第十三章三角形培优提升专题 训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形核心元素为脉络，通过专题分类整合线段、角、角平分线等知识，提炼几何直观与推理方法，实现从基础到综合的逻辑进阶。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |与三角形有关的线段|7题|三边关系应用、面积法证明、重心性质|从边的计算到高、中线性质，构建线段关系认知链| |与三角形有关的角|5题|外角性质、角平分线模型、“8字形”转化|以内角和为基础，拓展外角与角平分线综合应用| |角平分线的综合运用|3题|内外角平分线分类讨论、角度推导公式化|深化角平分线性质，关联三角形内外角关系| |教材难题生长题|2题|教材母题变式、四边形角度转化|从教材基础题拓展至跨图形综合，培养模型观念| |全国视野培优特训|5题|三等分线、动态旋转、多角和计算|整合全国考法，提升空间观念与创新意识|

第13章 三角形 培优提升专题1 与三角形有关的线段 类型1 利用三边关系进行计算 1.已知一个三角形的三边长分别为1，a-1，3，请化简|a-3|+|a-5|. 2.已知一个三角形的周长为36，其中一条边长是最小边长的2倍，求最小边长m的取值范围. 类型2 与三角形的高有关的计算与证明 3.如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,点 D 沿BC 自B向C运动(点 D 与点 B,C不重合),作BE⊥AD 于E,CF⊥AD于F,则BE+CF 的值( ) A.不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先变大再变小 4.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,D 是 BC 边上的任意一点,且DE⊥AB,DF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E,F,H,求证:DE+DF=CH. 类型3 利用三角形中线的性质进行计算 5.(2026抚顺期末)如图所示的网格是由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上,则△ABC 的重心是( ) A.点 D B.点 E C.点 F D.点 G 6.(2026 泸州期末)如图,△ABC 三边的中线AD,BE,CF相交于点G，若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是 . 7.综合探究. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D 在AC上. (1)若D为AC 的中点, ①已知AB=10,BD =6,△BCD 的周长为19,求BC的长； ②已知BD 把△ABC 的周长分成24 和30 两部分,求△ABC三边的长； (2)若D为AC上一点,说明. 培优提升专题2 与三角形有关的角 1.(2026 河南期末)如图,在△ABC中,BD 是AC 边上的高,∠A =70°,CE 平分∠ACB 交 BD 于点 E,∠BEC=118°,求∠ABC 的度数. 2.如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D,DE⊥BC 于点E,∠BDE-∠DCE=n°. (1)若n=30,求∠A 的度数; (2)试用含n的式子表示∠A. 3. (2026 浙江期末)如图,将△ABC沿DE,EF 翻折,顶点A，B均落在点O 处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+ ∠CFO=100°,则∠C的度数为( ) A.40° B.41° C.42° D.43° 4.(2026茂名模拟)如图是可调躺椅示意图(数据如图)，∠A，∠B，∠E 保持不变.为了舒适,需调整∠D 的大小,使∠EFD=110°,则图中∠D 应 (填“增加”或“减少”) 度. 5.综合与实践. 【问题情境】如图1，线段AD 与 BC 相交于点 O，连接AB，CD，我们把这样的图形称为“8字形”.数学课上，老师安排同学们在草稿纸上画出任意一个“8字形”，并探索其中相关角度的数量关系. 【实践证明】(1)求证:∠A+∠B=∠C+∠D; 【深入探究】(2)如图2,AP,CP 分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,则∠P 的度数为 ; 【拓展延伸】(3)如图3,AP 平分∠BAD,CP 平分∠BCD的补角∠BCE,猜想∠P 与∠B,∠D 的数量关系并证明. 