第13章 三角形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

答亲6D详解 第十三章三角形 .AD⊥BC,∴.∠DAE=90°-∠AED=10° 例B[解析]根据三角形的三边关系，得A1+ (2)①如图(1)，当∠FMC=90°时，则∠BFM=90°- ∠FBC=60°； 2=3,不能构成三角形；B.3+4>5,能构成三角形； C.4+5<10,不能构成三角形；D.2+6<9,不能构成 三角形.故选B. 例2C[解析]根据三角形三边关系，得7一5< DE M D(M x<7+5,解得2<x<12, (1) (2) 观察四个选项，选项C符合题意.故选C. ②如图(2)，当∠MFC=90°时，则∠FMC=90°一 例3A[解析]：AD是△ABC的中线， ∠C=50°， ..BD=CD. .∴.∠BFM=∠FMC-∠FBC=20°. .AB=BD,∴.AB=CD,故①正确； 综上，∠BFM的度数为20°或60°. .BE,CF分别是△ABC的高和角平分线， 巩固特训 ∴.∠AEB=∠BEC=90°，∠ACB=2∠ACF=2∠FCB, 1.C[解析]①当△ABD的周长大于△ADC的周 .∠ABE+∠BAC=90°. 长时，由条件可知，BD=CD, .∠ABC=90°， ∴.△ABD与△ADC周长的差=(AB+AD+ ∴.∠ACB+∠BAC=90°， BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC, ∴.∠ABE=∠ACB=2∠FCB,故③正确； .AB-8=5,解得AB=13; ,∠ABC=90°，∠BEC=90°， ②当△ADC的周长大于△ABD的周长时， ∴.∠BFC+∠FCB=90°，∠ECF+∠EHC=90°. AD为边BC的中线，.BD=CD, ,∠BCF=∠ECF, ∴.△ADC与△ABD周长的差=(AC+AD+CD)一 .∠BFH=∠CHE. (AB+AD+BD)=AC-AB, .∠CHE=∠BHF, ∴.8-AB=5,解得AB=3. ∴.∠BFH=∠BHF,故④正确； 综上，AB=3或13.故选C 条件不足，无法得到FG=GC,故②错误 2.104°或135或45°[解析]∠A=62°，∠B=90°， 故选A. ∴.∠C=180°-（∠A+∠B)=28°， 例4C[解析]由题意可知，∠ACB=90°，∠A= 由折叠的性质得∠CED=∠FED,∠CDE= 45°，∠D=30°， ∠FDE,∠F=∠C=28°， .∠ABC=180°-∠ACB-∠A=45°. ∴.∠CEF=2∠CED,∠CDF=2∠CDE, ,∠DBE=∠ABC=45°， 当EF与△ABC的一边平行，有以下两种情况： .∠a=∠DBE+∠D=45°+30°=75. ①当EF∥AC时（如图(1）)，∠FEB=∠C=28°， 故选C. 例5(1)：BF平分∠ABC,且∠FBC=30°， ∴.∠ABC=2∠FBC=60°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80°. C .AE平分∠BAC, (1) ÷∠BAE=∠CAE-2∠BAC=40, ∴.∠CEF=180°-∠FEB=152°， .2∠CED=152° ∴.∠AED=∠CAE+∠C=80°. .∠CED=76°， ，42 .∠DEB=180°-∠CED=180°-76°=104°； 则∠OAC+∠AC0=3∠AC0=180°- ②当EF∥AB时，又有两种情况： ∠AOB=120°， (1)点F在BC上方时（如图(2）)， ∴.∠ACO=40°，∠OAC=80°， ∴.∠ACB=180°-∠AC0=140°； ④当∠ACO是∠OAC的2倍时， 则∠OAC+∠AC0=3∠OAC=180°- ∠AOB=120°， (2) ∴.∠OAC=40°，∠AC0=80°， .∠B=90°，EFAB, .∠ACB=180°-∠AC0=100°， ∴.∠CEF=∠B=90°， 综上，∠ACB的度数为90°或100或140° .2∠CED=90°. a+26=12, a=2, .∠CED=45°， 4. 2a-b=-1, 解得 b=5, ∴.∠DEB=180°-∠CED=180°-45°=135°； ∴.根据三角形的三边关系，得5一2<c<2+5,即 (ⅱ)当点F在BC下方时（如图(3）)， 3<c<7. c为偶数， c=4或6. 当c=4时，三角形的三边长为2,5,4,2+4>5，能 构成三角形； (3) 当c=6时，三角形的三边长为2,5,6,2+5>6，能 设∠DEB=a: 构成三角形， ∠B=90°，EF∥AB, .这个三角形的周长为2+5十4=11或2+5十 ∴.∠FEB=∠CEF=∠B=90°， 6=13. ∴.∠FED=∠DEB+∠FEB=a+90°， 举反白 .∠CED=∠FED=a十90° 1.45°[解析]如图，由题意，得PB,P2A垂直 ∠CED+∠DEB=180°. 于OA. ∴.a+90°+a=180°， 解得a=45°. .∠DEB=45°. 综上所述，符合题意的∠DEB的度数是104°或 0 80 135°或45°. 3.90°或100°或140°[解析].∠MON=60°， 起重机 AB⊥OM,∴.∠OAB=90°， (第1题) ∴∠ABC=30°. 在Rt△OAP2中，∠AP2O=80°， ①当∠AOC是∠OAC的2倍时， 则∠OAC=30°， ∴∠AOP2=90°-80°=10°， .∠ACO=180°-∠AOC-∠OAC=90°， 在Rt△OBP1中，∠BP1O=35°， ∴.∠ACB=180°-∠ACO=90°； .∠B0P1=90°-35°=55°， ②当∠AOC是∠ACO的2倍时，∠ACO=30°，则 ∴.∠P1OP2=∠P1OA-∠P2OA=55°-10 此时点C与点B重合，不符合题意； =45°， ③当∠OAC是∠ACO的2倍时， 即吊杆前后两次的夹角∠P1OP2的度数为45°， 43 思路引得先构造直角三角形，再利用三角形的 .∠EDF=∠CFO-45°. 内角和定理及角的和差关系求解即可， .∠CFO-∠GED=45°， ∴.∠GED=∠CFO-45°， 2.(1)①85°[解析]如图(1)，过点P作PQ∥AB. ∴∠EDF=∠GED, .AB/CD,.AB∥PQ/CD, ∴.∠B=∠BPQ,∠D=∠DPQ, ..GE//DO. ∴.∠BPD=∠B+∠D=55°+30°=85°. (3)分情况讨论：①当∠M=4∠N时， B ,CM⊥CN,∠MCN=90°， 6 ∴.∠M+∠N=90°， C0 E D ∠N=号×90=18 (1) (2) (3) ②∠B=∠BPD+∠D[解析]如图(2). “Zc0M=2×90=45, AB∥CD,∠B=∠BQD ∴.∠NCO=∠COM-∠N=27°. 又∠BQD=∠D+∠BPD, .CE平分∠DCO, ∴∠B=∠BPD+∠D. .∠DC0=2∠NC0=54°， ③∠BPD=∠BQD十∠B十∠D.理由如下： .∠CD0=180°-90°-54°=36°. 如图(3)，延长BP交CD于点E. .DE平分∠CDO, ,∠BPD=∠D+∠BED,∠BED=∠B+ ∠BQD, ∴∠CDE-∠CD0-18, ∴.∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. ②当∠MCN=4∠N=90时， (2)180°[解析]如图(4)，设 ∴.∠N=22.5° AC,CE分别与BD交于点 M,N. :∠00M-号x90°=45， ∠CMN=∠A+∠D, ∴.∠NC0=∠COM-∠N=22.5°. ∠CNM=∠B+∠E, .CE平分∠DCO, (4) ∠CMN+∠CNM+∠C= (第2题) ∴.∠DCO=2∠NCO=45°， 180°，.∠A+∠B+∠C+ .∠CD0=180°-90°-45°=45°. ∠D+∠E=180°. .DE平分∠CDO, 3.(1)135°[解析].∠AOB=90°，∠OCD=-40°， ∴∠CDE-号∠CD0-2.5, ∴.∠CD0=90°-∠OCD=90°-40°=50°. ③当∠MCN=4∠M=90时，则∠M=22.5°， .'CE平分∠DCO,DE平分∠CDO,∴.∠DCE= .∠N=180°-90°-22.5°=67.5°. 3∠D00=20,∠CDE=3∠CD0=25, .MN是∠COD的外角平分线所在直线， .∠CED=180°-∠DCE-∠CDE=180°- ∠coM-2x90°=45， 20°-25°=135°. ∴.∠NCO=∠COM-∠N=-22.5°，不符合题 (2).CE平分∠DCO,DE平分∠CDO, 意，舍去； :∠DCE=3∠DCO,∠CDE=∠EDF- ④当∠N=4∠M时，同理可得∠M=18°，则 2∠CD0,∠DC0+∠CD0=90, ∠N=72°， 同理可得此时∠NCO=∠COM-∠N=一27°，不 ∴.∠DCE+∠CDE=45°. 符合题意，舍去 ,'∠CFO=∠DCF+∠CDO=∠EDF+45°， 综上，∠CDE的度数为22.5或18. 44第十三章 三角形 知识梳理导图 三角形两边的和大于第三 三角形 边，两边的差小于第三边。 三条边 三角形的三个内 的内角 三个内角概念 9角的和等于180° 三个顶点 三角形的外角等于与它 直角三角形 与三角形 三角形 不相邻的两个内角的和 锐角三角形按角 有关的角 的外角 三角形的外角大于与它 钝角三角形 不相邻的任意一个内角 三边都不相等的三角形 分类 底边和腰不相等 按边 稳 形 质。 直角三角形的两个锐角互余 的等腰三角形 定 直三 等边三角形。 等腰三角形 性 三角形 角 判有两个角互余的三角形 三条高（或高所在的 形 高 定。是直角三角形 直线)相交于一点 将三角形的内角分 平分对边，分得的两个 成两个相等的角 三角形的三 三角形面积相等 条重要线段 角平分线 三条角平分线相交于 三角形三条中线的交点 中线 三角形内部一点 叫作三角形的重心 重难疑点解法 分上分点个三角形的三边关系 能是( ). 例①(2025·湖南长沙望城区期末)下列长度的三 A.1 B.2 C.8 D.12 条线段能首尾相接构成三角形的是( 名师启发 根据三角形三边关系列式求解 A.1 cm,2 cm,3 cm 即可 B.3 cm,4 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm 归纳总结 D.6 cm,9 cm,2 cm 设三角形的两边长为a,b(a>b),则第三边的 名师启发利用三角形的三边关系来进行 长x的取值范围为a一b<x<a十b. 判断. 分上分点2三角形三条重要线段 关键提醒 解答本题只需要计算较小两边的和是不是大 例3如图，AD,BE,CF分别是△ABC的中 于第三边即可. 线、高和角平分线，∠ABC=90°，CF交AD于点G, 交BE于点H,AB=BD.下列结论：①AB=CD; 例2(2025·河南新乡获嘉期末)一个三角形的两 ②FG=GC；③∠ABE=2∠FCB;④∠BFH= 边长分别为7和5，若第三条边的长为x,则x的值可∠BHF.其中一定正确的是(). 1 实验班提优训练数学八年级上MJY 例5如图，AD为△ABC的高，AE,BF为 △ABC的角平分线，若∠FBC=30°，∠C=40°. D A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ 名师启发根据中线的定义判断①；根据角 DE 平分线的定义以及同角的余角相等判断③；根据 (1)求∠DAE的度数； 等角的余角相等以及对顶角相等判断④，即可得 (2)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC 出结论 方法技巧 为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数 本题主要考查了三角形中线、角平分线及高的定 名师启发(1)由角平分线求得∠ABC=60°， 义，结合相关知识灵活运用定义进行角度和线段长度 由三角形内角和定理可求得∠BAC,再由角平分线求 的推算是解答此题的关键 得∠CAE=40°，最后利用高即可求解； (2)分两种情况：①当∠FMC=90°时；②当 分上分点3三角形的内角及外角 ∠MFC=90°时.利用直角三角形的性质与三角形外 例④(2025·北京海淀区模拟)将一副直角三角尺 角的性质即可求解。 按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直 角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠a 的度数是(). 45 130o D a E A.45° B.60° C.75 D.80° 名师启发先由三角形的内角和定理得 ∠DBE=∠ABC=45°，然后根据三角形外角的性质 可得∠a=∠DBE+∠D,即可求解. 方法技巧 妙归纳总结 本题主要考查了三角形的内角和定理及三角 本题考查了与角平分线有关的三角形内角和 形外角的性质等知识，解题的关键是能得到∠α= 直角三角形的性质及三角形外角的性质，掌握三角 ∠DBE+∠D. 形的内角和定理是解题的关键 易错易混辨析 )易错点]忽视分类讨论造成漏解 度数为( A.40°或140° B.50°或130° 例1(2025·山东菏泽期中)在△ABC中，∠A= C.40° D.50° 40°，高BD和高CE所在直线交于点O,则∠BOC的 2 第十三章 解析根据题意，分两种情况： 当△ABC是锐角三角形时，如图(1)， C (第2题) 3.(2025·江西南昌期中)如图，已知∠MON=60°，在射 线OM上取一点A,过点A作AB⊥OM交ON于 (1) 点B,以A为端点画射线交线段OB于点C(点C .BD和CE是△ABC的高， 不与点O、点B重合).若△AOC中有一个内角度 ∴.∠AEC=∠ODC=90°， 数是另一个内角度数的2倍，则∠ACB的度数是 .∠ACE=90°-∠A=50°， ∴.∠BOC=∠ODC+∠ACE=140°； 当△ABC是钝角三角形时，如图(2)， -N (第3题) 忽视三角形的三边关系造成多 )易错点2 解或错解 (2) 例2已知在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边 在△ACE和△OCD中，∠AEC=∠ODC 分别为a,b,c. =90°，∠ACE=∠OCD, (1)化简代数式：a十b-c|+|b-a一c=; .∠BOC=∠A=40°. (2)若AB=AC,边AC上的中线BD把三角形 综上所述，∠B0C的大小为40°或140°. 的周长分为10和18两部分，求腰长AB. 答案A 解答(1)2a 舞析伯纳 (2)画出图形如下： 解答本题的关键是进行分类讨论：①当 :△ABC是锐角三角形时；②当△ABC是钝角三角 Db 形时.切勿漏解。 B 巩固特训 由题意可知，BC=a,AC=b,AB=c. 1.(2025·安徽淮北一中期中)在△ABC中，AD为边 .AB=AC,∴.b=c. BC的中线，若△ABD与△ADC的周长相差5， ,BD是边AC上的中线，且AC=b, AC=8,则AB的长为(). 1 1 A.2 B.13 :.AD-CD-26-2 C.3或13 D.2或12 .分以下两种情况： 2.(2026·江西抚州期末)如图，在△ABC中，∠A= (AB+AD=10, ①当 时， 62°，∠B=90°，D是边AC上的定点，E是边CB BC+CD=18 上的动点，沿DE折叠△CDE,点C落在点F处. c+ =10, 44 3 当EF与△ABC的一边平行时，∠DEB的度 即 解得 数是 a+=1 20 c= 3 3 实验班提优训练数学八年级上MJY 此时△ABC的三边长分别为号，号，9，不满足 巩固特训 三角形的三边关系定理，舍去； 4.(2026·广东汕头潮阳区期中)已知a,b,c是△ABC ②当AB+AD=18, (a+2b=12, ， 的三边长.若a,b满足方程组 BC+CD=10 2a-b=-1, 且c为偶数，求这个三角形的周长， c=12, 即 解得 a+2=10, C a=4, 此时△ABC的三边长分别为4,12,12，满足三角 形的三边关系定理. 综上，腰长AB为12. 辨析伯纳 解答此类题目需要考虑全面，在分类讨论的同 时还要考虑各种情况是否符合实际情况或基本事 !实，如三角形的两边之和大于第三边、两边之差小 于第三边等， 素养考向提分 新情境 ∠2=80°， 例①(2025·辽宁沈阳皇姑区期末)如图，要想知道黑 ∴.∠A=180°-∠3-∠4=40°， ∴.直线a,b所夹锐角的度数为40° 板上两直线α，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内， 无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和 答案B 数据如图所示)，则直线a,b所夹锐角的度数为( 心点拨解答本题需要把实际情境问题转化为 数学问题，设直线a,b交于点A,根据∠1= b 120°，∠2=100°，可求出∠3，∠4，最后借助三角 测得∠1=120° 形的内角和定理，即可求解. ∠2=1009 A.30°B.40° C.50°D.60° 举反e 解析如图，设直线a,b在黑板外相交于 1.(2025·河北保定清苑区期末)如图是一台起重机的工 作简图，前后两次吊杆位置OP1,OP2与线绳（线 点A, 绳垂直于地面)的夹角分别是35°和80°，则吊杆前 后两次的夹角∠P,OP2的度数为 34 b 测得∠1=120% 0 ∠2=1009 起重机 .∠1=120°，∠2=100°， .∠3=180°-∠1=60°，∠4=180°- (第1题) 第十三章 新考法 609,若∠CBN-∠CBE,∠BCM-∠BCD,射 例2如图(1)，在△ABC中，外角平分线BN 线BN与CM交于点O,直接写出∠BOC的度数（用 和CN相交于点N. 含a的代数式表示). 求证：∠BNC=90°号∠A. 解析(1)根据三角形外角的性质填空即可； (2)根据三角形外角的性质及已知条件得∠CBN+ 下面是嘉琪的证明过程： 解：，'∠BCD=∠A+∠ABC,∠CBE=∠A十 ∠B0M-是(18r+∠A),再由三角形内角和定率得 ∠ACB(根据① ), ∠BOC=180°-（∠CBN+∠BCMD,即可求解； ∴.∠BCD+∠CBE=2∠A+∠ABC+∠ACB. (3)思路同(2). 又CN平分∠BCD,BN平分∠CBE, 答案(1)三角形的外角等于与它不相邻的两 ∠BCN-2∠BCD,ZCBN-2∠CBE, 个内角的和 (2),在△ABC中，∠A=80°，∠CBE=∠A十 ·∠BCN+∠CBN=2(2∠A+∠ABC+ ∠ACB,∠BCD=∠A+∠ABC, '.∠CBE+∠BCD=∠A+∠ACB+∠A+ ∠ACB)=2(180°+∠A). ∠ABC=2∠A+(180°-∠A)=180°+∠A. 在△CBN中，∠N=180°-（∠BCN+ 8∠BCD, :∠CBN-8∠CBE,∠BCM- ∠CBN)=180-5(180+∠A)-=180-90° ÷∠CBN+∠BCM-(∠CBE+∠BCD) 2∠A=90°-2∠A. 景10+∠A. .∠BOC=180°-（∠CBN+∠BCM)=180°- gu8r+∠A=8×18w-是∠A=125-30 82.5° (3)在△ABC中，∠A=Q,∠CBE=∠A+ ∠ACB,∠BCD=∠A+∠ABC, ∴.∠CBE+∠BCD=∠A+∠ACB+∠A+ ∠ABC=2∠A+(180°-∠A)=180°+∠A. 2 :∠CBN-∠CBE,∠BCM-∠BCD, D :∠CBN+∠BCM=(ZCBE+∠BCD)- 0 M ￥10+∠A. (3) ∴.∠BOC=180°-（∠CBN+∠BCM)=180°- (1)嘉琪的证明中，根据①的内容是 3 (2)嘉琪在完成以上问题的证明后，作了如下变 180+∠A)=4×180°-8 式探究：如图(2)，在△ABC中，∠A=80°，若 ∠CBN-∠CBE,∠BCM-冬∠BCD,射线BN 密透本酒两于双角平分战校型：一报我们技放 平分的两组角分别为x和y,然后结合角平分线 与CM交于点O,求∠BOC的度数； 的性质、“8字”型、“燕尾”型等进行计算，如果是等 (3)如图(3)，在△ABC中，∠A=a(0°<a< 分线，可模仿角平分线的解题方法来解决问题， 5 实验班提优训练数学八年级上MJY 举反9 八 3.(2025·四川成都七中期中)已知∠AOB=90°，直线 2.[问题探究] CD与OA交于点C,与OB交于点D,点C,D均 不与点O重合，CE平分∠DCO,DE平 分∠CDO. (1)如图(1)，当∠OCD=40°时，∠CED的度数 (1) (2) 为 (2)如图(2)，延长CE与BO交于点F,过点E作 射线EG与CD交于点G,且满足∠CFO一 ∠GED=45°.求证：GEDO; (3)如图(3)，过点C作CM⊥CN,MN是∠COD (3) (4) 的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N,与 (第2题) CM交于点M.在△CMN中，如果有一个角的度 (1)①如图(1)，若AB∥CD,点P在AB,CD内 数是另一个角的4倍，请求出∠CDE的度数， 部，∠B=55°，∠D=30°，则∠BPD= B ②如图(2)，若ABCD,点P在AB,CD外部，则 ∠BPD,∠B,∠D之间的数量关系为 (不需证明)； ③如图(3)，写出∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间 (1) (2) 的数量关系。 [变式拓展] (2)如图(4)，五角星ABCDE,请直接写出∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E= (3) (第3题) 6