第二十六章 二次函数 单元训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与实际应用结合，通过生活情境（如化肥产量、销售利润）和运动问题（如射水鱼、滑雪）考查抽象能力与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次函数图像与性质、平移、最值|基础题梯度合理，如第3题平移规律、第6题区间最值| |填空题|6|解析式、图像交点、实际应用|结合生活情境，如11题增长率、14题利润最值| |解答题|5|面积最值、动态几何、运动轨迹|综合题考查建模能力，如21题羽毛球飞行轨迹、17题矩形面积最值|

第二十六章 二次函数 单元训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．下列属于随机事件的是（    ）． A．一元二次方程有两个解 B．对于，当时，函数图象开口向上 C．的整数解有无数个 D．两个有理数的和等于一个无理数 3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4．如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 5．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 7．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 8．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 9．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 11．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 12．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 14．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 15．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 16．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 三、解答题 17．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 18．如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． (1)根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； (2)若使得改造后的面积最大，求此时的值． 19．某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 20．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 21．甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章�� 二次函数� �单元训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A B D B D C 1．C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 2．A 【分析】本题主要考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，一元二次方程的解的情况，二次函数的性质，不等式的整数解，实数的相关知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．逐一分析各选项事件的类型，即可确定符合要求的随机事件． 【详解】解：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， 对各选项分析如下： 选项A：一元二次方程的解的情况由判别式决定，当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程无实数解，此事件可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项B：根据二次函数的性质，当时，的函数图象开口向上，此事件一定发生，是必然事件； 选项C：的整数解有3、4、5……无数个，此事件一定发生，是必然事件； 选项D：有理数与有理数的和仍为有理数，两个有理数的和不可能是无理数，此事件一定不发生，是不可能事件， 综上，属于随机事件的是选项A． 故选：A． 3．B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 4．B 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 【详解】解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 8．B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 9．D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 10．C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 11． 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 12． ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 13． 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 14．1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 15．或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 16．8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 17．(1)二次 (2) (3)当时，小花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据题意列出二次函数解析式，并根据函数的性质求最值． （1）根据矩形的面积公式即可进行列式写出函数解析，即可得； （2）由（1）可得解析式，再利用墙长得到自变量取值范围； （3）根据函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：矩形小花园边的长为，则边的长为， ， 与之间是二次函数关系， 故答案为：二次； （2）解：由（1）知，， ， ， 与之间的函数关系式为； （3）解：由（1）知，， ，， 当时，有最大值，最大值为， 答：当时，小花园的面积最大，最大面积是． 18．(1)，2 (2)1 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． （1）根据    ，表示出和，然后利用面积公式求解，再若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等列出方程求解． （2）由改造后的矩形苗圃的面积来求解． 【详解】（1）解：设的长度为米， 根据题意得（米），（米）， 改造后的矩形苗圃的面积为. 若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等， ， 整理得， 解得，（不符合题意合去） 答：此时的值为2． 故答案为：． （2）解：改造后的矩形苗圃的面积， 当时，使得改造后的面积最大， 即此时的值为1． 19．(1) (2)月份 (3)万元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）先确定二次函数的顶点坐标为，设顶点式，再将点代入即可求解； （2）代入，求解即可； （3）将代入，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知二次函数图象过点，， 则二次函数的对称轴为直线， 结合二次函数图象过点， 则二次函数的顶点坐标为， 设与的函数解析式为． 将点代入， 得， 解得：， 与之间的函数解析式为； （2）解：把代入， 得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月份该公司所获得的利润恰好为万元； （3）解：将代入， 得， 年月份该公司所获得的利润是万元． 20．(1)，； (2)，当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【详解】（1）解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； （2）解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 21．(1)抛物线的解析式为： (2)此球能过网 (3)羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $