = 148°，与计算结果不符，所以这个零件不合格。 练习巩固 如图，在△ABC 中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠ACD 的度数是（ ） A. 85° B. 95° C. 105° D. 115° 答案：C 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 答案：C 如图，∠1，∠2，∠3 是△ABC 的三个外角，它们的和是（ ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 答案：D 如图，在△ABC 中，∠C = 70°，∠B = 30°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，求∠ADB 的度数。 解：在△ABC 中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 70° = 80°。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = \(\frac{1}{2}\)∠BAC = 40°。 ∠ADB 是△ABD 的外角，所以∠ADB = ∠B + ∠BAD = 30° + 40° = 70°。 课堂总结 三角形外角的概念：三角形一边与另一边的延长线组成的角。 三角形外角的性质： 等于与它不相邻的两个内角的和。 大于与它不相邻的任何一个内角。 三个外角的和等于 360°。 利用这些性质可以解决角度计算、角的关系证明及实际应用问题，解题时要注意准确识别外角和它不相邻的内角。 作业布置 教材课后相关练习题。 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点 D，若∠A = 50°，求∠D 的度数。 证明：三角形的外角和等于 360°。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 理解三角形的外角的概念和性质.(重点) 2. 运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确表达推理过程.(难点) 2. 掌握三角形内角和定理的推论. 3. 经历由特殊到一般的数学思维过程，体会数学推理的严谨性. 两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从 A 前进到 C 处，然后再折回至 B 处，截住老鼠返回墙洞的去路 ，另一只则直接从 A 处扑向老鼠，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，问，小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处? 题目所求的是哪个角度？ 思考：如图，先把△ABC 的一边 BC 延长，这时在△ABC 外得到∠ACD. 类比三角形的内角，我们该如何概括类似∠ACD 这样的角呢？它又具有什么性质呢？ C B A D 概念引入：如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 三角形的外角 探究点一：三角形外角的概念 C B A D 问题1：三角形的外角有什么特征？ （1）角的顶点是三角形的顶点； （2）角的一边是三角形的一边； （3）角的另一边是三角形某边的延长线. 问题2 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 问题3 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 探究点一：三角形外角的概念 问题4 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. B A C F A B C D E 练一练 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 和 △BEF 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 探究点一：三角形外角的概念 思考： 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°， ∠ACD 是△ABC 的一个外角. 能由∠A，∠B 求出∠ACD 吗？如果能，求出∠ACD 与∠A、∠B 的关系； ∠ACD = 130°. ∠ACD = ∠A + ∠B， ∠ACD > ∠A 等. 探究点二：三角形外角的性质 讨论：任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？请由三角形内角和定理自行证明. 都有这种关系. 证明：在上图中，∵∠A +∠B +∠ACB = 180°， ∴∠ACB = 180°－∠A－∠B. ∵∠ACB +∠ACD = 180°， ∴∠ACD = 180°－∠ACB = 180°－(180°－∠A－∠B) =∠A +∠B. 探究点二：三角形外角的性质 拓展：你是否有其他方式证明？与大家讨论. 分析：利用角的转移. D 证明：过 C 作 CE∥AB， A B C 1 2 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. E 探究点二：三角形外角的性质 三角形内角和定理推论： 三角形的外角_____与它不相邻的两个内角的___. 等于 和 几何语言： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. 探究点二：三角形外角的性质 知识要点： 例1 如图，∠A = 76°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数. 解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角， ∴∠BEC = ∠A + ∠ACE. ∵∠A = 76° ，∠ACE = 18°， ∴∠BEC = 94°. ∵∠BFC 是△BEF 的一个外角， ∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF. ∵∠ABD = 28°，∠BEF = 94°， ∴∠BFC = 122°. F A C D E B 探究点二：三角形外角的性质 例2 (一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°， ∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° 分析：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 探究点二：三角形外角的性质 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在 △ABD 中，∠1 +∠B = ∠3， 在 △ACD 中，∠2 +∠C = ∠4. ∵∠BDC = ∠3 +∠4， ∠BAC = ∠1 +∠2， ∴∠BDC = ∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 探究点二：三角形外角的性质 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 = ∠B + ∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二). ) 2 F 探究点二：三角形外角的性质 通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？ ∠BDC＝∠A + ∠B + ∠C 飞镖形 探究点二：三角形外角的性质 2. 两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从 A 前进到 C 处，然后再折回至 B 处，截住老鼠返回墙洞的去路 ，另一只则直接从 A 处扑向老鼠，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，问，小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处? 解：∵∠BAC = 40°，∠ABC = 70°， ∴∠A = 70°. ∴小猫需要转动的角度为： ∠ECB = ∠A+∠ABC = 40°+70° = 110°. 探究点二：三角形外角的性质 探究 对于任意三角形 ABC，请探索其外角和是多少. 例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 分析：利用三角形内角和及其推论、平角的定义等将这些角整体计算. 探究点三：三角形外角和 证法一：利用三角形内角和及其推论. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 探究点三：三角形外角和 证法二：利用三角形内角和及平角的定义. 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°. 你还有其他解法吗？ 探究点三：三角形外角和 三角形外角和： 三角形的外角和等于_____. 例如：∠FAE + ∠ECD + ∠DBF = 360°. 360° 探究点三：三角形外角和 性质 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和 定义 三角形的一边与另外一边的______所组成的角 延长线 三角形外角和 三角形的外角和等于_____ 360° 不相邻 1. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝40°， 则∠ ACD 的度数为（　C　） A. 30° B. 40° C. 70° D. 110° 第1题图 C 2. 将一副直角三角板按如图所示方式叠放在一起， 则∠α的度数是（　C　） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 第2题图 C 第4题图 3. 如图，用“＞”表示∠1，∠2，∠3的大小关系是 ⁠. ∠3＞∠2＞∠1　 4. 如图，∠ A ＝28°，∠ B ＝∠ C ＝32°，则 ∠ BFC 的度数是 ⁠. 92°　 5.如图，D 是△ABC 的 AC 边上一点，∠A =∠ABD，∠BDC = 150°，∠ABC = 85°. 求：(1)∠A 的度数；(2)∠C 的度数. 解：(1) ∵∠BDC 是∠ABD 的外角， ∴∠BDC = + . 又∵∠A =∠ABD，∠BDC = 150°， ∴∠A = . (2) ∵∠A＋∠ABC＋∠C = 180°，∠ABC = 85°， 由 (1) 知∠A = . ∠C = 180°－∠ABC－∠A = . 20° ∠A ∠ABD 75° 75° 6. 一个零件的形状如图所示，按规定∠ A 应等 90°，∠ B ，∠ C 应分别是 21° 和 32°，现测量得 ∠ BDC ＝148°，你认为这个零件合格吗？为什么？ 解：不合格. 理由如下： 延长 CD 与 AB 相交于点 F . ∵∠ DFB ＝∠ C ＋∠ A ＝32°＋90°＝122°， ∴∠ BDC ＝∠ DFB ＋∠ B＝122°＋21°＝143°. ∵实际量得的∠BDC ＝148°，143°≠148°， ∴这个零件不合格. 知识点1 三角形的外角 1.下图中 是三角形的一个外角的是( ) D A. B. C. D. 返回 29 2.如图， 的外角是_______，_______. （第2题） 返回 30 知识点2 三角形外角的性质 3.如图， ， ，则 的度数是( ) A （第3题） A. B. C. D. 返回 31 4.［2025保定期中］某建筑工具是如图所示的人字架， 若 ，则比 大( ) B A. B. C. D. 返回 32 5.如图，若 ，则 的度数为( ) B （第5题） A. B. C. D. 返回 33 6.如图，，点，，在同一直线上，若 ， ，则 的度数是( ) B （第6题） A. B. C. D. 返回 34 7.将一副三角板按如图所示的方式摆放，则 的度数是( ) C （第7题） A. B. C. D. 返回 35 8.如图，在中， ， ，且是 的角 平分线，则____ . 65 （第8题） 返回 36 9.如图，在中，， 平分 的外角.求证： . 证明：由三角形外角的性质，得 . ， . 平分 ， . . 返回 37 知识点3 三角形的外角和 10.［教材例4变式］如图，，，是 的三个 外角， ，则_____ . 230 （第10题） 返回 38 （第11题） 11.［2025廊坊期中］某平板电脑支架的示意图如图所示， 其中， ，为了使用的舒适性，可调整 的大小.若增大 ，则 的变化情况是 ( ) D A.增大 B.减小 C.增大 D.减小 返回 39 12.如图，是上一点，是上一点，， 相交于 点， ， ， ，则 的大小是( ) D A. B. C. D. 返回 40 （第13题） 13.如图，点在轴上，点在轴上， 的平分 线交的外角的平分线于点，则 的度 数是( ) B A. B. C. D. 返回 41 14.如图，在三角形纸片中， ，若按图中虚线将 剪去， 则_____ . 215 （第14题） 返回 42 （第15题） 15. ［2025廊坊广阳区月考］ 某零件 的形状如图所示，按规定，， 分别等于 ， 和 时该零件才合格.王师傅量得 ，现有如下结论： 结论Ⅰ：该零件不合格； 结论Ⅱ：已知 ，当与的度数分别减少 时， 的 度数会减少 . 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是( ) A A.只有Ⅰ正确 B.只有Ⅱ正确 C.Ⅰ，Ⅱ都正确 D.Ⅰ，Ⅱ都不正确 返回 43 16.［2025唐山期末］如图，已知点是射线上一动点（不与点 重 合）， ，若是钝角三角形，则 的取值范围是______ ___________________________. 或 （第16题） 返回 44 17.［教材习题变式］如图，是的外角 的平分线， 且交的延长线于点 . 45 （1）若 ， ，求 的度数； 解：平分 ， . ， ， . ， . 46 （2）求证： . 证明：平分 ， . ， ， . 返回 47 18. 如图所示，是 的外 角，的平分线与的平分线交于点 ， 的平分线与的平分线交于点， ， 的平分线与的平分线交于点 ，点 C A. B. C.的值为定值 D. 的值为定值 为延长线上一动点，连接，的平分线与 的平分线交 于点，设 ，下列结论正确的是( ) 返回 48 谢谢观看！ $