第25章 一元二次方程 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

第二十五章提优测评卷 答案P14 时间：90分钟总分：100分 第I卷（选择题共20分） 一、选择题（本题包括10小题，每小题2分，共20分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是( ). A.x+2y=1 B.x2-2xy=0 D.x2-2x+3=0 数 Cx+28 2.(2026·湖南郴州资兴期中)将一元二次方程2x2=7x一5化成一般形式后，若二次项系数为2，则常 弘 数项是( ) A.7 B.-7 C.-5 D.5 3.(2024·北京中考)若关于x的一元二次方程x2一4x十c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为 (). A.-16 B.-4 C.4 D.16 4.(2026·广东广州花都区期中)一元二次方程x2一4=0的解是( A.x1=2,x2=-2 B.x1=x2=-2 C.x1=x2=2 D.x1=2,x2=0 5.(2024·德州中考)把多项式x2一3x十4进行配方，结果为( ). A.(x-3)2-5 c-+ D+}+ 6.传统文化《田亩比类乘除捷法》(2025·辽宁中考)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记 载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面 积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为 x步，根据题意可列方程为(). A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 7.(2026·云南昭通昭阳区期中)用配方法解方程x2十8x一5=0时，通过配方后可得(x十)2=p的形 式，则k的值为( A.-4 B.4 C.13 D.17 8.(2026·河南新乡长短期中)若一个一元二次方程的根为c=二（一9)土V二9)一4X6X2 ,则该一元 2×6 二次方程为(). A.-9x2+6.x+2=0 B.-6x2+9x+4=0 C.6x2-9x+2=0 D.6.x2-9x-2=0 1 9.(2025·内江中考)若关于x的一元二次方程(a一1)x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围 是(). A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 10.(2025·东营中考)若x1,x2是关于x的一元二次方程x2一25x一1=0的两个实数根，则代数式 x-24x1十x2的值为(). A.0 B.25 C.26 D.-1 第Ⅱ卷（非选择题共80分） 二、填空题（本题包括8小题，每小题2分，共16分） 11.方程(m一2)xm-2+(5十m)x十3=0是关于x的一元二次方程，则m= 12.已知a是关于x的一元二次方程x2一5x一1=0的一个根，则代数式10a-2a2-5的值为 13.(2026·广东广州期中)若方程2x2-4x-10=0能配成(x十p)2=q的形式，则直线y=x十q不 经过第 象限 14.(2026·黑龙江绥化望奎期中)一元二次方程x2一11x十30=0的两根是等腰三角形的两边长，则等 腰三角形的周长为 1 15.(2025·广元中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+(a-1)x-2=0有两个相等的实数根， 则a= 16.(2024·西宁中考)已知方程x2十2x一1=0的两根分别为a和b,则4a2+8ab+4b2的值为 17.2s:t病康摸-中期中)已知a≠6，且满足2a-50+1=0,26-5动十1=0，那么+号的值为 18.(2025·湖南永州京华中学期中)新定义：关于x的一元二次方程a1(x一h)2十k=0与a2(x一h)2十k =0称为“同族二次方程”，如2(x一3)2+2=0与3(x一3)2十2=0是“同族二次方程”.现有关 于x的一元二次方程2(x-1)2十1=0与(a十2)x2十(b一4)x十8=0是“同族二次方程”，那 么代数式a.x2+bx+2035能取的最小值是 三、解答题（本题包括8小题，第19题6分，第26题10分，其余每题8分，共64分） 19.解方程： (1)(2025·徐州中考)x2十2x一4=0； (2)(2024·齐齐哈尔中考)x2一5x十6=0. 2 20.(2026·河南郑州玉溪中学期中)已知关于x的方程(k一1)x2十kx十1=0. (1)求证：不论k取什么实数，这个方程总有实数根， (2)当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 21.(2026·江苏扬州仪征期中)定义：如果关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(ac≠0)有一个根是 a,那么我们称这个方程为“A方程”. (1)判断：一元二次方程x2一4x十3=0 (填“是”或“不是”)为“A方程”. (2)已知关于x的一元二次方程一x2十bx+c=0(c≠0). ①当b,c满足什么关系时，该方程是“A方程”？ ②若方程是“A方程”，求代数式b2一6c的最小值， 22.