第25章一元二次方程提优卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 九年级上册人教版第25章一元二次方程提优卷，覆盖方程解法、根的判别式、实际应用等核心知识，通过分层设计与真实情境，培养抽象能力、运算能力和模型意识，适配单元复习提优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|方程根与几何（等腰三角形）、根的判别式、增长率（病毒传播）、黄金分割（文化情境）|结合动态几何（机器人运动）、表格法解方程，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6题|一元二次方程定义、公共根问题、用户增长（AI）、新定义“同族二次方程”|设置新定义问题，培养数学思维的推理意识，关联科技前沿| |解答题|5题|解方程（因式分解/公式法）、利润问题（经济应用）、新定义“邻根方程”|综合考查运算能力与模型意识，通过实际问题（利润）与创新定义，提升数学语言表达能力|

第25章一元二次方程提优卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．方程的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．6或者10 D．8或者10 2．关于x的一元二次方程无实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 4．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像上部高米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 7．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 8．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若关于的方程是一元二次方程，则___________． 12．若是方程的一个根，那么的值是_____． 13．若关于的方程与只有一个公共实数根，则方程的两根之和减去两根之积，结果为______． 14．某人工智能大模型10月份用户数量为亿，12月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，则11月、12月份用户数量的月均增长率为_____． 15．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 16．定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 18．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求m的值． 19．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 20．某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 21．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第25章一元二次方程提优卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A B A C A D D 1．B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 先解一元二次方程得到两根，再分两种情况结合三角形三边关系判断能否构成等腰三角形，最后计算符合条件的三角形周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得或； ①当底边长为2，腰长为4时，三角形三边为4,4,2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴周长为； ②当底边长为4，腰长为2时，三角形三边为2,2,4， ∵，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不能构成三角形，舍去， ∴该等腰三角形的周长为10； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解参数取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数解， 又∵一元二次方程无实数解时，根的判别式， 在方程中，，，， ∴， 即， 移项得， 两边同时除以，不等号方向改变，得， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 5．B 【分析】本题考查了黄金分割的定义．根据黄金分割的比例关系，结合所设未知数列出比例式，再整理为一元二次方程即可． 【详解】解：∵设雕像上部高米，雕像总高为2米 ∴下部高为米 ∵上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比 ∴ 交叉相乘得： 展开右边得： 移项合并同类项得： 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查配方法的几何意义与方程求解，先利用方程的解求出参数的值，再根据几何构造的面积关系求出大正方形的面积． 【详解】解：将方程的正数解代入方程，得， 展开化简：，解得． 根据图2的构造，大正方形的边长为， 代入、，得边长为， 因此大正方形的面积为； 故选：D． 10．D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 11．或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 12． 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将代入方程求解 m即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，设公共实数根为，则满足方程和，则，，得：，化简得，所以或，然后分或两种情况分析，最后由根与系数的关系进行计算即可，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：设公共实数根为，则满足方程和， ∴，， 得：， 化简得： ， ∴或， 当时，代入得， 解得； 当时，两方程均为，有两个公共根，不符合题意， 故， ∴方程，即为， 根据根与系数的关系，两根之和为，两根之积为， ∴两根之和减去两根之积为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．设11月、12月份用户数量的月平均增长率为，根据增长模型列出方程并求解即可． 【详解】解：设月均增长率为， 由题意得：， 解方程得：， 所以（取正值）， 因此， 故答案为：． 15．1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 16．2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 17．(1) (2)． 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 则或， 解得，； （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及方程的根的定义． （1）利用一元二次方程根的判别式，列出关于m的不等式，求解m的取值范围； （2）将代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解该方程得到m的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由题意知，将代入方程中得， 解得，， 经检验，，均满足． 19．(1)1；大；8 (2) ，理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 20．(1)每袋薯片降价5元 (2)不能实现300元的利润． 设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现300元的利润． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片降价5元； （2）略 21．(1)是 (2)m的值为0或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：是． （2）解：， ， ∴，， 由题意得：，即或， 解得，， ∴m的值为0或2． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $