四川达州市通川区第七中学校2026-2027学年八年级上学期学情自测数学试题

**基本信息** 八年级开学自测数学卷，以实数、三角形、整式等核心知识为载体，通过爬山路程、疫情调查等生活情境，分层设计问题考查运算能力、推理意识与数据意识，适配暑期学习效果检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|算术平方根、直角三角形判定、整式运算|第10题结合函数图象分析爬山路程，考查模型意识| |填空题|5/20|无理数识别、平方根性质、勾股定理应用|第14题通过正方形面积关系考查代数变形能力| |解答题|10/90|统计图表、四边形综合、勾股定理证明、几何探究|22题“双求法”证明勾股定理体现创新思维，25题几何综合考查逻辑推理与空间观念|

四川省达州市通川区第七中学校2026-2027学年八年级上学期开学自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．4的算术平方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．±16 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．c2＝a2﹣b2 B．a：b：c＝7：24：25 C．∠C＝∠B﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 3．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．a0＝1 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3 4．如图，已知∠1＝∠2，补充下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．AC＝DB D．∠ABC＝∠DCB 5．若最简二次根式与能合并，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 6．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　） A．3 B．12 C．9 D．4 7．如图，直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝48°，则∠2等于（　　） A．132° B．138° C．156° D．159° 8．若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则下列对△ABC的形状描述最确切的是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 10．清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　） A．爸爸的爬山速度为3km/h B．1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km C．山脚到山顶的总路程为6km D．小明最后一段速度为3km/h 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在实数，0.2，中，无理数有　　 个． 12．已知一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1，那么a的值为　　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D．如果AC＝5，BC＝3，则BD的长为 　　 ． 14．如图，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为________. 15．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　　 ．（用含a，b，c的式子表示） 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．计算：（1）； （2）． 17．已知2a+1的平方根是±3，1﹣b的立方根为﹣1． （1）求a与b的值； （2）求3a+2b的算术平方根． 18．如图，点B、C、D在同一直线上，△ABC和△ADE都是等边三角形．求证：AB∥CE． 19．某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？A．生命，B．感恩，C．责任，D．奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 　　 名同学； （2）扇形统计图中a＝　　 ，并补全条形统计图； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是多少． 20．在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°． （1）求证：△ACD为直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 21．图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，△APD的面积S（cm2）与时间x（s）的关系图象． （1）根据题目提供的信息，求出a，b，c的值； （2）写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式； （3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 22．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，直接写出AB边上的高为　　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 23．观察下列等式：3×7＝21；13×17＝221；23×27＝621；33×37＝1221；43×47＝2021… 从这些计算结果中，你能发现什么？我们发现了一个速算法则：十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21．例如，计算53×57，因为5×6＝30，3×7＝21，所以53×57＝3021． （1）利用以上规律直接写出结果：83×87＝　　 ； （2）设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：　　 ×　　 ＝　　 ； （3）善于思考的小聪通过计算：22×28＝616；44×46＝2024；55×55＝3025；79×71＝5609… 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且m+n＝10，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 24．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即23，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用2来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是 　　 ，4的整数部分是 　　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值； （3）已知20x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请直接写出xy﹣3的平方根． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边CA沿着过点A的某条直线对折得到DA，连接CD，以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE＝90°，CD＝DE，AD与CE交于点F，连接BD． （1）如图1，连接AE，当点D在△ABC外部时，试说明△ADE≌△BCD； （2）如图2，连接AE，当点D在△ABC的斜边AB上时，试判断△AEF的形状并说明理由； （3）如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为AD的中点，且EF＝2，求BD的长． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．4的算术平方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．±16 【解答】解：4的算术平方根是2， 故选：B． 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．c2＝a2﹣b2 B．a：b：c＝7：24：25 C．