培优提升专题3 角平分线的综合运用 1. (1)如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,P 为线段AD上的一点,PE⊥AD 于点 P,交直线 BC 于点 E,当∠B=50°, ∠BCA=70°时,∠PED= 度; (2)如图2,AD平分∠BAC 的外角,其余条件不变,PE 交直线AB,AC于点 F,G,若∠B=α,∠BCA =β,求∠PED 的度数(用含有α，β的式子表示). 2.(1)如图1,在△ABC中,AD,AE 分别是△ABC 的高和角平分线,若∠B =20°,∠C =60°,求∠DAE 的度数； (2)如图2,已知AF平分∠BAC,交边BC 于点E,过点F作FD⊥BC 于点D,∠B=x°,∠C=(x+30)°. ①∠CAE= (用含x的式子表示); ②求∠F 的度数. 3.(2026 郑州模拟)小聪对内外角平分线的问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1,若∠MON=90°,点A,B 分别在OM,ON上运动(不与点O 重合),BC是∠ABN的平分线，BC 的反向延长线交∠BAO 的平分线于点D,则∠D= °; (2)【问题推广】①如图2,若∠MON=50°,(1)中的其余条件不变,则∠D= ∠MON=25°; ②如图2,∠MON=α(0°<α<180°),点 A,B 分别在OM,ON上运动(不与点 O 重合),点 E 是OB 上一动点,BC 是∠ABN 的平分线,AE 是∠OAB 的平分线，试探索∠D 和∠O 的数量关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图3，若 试探索∠D 和∠O 的数量关系(用含 m的代数式表示)，并说明理由. 培优提升专题4 教材难题生长题 近年广东中考省卷中，压轴大题大多由教材的课后难题整合演变而来，因此，我们在平时的 扫码批改+错题本练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特精选人教版教材中的难题进行解析，并拓展生长出新题，帮助学生更好地掌握难题和提升思维. 教材难题 【例】(人教8上P17 拓广探索)(几何直观、推理能力、模型观念、创新意识)如图，CE是△ABC 的外角∠ACD的平分线,且CE交BA 的延长线于点 E,求证:∠BAC=∠B+2∠E. 解题思路:利用三角形的外角性质可得∠ECD=∠E+∠B,∠BAC=∠E+∠ACE,进而得出结论. 难题生长 1.如图,在四边形ABCD中,设∠A=α,∠D=β,∠P为四边形ABCD 的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线相交而形成的锐角，求∠P 的度数(用含α，β的代数式表示). 2.如图,在△ABC中,∠ABC 和∠ACB的平分线BE,CD相交于点 G. CM是△BGC 的外角∠GCN的平分线,且CM交BG的延长线于点M.若∠M=54°,∠ACD=28°,求∠A,∠ABC 的度数. 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.(2026 南昌月考)如图,在△ABC 中,∠A =72°,∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点 O₁,O₂. (1)∠BO₁C 的度数为 ; (2)连接 求∠BO₂O₁的度数. 2.(2026 淮南期中)如图,BE,CF 分别是∠ABD,∠ACD 的平分线，并相交于点 G. (1)若∠BDC=152°,∠BGC=104°,求∠A 的度数; (2)若∠A=54°,∠BGC=110°,则∠BDC= . 3.(2026上海期末)综合与实践. 实践思想：“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化成具体的问题. 操作1：将如图1 所示的星形截去一个角，得到如图2所示的星形图； 操作2：将如图2所示的星形进一步截去4个角，得到如图3所示的星形图. 问题解决:(1)求图1中∠A +∠B +∠C+∠D +∠E 的度数; (2)求图2中∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； (3)你能由(1)(2)中所得的方法或规律，求出图3中的∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G+ 的度数吗? 4.(2026成都期末)综合探究. 如图1,在△ABC中,∠BAC =66°,三个内角的平分线交于点 O,△ABC 的外角∠ACE 的平分线交 BO的延长线于点 F. 【问题初探】(1)∠OCF 的度数为 ,∠F 的度数为 ； 【问题再探】(2)如图2,过点 O 作∠ODB =∠AOB.(可直接使用问题(1)中的结论) ①求∠BOD 的度数; ②试判断线段 OD 和 CF 之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】(3)若∠ABC =α,将△OCD 绕点 C 按顺时针方向旋转一定角度β(0°<β<360°)后得到△O'CD',当CD'所在直线与 BF 平行时,请求出此时旋转角度β与α之间的关系. 5.(2026 广州期中)综合运用. 已知P为第四象限一动点，Q为x轴负半轴上一动点，R在PQ下方且为y轴负半轴上一动点. (1)如图1,若P(2,-1),Q(-3,0),R(0,-5),求S△PQR; (2)如图2,若 RM,QM 分别平分∠PRO,∠PQO,在P，Q，R的运动过程中，∠P，∠M 是否存在确定的数量关系?若存在，请求出这个数量关系；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若将 R 点改为y轴正半轴上一动点，在P,Q及(2)中的条件不变的前提下，∠P，∠M 又有何数量关系? 培优提升专题1 与三角形有关的线段 1.解:由三角形三边关系定理得3-1<a-1<3+1,解得3<a<5. ∴|a-3|+|a-5|=a-3+5-a=2. 2.解：依题意知，最小边长为m，则另一条边长为2m，第三条边长为36-3m,故有 解得6<m<9. 故最小边m的取值范围是6<m<9. 3. C 4.证明:如图,连接AD, ∵DE⊥AB,DF⊥AC,CH⊥AB, ∵AB=AC, ∴DE+DF=CH. 5. A 6.4 7.解:(1)①∵AB=AC,AB=10,D为AC的中点, ∴AC=10,AD=DC=5, 又∵BD=6,△BCD的周长为19,∴BC=19-6-5=8. ②设△ABC的腰AB=AC=x, 若AB+AD=24,则 ∴x=16, ∵△ABC的周长为24+30=54,∴三边长分别为16,16,22;若AB+AD=30,则 ∴x=20, ∵△ABC的周长为24+30=54,∴三边长分别为20,20,14.因此,△ABC的三边长为16,16,22或20,20,14. (2)∵AC=AD+CD,AB=AC, ∴2AC=AB+AD+CD>BD+DC,. 培优提升专题2 与三角形有关的角 1.解:∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°, ∵∠BEC=∠BDC+∠DCE,且∠BEC=118°, ∴∠DCE=∠BEC-∠BDC=28°, ∵CE平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=56°, ∵∠A=70°,∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=54°. 2.解:(1)∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D, ∴设∠ABD=∠CBD=x,∠ACD=∠BCD=y, ∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°, ∴∠BDE=90°-∠CBD=90°-x, ∵∠BDE-∠DCE=n°, 当n=30时,x+y=60°, ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2(x+y)=60°. (2)由(1)可知x+y=90°-n°, ∴∠A =180°-∠ABC-∠ACB =180°-2(x+y) =180°-2(90°-n°)=2n°. 3. A 4.减少 10 5.(1)证明:∵∠A +∠B+∠AOB =180°,∠C+∠D +∠COD=180°, ∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD, ∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D. (2)26° (3)解: 证明如下： ∵AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的补角∠BCE, ∴∠PAB=∠PAD,∠PCB=∠PCE, ∵2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D, ∴180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B,① ∵∠P+∠PAD=∠PCB+∠AOC=∠PCB+∠B+2∠PAD, ∴∠P=∠PAD+∠B+∠PCB=∠PAB+∠B+∠PCB, ∴∠PAB+∠PCB=∠P-∠B,② 将②代入①得： 即 培优提升专题3 角平分线的综合运用 1.解:(1)10 (2)∵∠B=α,∠BCA=β,∴∠CAF=α+β, ∵AD平分∠BAC的外角, ∵∠ACB=∠D+∠DAC, 2.