25.3 实际问题与一元二次方程 数字问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用一元二次方程解决数字问题，通过两位数对调情景导入，引导学生用字母表示两位数，衔接代数式旧知与数字问题建模新知，搭建学习支架。 此资料亮点在于强化数位表示与验根，例1设个位数字x、十位8-x列方程，培养抽象能力与模型意识，例2连续整数问题提升运算能力与推理意识。助学生掌握建模方法，教师可直接使用，提升教学效率。

25.3 实际问题与一元二次方程 数字问题 教案 教学目标 1.掌握用代数式正确表示两位数、多位数，能找出数字问题中的等量关系，列出一元二次方程求解，巩固列一元二次方程解应用题的完整步骤。 2.通过数字问题的探究，学会把数字关系转化为代数方程，提升分析问题、建模运算的能力。 3.体会数学建模思想，能根据数位数字的取值范围检验方程的解，舍去不符合数位实际意义的根，养成严谨审题验根的习惯。 重点难点 重点：正确用代数式表示多位数，列一元二次方程解决数字类应用题。 难点：理解数位上数字的含义，区分“数位上的数字”和“这个多位数”；根据数位数字的取值条件筛选有效解。 提示：数位数字取值：个位、十位等数位数字为09的整数；两位数的十位数字是19的正整数。 教学过程 情景导入 一个两位数，十位数字与个位数字之和等于11，如果把十位数字和个位数字对调，得到新的两位数。大家思考：怎么用字母表示原来的两位数和对调之后的两位数？今天我们学习利用一元二次方程解决数字问题。 探究新知 探究点一 两位数数字问题 【例1】有一个两位数，十位数字与个位数字之和是8，十位数字与个位数字互换位置后，所得两位数与原两位数的乘积等于1855，求原来的两位数。 【解析】设原来个位数字为x，则十位数字为8x。 两位数 = 十位数字×10+个位数字； 原两位数：10(8x)+x；对调后新两位数：10x+(8x)，根据乘积列方程求解。 【解】设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为8x。 [10(8x)+x][10x+(8x)]=1855 整理：(809x)(9x+8)=1855 解得 x₁=3，x₂=5。 当x=3时，十位数字：83=5，原两位数为53； 当x=5时，十位数字：85=3，原两位数为35。 答：原来的两位数为53或35。 【方法总结】 两位数表示：若十位数字a，个位数字b，两位数记作10a+b； a取值1~9，b取值0~9；解方程后，数字必须满足数位取值范围，舍去不符合条件的解。 探究点二 连续数字问题 【例2】两个连续正整数的乘积是132，求这两个连续正整数。 【解析】设较小的正整数为x，则较大的数为x+1，依据两数之积等于132列一元二次方程。 【解】设较小正整数为x，较大数为x+1。 x(x+1)=132 x²+x132=0 解得 x₁=11，x₂=-12（正整数，舍去）。 x+1=12。 答：这两个连续正整数是11和12。 【方法总结】连续整数：x，x+1；连续奇数或者连续偶数：x，x+2；结合题意，负数解、非整数解直接舍去。 课堂训练 1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，这两个数字的积等于两个数字和的2倍，则这个两位数是（） A.36   B.63   C.36或63   D.-36或-63 2. 两个连续偶数的乘积是168，求这两个连续偶数。 板书设计 数字问题 1. 列一元二次方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答 2. 数位表示：     两位数：10a+b（a十位，b个位） 3. 连续数字：连续整数x、x+1；连续奇（偶）数x、x+2 4. 检验：数位数字范围，09，十位不能为0，舍去不合理解 5. 例题讲解 课堂小结 本节课学习一元二次方程解决数字问题，重点分清数位上的数字和实际多位数的区别，会用代数式表示两位数；连续数字问题注意设元技巧；解出方程之后，一定要检验，数位数字必须是09之间整数，十位不能为0，负数、小数都要舍去，体会数学建模思想。 教学反思 本节课从两位数数位关系入手，学生容易犯的错误：直接把数位数字当作两位数，例如十位a个位b直接写成a+b，忽略十位要乘10。课堂重点区分“数字”和“数”，强化数位表示方法。训练学生验根意识，方程数学解不一定符合数位要求，必须检验数字的取值范围。通过例题和练习，提升学生把文字条件转化为代数方程的能力。 答案 课堂训练 1.C 2. 解：设较小的偶数为x，则较大偶数为x+2。 x(x+2)=168 x²+2x168=0 解得 x₁=12，x₂=-14。 当x=12，x+2=14； 当x=-14，x+2=-12。 答：这两个连续偶数为12、14或者14、12。 学科网（北京）股份有限公司 $