新考法新定义问题我们规定：对于任意实数a,b,c,d有[a,b]￥[c,d]=ac一bd,其中等式右 边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13. (1)求[一4,3]*[2，一6]的值； (2)已知关于x的方程[x,2x一1][mx+1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围. 第二十五章提优测评卷 23.(2024·辽宁中考)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间 满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 日销售量y/件 年 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）. (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由. 24.(2026·湖南衡阳一中教育集团期中)根据以下销售情况，解决销售任务】 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况每天可售出20件，每件盈利40元. 每天可售出32件，每件盈利30元. 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件. 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元. 任务解决 甲店每天的销售量 （用含a的代数式表示). 任务1 乙店每天的销售量 (用含b的代数式表示). 任务2 当a=5,b=4时，分别求出甲、乙店每天的盈利. 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分 任务3 店一天的盈利和为2244元. 实验班提优训练数学九年级上RMY 4 25.(2026·上海嘉定区期中)综合与实践：阅读材料，并解决以下问题， (1)[学习研究]我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中标注了关于一元二次方程的几 何解法：以x2+2x一35=0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x一35=0变形为x(x+2)=35; ②构图：画四个长为x十2，宽为x的矩形，按如图(1)所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为(x十x十2)2，从局部看还可表示为四个矩 形与中间小正方形面积之和，即4x(x+2)十22=4×35+4=144，因此，可得新的一元二次方 程(x+x+2)2=144,x表示边长，.2x+2=12,即x=5. 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根，但是从新方程(x十x十2)2=144可 以得到原方程的另一个根是 (2)[类比迁移]根据赵爽几何解法的方法求解方程x2一3x一4=0的一个正根（写出完整的求 解过程，并在图(3)中画出示意图、标明各边长) (3)[拓展应用]一般地，对于形如x2十ax十b=0的一元二次方程可以构造图(2)来解，已知 图(2)是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4.那么α= b= ,方程x2十ax十b=0的一个正根为 x+2 x+2 x+2 x+2 (1) (2) (3) (第25题) 26.缩根法当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算.“缩根法”是指 将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并 将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根 已知：关于x的一元二次方程a.x2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=a,x2=B,求关于x的一 元二次方程pax2十b.x十c=0(ap≠0)的两根. 解：.p2ax2十bx+c=0(ap≠0)，∴.a(px)2+b·x+c=0.令px=t,得新方程at2+bt十 0新方程的解为i=a,2=9,p1=Q,px,=3,原方程的两根为x1号5，之：=号 这种解一元二次方程的方法叫作“缩根法”.举例：用缩根法解方程49x2+35x一24=0. 解：.49=7,35=5×7，∴.(7x)2+5×7x-24=0, 令7x=t,得新方程t2+5t一24=0.解得t1=3,t2=一8，.7x1=3,7x2=-8, 3 8 原方程的两根为x1=7,x2=一7 请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤： (1)用缩根法解方程：36x2一6x一1=0； (2)用缩根法解方程：3x2一160x十1600=0. 6◇实验班提优训练数学九年级上RMWY 26=一39,5x一5a十26=一1，相减解得a=2.8不符合； ⑦当5.x-26=-3,5.x-5a+26=-13,相减解得a=12.4 不符合；⑧当5.x-26=-13,5.x-5a十26=-3，相减解得 a=8.4不符合，∴.当a=18时，方程为5x2-90x十325= 0,两根为13,5. 7.设方程x2一kx一k十9999=0的两根分别为p,q, 则由一元二次方程根与系数的关系，知力十9=k, (pg=一k+9999, …pg十p十q=9999. ∴.(p+1)(q+1)=10000=24×54 显然p,9都不等于2，因此p,9都是奇数， 空.空-x时 2 ①若P,,中有一个数为奇数，不妨设 2,2 2 为奇数， 则生-5，其中m=1,23,4 当m=1时，p=9,不是素数，舍去， 当m=2时，p=49,不是素数，舍去. 当m=3时，p=249,不是素数，舍去. 当m=4时，力=1249，是素数，此时91=2，解得g=7, 2 也是素数. .p=1249,q=7,k=p十q=1256,符合要求 ②若1，都是偶数，则中土1.9+中=5 2， 2 4 4 不妨设力≤g,则当士1=5,9中史1=5时，力=3，g 4 4 249,g不是素数，舍去.当p十1=5,91=5时，办= 4 4 19,g=49,p9都是素数当中-5,2生-5时p 99,q=99,p,q都不是素数，舍去. .p=19,q=499,k=p+q=518,符合要求。 综上所述，k=518或1256. 8.设方程x2十ax十b=0的两个根为a,B, 由题可知a,B为整数，不妨设a≤≤3， 则方程x2+cx十a=0的两根为a+1,B+1, ∴.a+3=-a,(a+1)(B+1)=a, 两式相加，得3+2a+23+1=0,即(a十2)(8+2)=3， 六件安+二解得侣”或合- .a=-(a+B)=-[(-1)+1]=0,b=a3=-1×1= -1,c=-[(a+1)+(3+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2, 或a=一(a+)=-[(一5)+（一3）]=8，b=a3=(一5)× (-3)=15,c=-[(a+1)+(B+1)]=-[(-5+1)+ (-3+1)]=6, .a=0,b=-1,c=-2或a=8,b=15,c=6, .a十b+c=0+(-1)+(-2)=-3或a+b+c=8+ 15+6=29. 故a十b+c=-3或29. 第二十五章提优测评卷 1.D2.D3.C4.A5.B 6.A[解析]宽为x步，则长为(60一x)步，利用矩形面积 公式可列出方程为x(60一x)=864.故选A. 7.B[解析]x2十8x一5=0，移项，得x2十8x=5,配方，得 x2+8x+16=5+16,.(x+4)2=21,.k=4.故选B. 8.C 9.C[解析]，关于x的一元二次方程(a一1)x2十2x十1= 會14 /a-1≠0， 0有实数根，△=2-4×(a-1)×10, 解得a≤2且 a≠1，∴.实数a的取值范围是a≤2且a≠1.故选C. 10.C[解析]：x1是关于x的一元二次方程x2-25x一 1=0的实数根，.x2一25x1一1=0，.x=25x1十1， .x1-24x1+x2=25x1+1-24x1+x2=x1+x2+1. ,x1,x2是关于x的一元二次方程x2-25x一1=0的两 个实数根，x1十x2=25,.x-24x1十x2=25+1= 26.故选C. 11.-2[解析]方程(m-2)xm-2+(5+m)x十3=0是 关于x的一元二次方程， ∴.m2-2=2,且m-2≠0，解得m=-2. 12.-7[解析]把x=a代入x2-5x-1=0,得a2-5a- 1=0,a2-5a=1,.10a-2a2-5=-2(a2-5a) 5=-2-5=-7. 13.三[解析]，2x2一4x一10=0，.x2一2x一5=0， .(x-1)2=6.方程2x2-4x-10=0能配成(x十 p)2=q的形式，p=-1,9=6,直线y=px十q可以 写成直线y=一x十6.，直线y=一x十6经过第一、二、 四象限，不经过第三象限，∴直线y=px十q不经过第三 象限. 14.16或17[解析]将方程x2-11x+30=0因式分解，得 (x-5)(x-6)=0,x-5=0或x-6=0,解得x1=5, x2=6,当5是等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分 别为5,5,6，周长=5十5+6=16.当6是等腰三角形的腰 长时，三角形的三边长分别为5,6,6，周长=5十6+6=17. 15.一1[解析]，关于x的一元二次方程(a一1)x2+(a 1Dx-合-0有两个相等的实数根，△=(a-1-4父 a-1DX(-号)=0，解得a1=1a:=-1.a-1≠0， .a≠1，.a=-1. 16.16[解析]：方程x2+2x一1=0的两根分别为a和b, ∴.a+b=-2,.4a2+8ab+4b2=4(a2+2ab+b2)= 4(a+b)2=4×(-2)2=16. 17.5[解析]由题意可知，a,b是方程2x2-5x十1=0的两 个实数根6十6-号山-立日+行-由 5 2 2 18.2030[解析].'2(x一1)2+1=0与(a+2)x2+(b- 4)x十8=0是“同族二次方程”， ∴.(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)(x-1)2+1, .(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)x2-2(a+2)x+a+3, 0-6-65 b=-10, .ax2+bx+2035=5x2-10x+2035=5(x-1)2+2030. (x一1)2的最小值为0， ∴.5(x一1)2+2030的最小值为2030， 即a.x2+bx+2035的最小值为2030. 19.(1)x2+2x-4=0, 移项，得x2十2x=4, 配方，得x2+2x+1=5,即(x+1)2=5, ..x+1=5或x+1=-√5， 解得x1=√5-1，x2=-√5-1. (2)x2-5x+6=0,.(x-2)(x-3)=0, 则x-2=0或x-3=0,解得x1=2,x2=3. 20.(1)当k一1=0，即k=1时， 此方程为一元一次方程，必有一解。 当一1≠0，即k≠1时， △=k2-4(k-1)=k2-4k十4=(k-2)2≥0， 则此一元二次方程有两个实数根， 综上所述，不论k取什么实数，这个方程总有实数根. (2)该方程有两个整数根， .k一1≠0，即k≠1. 由(k一1)x2+kx+1=0,得 1 x1=-1,x2=一k-1 k为整数及方程的两个根都为整数， .k-1=士1， 解得k=0或2， 21.(1)是[解析]，当x=1时，x2-4x十3=1-4十3=0， ∴.一元二次方程x2一4x十3=0是“A方程”. (2)①，该方程是“A方程”， 即x=一1为方程一x2+bx+c=0的解， .-1-b+c=0,.b=c-1. ②b=c-1, ∴.b2-6c=(c-1)2-6c=c2-2c+1-6c =c2-8c+1=(c-4)2-15. .(c-4)2≥0， .当c=4时，代数式b2-6c有最小值，最小值为一15. 22.(1)[-4,3]￥[2，-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意，得x(mx十1)一m(2x一1)=0， 整理，得mx2+(1一2m)x十m=0. ,关于x的方程[x,2x一1]*[mx十1，m]=0有两个实 数根，∴.△=(1一2m)2一4m·m≥0且m≠0， 1 解得m≤4且m≠0. 23.(1)由题意，设一次函数的关系式为y=k.x十b, 结合表格数据，图象过(45,55)，(55,45)， +86 ∴.所求函数关系式为y=一x十100. (2)不能.理由如下： 由题意，销售额=x(-x十100)=-x2+100x. ,销售额是2600元，.2600=一x2+100x, ..x2-100x+2600=0. ,△=(-100)2-4×2600=10000-10400=-4000， 方程没有解，∴.该商品日销售额不能达到2600元. 24.任务1：(20+2a)件(32+2b)件 任务2：当a=5时，甲店每天的盈利为(40一5)×(20十 2×5)=1050(元). 当b=4时，乙店每天的盈利为(30一4)×(32十2×4)= 1040(元). 任务3：设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和 为2244元， 由题意，得(40-m)(20+2m)+(30-m)(32+2m)= 2244, 整理，得m2-22m+121=0, 解得m1=m2=11, 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为 2244元. 25.(1)-7[解析]由(x十x十2)2=144，得(2x十2)2=144， 2x+2=士12，.x1=5,x2=一7，∴.原方程的另一个根 是-7. (2)将方程x2-3x一4=0变形为x(x一3)=4， 答案6D详解 画四个长为x,宽为x一3的矩形，按如图(1)所示构造一 个“空心”大正方形， x+2 -3 x+2 (1) (2) (第25题) 则图中大正方形的面积从整体看可表示为(x十x一3)2， 从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之 和，即4x(x-3)+32=4×4+9=25,因此，可得新的一 元二次方程(x十x一3)2=25， ,x表示边长，.2x一3=5，即x=4. (3)2一31[解析]中间围成的正方形面积为4， .中间正方形的边长为2，设长方形的宽为x,则长为 x十2，由题意得x(x+2)=3,整理，得x2+2x-3=0, ∴.a=2,b=一3.如图(2)中大正方形的面积从整体看可 表示为(x+x十2)2，从局部看还可表示为四个矩形与中 间小正方形面积之和，即4x(x十2)+22=4×3+4=16， 因此，可得新的一元二次方程(x十x十2)2=16，：x表示 边长，，2x+2=4,即x=1,∴.方程x2十ax+b=0的 个正根为x=1. 26.(1)设6.x=t,得到新方程t2-t一1=0， 解得，=1+5，，1-5 2 ,t2= 21 61=1+6 2,6x2—12、 原方程的两根是x1= 1+51-√5 12,x2= 12 (2)原方程整理为9x2-480x十4800=0， 设3.x=t,得到新方程t2-160t+4800=0, 解得t1=40,t2=120,∴.3x1=40,3x2=120, 40 六原方程的两根是x1=3,x2=40. 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 1.D2B3.3 4.-1[解析]：y=(m-1)xm2+1+1是关于x的二次函 数餐得州=一1 5.y=x2+3x十3[解析]根据题意，得y=1+1×(1+x)十 1×(1+x)2=1+1+x+1+2x+x2=x2+3x+3. 6.(1)由题意，得y=(20+x)(14十x)-20×14,化简，得 y=x2十34x,即y与x之间的函数解析式是y=x2+34x. (2)将y=72代入y=x2十34x,得72=x2+34x, 即x2+34x-72=0,解得x1=-36(舍去)，x2=2. 故若要使绿地面积增加72m,则长与宽都要增加2m. 7.A[解析]由题意，得m2+2m-6=2且m十4≠0. 解m2+2m-6=2,得m=一4或m=2.又m+4≠0， ∴.m≠-4，∴.m=2.故选A 8.A9.m≠5 10.y=一10x2+340x+8000[解析]，每个房间增加10x元， .定价为(180十10x)元，空闲房间数为x个，出租房间数 为(50一x)个，，单个房间利润=定价一支出费用，.单 15合