∠C＝∠B﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【解答】解：A、由条件得到b2+c2＝a2，由勾股定理的逆定理推出△ABC是直角三角形，故A不符合题意； B、72+242＝252，由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，故B不符合题意； C、由∠C＝∠B﹣∠A得到∠C+∠A＝∠B，于是180°﹣∠B＝∠B，求出∠B＝90°，判定△ABC是直角三角形，故C不符合题意； D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，得到∠C＝180°75°，因此△ABC是锐角三角形，故D符合题意． 故选：D． 3．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．a0＝1 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3 【解答】解：a2•a3＝a5， ∴A正确，符合题意； 当a≠0时，a0＝1， ∴B不正确，不符合题意； a2与a3不是同类项，不能合并， ∴C不正确，不符合题意； a6÷a2＝a4， ∴D不正确，不符合题意． 故选：A． 4．如图，已知∠1＝∠2，补充下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．AC＝DB D．∠ABC＝∠DCB 【解答】解；A、∠1和∠（2分）别是DC和AB的对角，不能判定△ABC≌△DCB，故A符合题意； B、由AAS判定△ABC≌△DCB，故B不符合题意； C、由SAS判定△ABC≌△DCB，故C不符合题意； D、由ASA判定△ABC≌△DCB，故D不符合题意． 故选：A． 5．若最简二次根式与能合并，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：若最简二次根式与能合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， ∴1﹣3a＝7， ∴a＝﹣2， 故选：A． 6．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　） A．3 B．12 C．9 D．4 【解答】解：如图， 由题意可得：AB＝4，AC＝5， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴BC2＝25﹣16＝9， ∴S＝9， 故选：C． 7．如图，直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝48°，则∠2等于（　　） A．132° B．138° C．156° D．159° 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝48°， ∴∠GEB＝∠1＝48°， ∵EF为∠GEB的平分线， ∴∠FEB∠GEB＝24°， ∵AB∥CD， ∴∠2+∠FEB＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠FEB＝156°． 故选：C． 8．若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则下列对△ABC的形状描述最确切的是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0， 根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0， ∴（a﹣b）2＝0，即a＝b， ∴|a2+b2﹣c2|＝0，即a2+b2﹣c2＝0， ∵a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， ∵a2+b2＝c2， ∴根据勾股定理知△ABC是直角三角形， 综上，△ABC是等腰直角三角形， 故选：C． 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°， ∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NC， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC， ∴∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM126°＝63°， ∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°． 故选：C． 10．清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　） A．爸爸的爬山速度为3km/h B．1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km C．山脚到山顶的总路程为6km D．小明最后一段速度为3km/h 【解答】解：A、由图象可知，爸爸的爬山速度为3km/h，故A正确，不符合题意； B、小明累了之后减速继续爬山，此时速度是（3﹣2）÷（1﹣0.5）＝2km/h， ∴1.5小时的时候，小明爬山的路程为：2+2×（1.5﹣0.5）＝4（km）， 1.5小时的时候，爸爸爬山的路程为：3×1.5＝4.5（km）， ∴1.5小时的时候，爸爸与小明的距离是4.5﹣4＝0.5（km），故B正确，不符合题意； C、爸爸的爬山速度为3km/h，爸爸用2个小时爬上了山顶， ∴山脚到山顶的总路程为6km，故C正确，不符合题意； D、小明最后一段速度为（6﹣4）÷（21.5）（km/h），故D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在实数，0.2，中，无理数有　2　 个． 【解答】解：在实数，0.2，中，无理数有，，共2个． 故答案为：2． 12．已知一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1，那么a的值为　﹣4　 ． 【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1， ∴5﹣a+2a﹣1＝0， 解得：a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D．如果AC＝5，BC＝3，则BD的长为 　　 ． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝3， ∴AB4， ∵BD⊥AC， ∴， ∴， ∴BD． 故答案为：． 14．如图，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为___10_____. 【解答】解：设AC＝m，BC＝n， ∵AB＝10， ∴m+n＝10， 又∵S1+S2＝60， ∴m2+n2＝60， （m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴102＝60+2mn， 解得：mn＝20， ∴． 故答案为：10． 15．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　　 ．（用含a，b，c的式子表示） 【解答】解：如图，分别过点A，C作AF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． ∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°， 又∵AD＝AB＝BC，∠BAD＝2∠CAE， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，， ∵∠ABC＝90°，AF⊥DE， ∴∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°， ∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE， 在△BAF和△CBG中， ， ∴△BAF≌△CBG（AAS）， ∴AF＝BG，BF＝CG， ∵∠CBG＝∠CAE，∠CBG+∠BOE+∠AEF＝∠CAE+∠ACB+∠AOC＝180°，∠BOE＝∠AOC， ∴∠AEF＝∠ACB＝45°， ∴∠AEF＝∠FAE＝45°， ∴AF＝EF＝BG，BF＝CG， ∴BF＝EG＝CG， ∴∠CEG＝∠AEF＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE， ∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC， ∴S△ABCBE•AFAE•ECBE•CGBE•AFacBE•（AF﹣BE）（ac+b2）． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1）＝20﹣7﹣5+69＝﹣1+6； （2） ＝33﹣2＝21． 17．已知2a+1的平方根是±3，1﹣b的立方根为﹣1． （1）求a与b的值； （2）求3a+2b的算术平方根． 【解答】解：（1）∵2a+1的平方根是±3， ∴2a+1＝32＝9， 解得a＝4； ∵1﹣b的立方根为﹣1， ∴1﹣b＝（﹣1）3＝﹣1， 解得b＝2； （2）∵a＝4，b＝2， ∴3a+2b＝3×4+2×2＝12+4＝16， ∵， ∴3a+2b的算术平方根为4． 18．如图，点B、C、D在同一直线上，△ABC和△ADE都是等边三角形．求证：AB∥CE． 