第13章 三角形 单元提优卷 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以三角形核心概念为基础，通过生活情境题与分层题型构建“概念-性质-应用”逻辑链，渗透抽象能力与推理意识 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-4题|三角形三边关系判定、高的定义辨析、稳定性应用|从三角形基本要素（边、高）到性质（稳定性）的概念生成| |性质应用|5-16题|内角和与外角性质、折叠问题角度转化、角平分线模型|性质推导（内角和→外角）到多情境应用（方向角、运动问题）| |综合探究|17-22题|面积转换法、重心性质探究、四边形中三角形综合|知识迁移（三角形→四边形）与模型构建（角平分线+平行线）|

第13章三角形提优卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．下列长度的三条线段首尾顺次相接能组成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，3，7 C．5，6，13 D．8，8，10 2．如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 3．2025年12月28日在广东省惠州市举办了一场以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题的马拉松比赛．赛道旁设置了字形广告展板（如图），以便在户外大风天气中保持展板稳定，这样设计的原理主要是利用了（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形的稳定性 4．把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 5．如图，一轮船在海上往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东，在处测得灯塔位于北偏东，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，小明在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么A，B间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．云南省教育厅发布《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》，明确要求全省中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，旨在提升学生体质健康水平．学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压腿动作，该动作中人体一侧腿部与地面垂直，并对另一侧腿部进行压伸，其姿态可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是________． 12．在直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角等于________． 13．如图，的和的角平分线和相交于点O，，则____度． 14．如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 15．如图，，的延长线经过点，交于，，，，则_______． 16．如图，在中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知，，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若，则______． 三、解答题 17．已知的三边长分别为，化简：． 18．如图，在中，，，，交于点D，是的角平分线，求，的度数． 19．如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 20．如图，，点，分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)【初步探究】当，求； (2)【得出结论】当，在射线，上任意移动时（不与点重合），的大小是否变化？若不变化，直接写出的大小，若变化，请说明理由． 21．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 22．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第13章三角形提优卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C B A A A C A 1．D 【分析】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各选项是否满足条件． 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，不能组成三角形； C．，不能组成三角形； D．，能组成三角形； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的高的定义对各选项分析判断求解． 【详解】解：于点， ∴是边上的高，故A不符合题意； ∵于点E， ∴线段是边上的高，故 D符合题意； 线段不是任何边上的高，故B，C不符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：展板和地面构成三角形，这样设计的原理主要是利用了三角形的稳定性． 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上． 【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上， 薄板状物体的重心位置在直线上． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义得出、的度数，结合三角形内角和，求出的度数即可． 【详解】解：由方向角的定义可知， ∴，， ∴， 故选B． 6．A 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得， 即， ∴， ∴A，B间的距离不可能是． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理及其外角性质．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 9．C 【分析】本题考查三角形外角的性质，通过构造辅助线(延长线段)，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”这一性质，逐步推导角度关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点． ∵在中，是外角， ∴． ∵在中，是外角， ∴． 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和计算即可得出结果，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：由三角形外角的定义及性质可得：， ∵， ∴， 故选：A． 11．三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12． 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余计算即可． 【详解】解：∵直角三角形中两锐角互余，一个锐角为， ∴另一个锐角． 故答案为：． 13．120 【分析】本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理．根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的角平分线和相交于点O， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120 14．13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线得出等腰三角形，将的周长转化为． 由角平分线和平行线的性质得、，从而、；的周长可转化为，结合周长和AB的长度求出． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， 的周长为20， ， ， ． 故答案为：13． 15．/75度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质求出，根据平角定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， 又∵， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用含和的代数式表示出来，从而求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． 设，，则， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17． 【分析】根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】的边长为，，， ，， ． 18．， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质及角平分线的定义，属于基础问题． 由，得，由是的角平分线，则可求得的度数，由及三角形内角和可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(1) (2) 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，三角形面积公式．本题的关键应用三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角的性质，三角形面积公式． （1）由三角形的外角性质计算出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出的度数为； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 20．(1) (2)不变； 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余和邻补角的定义得，，由角平分线的定义得，，最后根据三角形外角的性质得； （2）根据角平分线的定义及三角形外角的性质得，，． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）不变，理由如下： ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角两锐角互余，邻补角的定义，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的定义及性质是解题的关键． 21．(1) (2) (3) ，理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）略 22．(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等 (3)；； 【分析】本题考查了三角形中线平分面积，理解题意是解决本题的关键． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断，面积相等，，面积相等，，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离， ∴两个三角形等底同高， ∴面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ∴． （3）解：由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $