第26章二次函数提优卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 第26章二次函数提优卷，覆盖九年级上册核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次函数概念、顶点坐标、对称轴、图像平移等|注重概念辨析与图像性质理解，如结合图像判断一次函数象限，培养几何直观| |填空题|6题|图像开口方向、自变量范围、实际应用（无人机滑行、商品利润）|结合图像信息分析，如由部分图象判断函数结论，发展数据意识| |解答题|5题|解析式求解、几何综合、实际建模（拱桥、利润最值）|综合考查模型观念与推理能力，如抛物线型拱桥问题，适配中考命题趋势|

第26章二次函数提优卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．若二次函数，则它的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向右平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 5．如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 6．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 7．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 9．设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则 （    ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④若为任意实数，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 二、填空题 11．已知二次函数的图像开口向下，那么______（写出符合条件的一个值即可）． 12．二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（）关于滑行的时间（）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________才能停下来． 14．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 15．已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为，且，则．其中正确的结论有___________． 16．如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧）． （）__________； （）点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ．当点落在轴正半轴上时，点的坐标为________． 三、解答题 17．已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满；当每个房间每天定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)若每个房间的定价增加30元，则宾馆这一天的利润是多少元？ (2)若物价局规定，每个房间每天的定价不能超过300元，则该宾馆如何定价，每天能获得最大利润，最大利润是多少？ 19．已知二次函数．该二次函数图象与轴有且只有个交点， (1)求的值． (2)若点在抛物线上，且到轴的距离小于，求的取值范围． (3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当线段的长度随的增大而减少时，求的取值范围． 20．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 21．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，若，试求点的坐标； (3)教材中对投影是这样描述的：一般的，用光线照射物体，在某平面上得到的影子，叫做物体的投影．同样，我们也可以得到图象在直线上的投影．如图，用光线沿水平方向左右照射，抛物线，两点之间的部分在轴上的投影就是线段．如图，点是抛物线上两点．设抛物线上，两点间的部分在轴上的投影为， ①当线段时，试求的值：②当线段时，直接写出的取值范围． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第26章二次函数提优卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D A B C D B A 1．A 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，是抛物线的顶点式，其顶点是． 直接根据顶点式作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 抛物线的对称轴为y轴，即直线． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，即直线． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据函数图象平移规则“左加右减”，向右平移2个单位，应将原函数中的x替换为即可． 【详解】解：原函数为，向右平移2个单位， 则新函数表达式为， 故选：D． 5．A 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴ 则一次函数图像经过第一、二、三象限 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线，根据点与对称轴的距离比较函数值大小即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴根据二次函数的开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大可知：； 故选C． 8．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 9．B 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，解答此题的关键是判断出函数与轴的交点为．首先根据一次函数的图象经过点，可得；然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，再结合对称轴公式求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ， ， 又， ， 当时，， ∴当时，， ∵与轴仅有一个交点， ∴的图象与轴的交点为， ， 化简得． 即， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②；当时，，求出，再根据抛物线与轴的交点位置可判断③；根据二次函数最值即可判断④，即可得出结论． 【详解】解：根据图象可得，，， 对称轴为， ，即， ，故①正确； 根据二次函数的图象与轴交于点， 可得二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故②正确； 根据二次函数与轴的交点在与之间，可得， 当时，， 即， ， 解得，故③正确； 当时，有最大值， 因此对于任意实数，， ∴，则， 即 故④正确； ∴正确的结论有①②③④． 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质；由二次函数图象的性质可知，当二次项系数时，图象开口向下． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意得出：当无人机停下来时，飞机滑行的距离达到最大值是解题的关键；将二次函数的解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值，即无人机滑行才能停下来， 故答案为：． 14．1575 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个， 由题意得， ， ∵单个利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴每周获得的最大利润为元， 故答案为：． 15．②③④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质以及数形结合是解题的关键． 根据函数图象可得二次函数的图象开口向下、与y轴的交点在y轴的正半轴，则、，其抛物线的对称轴为直线，则，即，可判定①②；由图象过点可得，从而可得，再结合，然后代入即可判定③；先根据对称性可得在图象上的对称的点坐标为，再利用二次函数的增减性即可得④；先求出二次函数的解析式为，从而可得方程的两根是二次函数与直线的两个交点的横坐标，结合函数图象即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴、， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即，故①错误； ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，故③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴在图象上的对称的点坐标为， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴，故④正确； ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为， ∵方程的两根是二次函数与直线的两个交点的横坐标，如图： 由函数图象可知：，故⑤正确； 综上，正确的结论有②③④⑤． 故答案为②③④⑤． 16． 【分析】（）根据抛物线与轴相交于，两点，求出当时对应的的值即可得出答案； （）如图，过点作轴于点、作轴于点，证明四边形是矩形得，根据旋转的性质得，，证明得，，推出四边形是正方形，继而得到，设，解方程，确定，再由可得答案． 【详解】解：（）∵抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧） 当时，得：， 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作轴于点、作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，且点落在轴正半轴上， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点及函数图像上点的坐标特征，旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识点，掌握函数图像上点的坐标特征、旋转的性质及特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 17．(1) (2)这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 18．(1)9870元 (2)定价300元，最大利润11200元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出每个房间的定价增加了30元，再根据利润（定价各种费用）入住房间的数量列式计算即可得； （2）设宾馆空出了个房间，此时宾馆的利润为元，则每个房间的定价增加了元，根据利润公式建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】（1）解：每个房间的定价增加30元，宾馆空出了3个房间， 则此时宾馆的利润是（元）， 答：宾馆这一天的利润是9870元． （2）解：设宾馆每个房间的定价增加了x元，则空出了个房间，此时宾馆的利润为元，由题意得 ， ∵每个房间每天的定价不能超过300元， ∴， ∴， ∵抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值为（元）， 此时，每个房间的定价为（元）， 答：当宾馆的每个房间的定价为300元时，每天能获得最大利润，最大利润是11200元． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数的顶点坐标、二次函数的最值与单调性以及函数交点与方程求解． （1）由二次函数与轴有且只有一个交点，判别式为零，即可求解的值； （2）由得抛物线方程，根据点到轴距离小于确定范围，即可求出的取值范围； （3）由垂线与抛物线和直线的交点得、坐标，由在下方得范围，长度函数为二次函数，根据其单调性即可确定范围． 【详解】（1）解：二次函数与轴有且只有一个交点， 其判别式， 可得， ， ； （2）由（1）知，故抛物线， 点到y轴距离小于2， ，即， 对于，开口向上， 当时，有最小值，此时， 当时，有最大值，此时， 取值范围为； （3）解：垂线与抛物线交于点， 与直线交于点， 点在点下方， ， 即， ， ， 长度， 为二次函数，开口向下，对称轴， 当时，随增大而减少， 又， 取值范围为． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 21．(1) (2) (3)①或；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，投影的定义；理解物体的投影、熟练利用二次函数的性质进行求解是解题关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （3）①根据投影的定义结合题意，分别求得的表达式，根据，建立方程，解方程，即可求解； ②同①可得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴ 解得： ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴ 如图，设交轴于点， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，则 ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： 直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）①∵点在抛物线上， ∴， ∵ ∴顶点坐标为 情形一，当即时，当时，随的增大而减小， ∴ ∵ ∴，解得： 情形二，当时，则时，随的增大而增大， ∴ 解得： 情形三，当时，即，，同理解得： （舍去）（舍去）， 综上所述，或 ②同①可得 ∵ ∴ 解不等式或或 解得：或 综上所述：或 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 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