解:(1)∵∠B=20°,∠C=60°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°. ∵AE是△ABC的角平分线, ∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°, 在Rt△ADC中,∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°, ∴ ∠DAE=∠CAE-∠CAD=20°. (2)①(75-x)° ②∵AF平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE=(75-x)°, ∴∠BEF=∠BAE+∠B=(75-x)°+x°=75°, ∵FD⊥BC,∴∠F=90°-∠FED=90°-75°=15°. 3.解:(1)45 (2)① 理由如下： ∵BC平分∠ABN,AD平分∠OAB, ∵∠ABN=∠O+∠BAO, ∴∠ABN-∠BAO=∠O=∠MON=α, 理由如下： ∴∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO, ∵∠ABN-∠BAO=∠O,..∠D=∠O. 培优提升专题4 教材难题生长题 教材难题 【例】证明:∵CE 是△ABC的外角∠ACD 的平分线, ∴∠ACE=∠ECD, ∵∠ECD=∠E+∠B,∠BAC=∠E+∠ACE, ∴∠BAC=∠E+∠ECD=∠E+∠E+∠B=∠B+2∠E. 难题生长 1.解：如图，延长BA交CD的延长线于 F. =180°-(180°-α)-(180°-β)=α+β-180°, 由题意易得 2.解:∵∠ABC和. 的平分线 BE,CD相交于点 G,∠ACD=28°, ∴∠A+∠ABC=180°-∠ACB=124°,① 由题意得∠BGC =∠M+∠MCG=∠M +∠MCN =∠M +∠MBC+∠M=∠MBC+2∠M, ∵∠M=54°, 由题意易得 ∴ ∠A-∠ABC=36°,② ①+②,得2∠A=160°, ∴ ∠A=80°, ∴∠ABC=44°. 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.解:(1)144° (2)∵∠ABC,∠ACB的三等分线交于点O₁,O₂, BO₁平分∠O₂BC,CO₁平分∠O₂CB, 平分 2.解:(1)连接BC. ∴∠DBC+∠DCB=28°, ∴∠GBC+∠GCB=∠GBD+∠GCD+28°=76°, ∵BE ,CF分别是∠ABD,∠ACD 的平分线, ∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=96°, ∴∠ABC+∠ACB=(∠ABD+∠ACD)+(∠DBC+∠DCB)=96°+28°=124°, ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠A=56°. (2)166° 3.解:(1)如图1,∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D,∠1+ (2)如图2,∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+∠A+∠C+∠D=360°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F=∠A+∠C+∠D+∠1=360°. (3)根据(1)(2)可得出规律：每截去一个角则会增加180°，所以当截去5个角时增加了180×5=900°, 则 4.解:(1)90°33° (2)①∵∠ODB=∠AOB,BO,AO 分别平分∠ABC,∠BAC, ∴∠ABO=∠OBD, ②OD∥CF,理由如下: ∵∠F=33°,∠BOD=33°,∴∠F=∠BOD, ∴OD∥CF. (3)已知∠ABC=α,将△OCD 绕点C按顺时针方向旋转一定角度β(0°<β<360°)后得到△O'CD',且CD'∥BF,∠FBC= 当β=∠DCD'时,此时 则 180°,即 当β=360°-∠DCD'时,此时∠D'CE=180°-∠FBC=180° 则 即 综上所述，,β=180°-或 5.解:(1)如图1,过点P作PA⊥x轴,交x轴于点A, ∴PA=1,QA=5,OA=2,OQ=3,OR=5, (2)存在. 如图2，设QP与y轴交于点 C， ∵QM,RM 分别平分∠PQO,∠PRO, ∵∠1+∠M=∠2+∠P,① 即2∠1+90°=2∠2+∠P,② ∴②-①×2得90°-2∠M=-∠P,∴2∠M-∠P=90°. (3)如图3,∵RM,QM 分别平分∠PRO,∠PQO,∴∠1=∠2,∠3=∠4, 易得到∠M=∠2+∠4+∠P,① 在四边形ROQM中,易得到∠1+∠3+∠M+270°=360°,即∠1+∠3=90°-∠M,∴∠2+∠4=90°-∠M,② 将②代入①,得∠M=90°-∠M+∠P, ∴2∠M-∠P=90°. 1 学科网（北京）股份有限公司 $