【解答】证明：∵点B、C、D在同一直线上，△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴∠ABD＝∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAD＝∠CAE＝60°+∠CAD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴AB∥CE． 19．某中学就新冠疫情对青少年价值观产生的影响做了一个问卷调查，其中一项调查内容是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？A．生命，B．感恩，C．责任，D．奉献．每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 　300　 名同学； （2）扇形统计图中a＝　15　 ，并补全条形统计图； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是多少． 【解答】解：（1）105÷35%＝300（人）， 故答案为：300； （2）a100＝15； C所对应的人数为：300×30%＝90（人）， B所对应的人数为：300﹣105﹣90﹣45＝60（人）． 补全条形图如图所示： 故答案为：15； （3）， 答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词“B．感恩”的学生的概率是． 20．在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°． （1）求证：△ACD为直角三角形； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC5， ∵CD＝12，AD＝13， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形； （2）解：由图可得， S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ＝6+30 ＝36． 21．图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，△APD的面积S（cm2）与时间x（s）的关系图象． （1）根据题目提供的信息，求出a，b，c的值； （2）写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式； （3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 【解答】解：（1）由图②知，当x＝10时，AP＝10×2＝20（cm）， 此时点P与点B重合， ∴S△DAP＝S△DABAB•AD20×16＝160（cm2）， ∴a＝160； 当点P在BC边上运动时，△ADP的面积为定值160不变， ∵BC＝AD＝16cm， ∴b＝1018； ∵CD＝AB， ∴点P在CD上运动的时间与在AB上运动时间相同， ∴c＝10+8+10＝28； （2）∵AB＝CD＝20，BC＝16， ∴y＝56﹣2x； （3）∵AD＝16cm，AB＝20cm， ∴矩形ABCD的面积为20×16＝320（cm2）， 当△APD的面积是长方形ABCD面积的时，S△APDS矩形ABCD320＝64（cm2）， 当0≤x≤10时，SAPDAD•AP16×2x＝64， 解得：x＝4， 根据矩形的性质和点P的运动过程可知，当x＝28﹣4＝24时，△APD的面积是长方形ABCD面积的． ∴点P出发4秒或24秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的． 22．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，直接写出AB边上的高为　　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【解答】（1）证明：∵，，， S四边形ABDC＝S梯形AEDC+S△BED， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：， ， ∵， ∵， 即AB边上的高是； 故答案为：； （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2， ∵BD+CD＝BC＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2， ∴16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， ∴． 23．观察下列等式：3×7＝21；13×17＝221；23×27＝621；33×37＝1221；43×47＝2021… 从这些计算结果中，你能发现什么？我们发现了一个速算法则：十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21．例如，计算53×57，因为5×6＝30，3×7＝21，所以53×57＝3021． （1）利用以上规律直接写出结果：83×87＝　7221　 ； （2）设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：　（10a+3）　 ×　（10a+7）　 ＝　100a（a+1）+21　 ； （3）善于思考的小聪通过计算 22×28＝616 44×46＝2024 55×55＝3025 79×71＝5609… 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且m+n＝10，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【解答】解：（1）由条件可知83×87＝7221； 故答案为：7221； （2）3×7＝100×0×（0+1）+3×7＝21， 13×17＝100×1×（1+1）+3×7＝221， 23×27＝100×2×（2+1）+3×7＝621， 33×37＝100×3×（3+1）+3×7＝1221， 43×47＝100×4×（4+1）+3×7＝2021…， ∴（10a+3）（10a+7）＝100a（a+1）+3×7＝100a（a+1）+21， 故答案为：（10a+3）；（10a+7）；100a（a+1）+21； （3）（10a+m）（10a+n）＝100a（a+1）+mn，理由如下： 两个因数分别表示为：10a+m，10a+n， 则（10a+m）（10a+n）＝100a2+10a（m+n）+mn， ∵m+n＝10， ∴（10a+m）（10a+n） ＝100a2+100a+mn ＝100a（a+1）+mn． 24．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即23，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用2来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是 　　 ，4的整数部分是 　1　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值； （3）已知20x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请直接写出xy﹣3的平方根． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4的整数部分是1； 故答案为：，1； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分是， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， ∴b＝6， ∴a+b4； （3）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是24，小数部分是， ∵20x+y，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝24，y， ∴xy﹣3＝2425， ∵25的平方根是±5， ∴xy﹣3的平方根是±5． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边CA沿着过点A的某条直线对折得到DA，连接CD，以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE＝90°，CD＝DE，AD与CE交于点F，连接BD． （1）如图1，连接AE，当点D在△ABC外部时，试说明△ADE≌△BCD； （2）如图2，连接AE，当点D在△ABC的斜边AB上时，试判断△AEF的形状并说明理由； （3）如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为AD的中点，且EF＝2，求BD的长． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠ADC+∠ADE＝90°， ∴∠BCD＝∠ADE， ∵CA＝CB，AC＝AD， ∴DA＝CB， 在Rt△ADE和△BCD中， ， ∴△ADE≌△BCD（SAS）； （2）解：结论：△AEF是等腰三角形． 理由：如图2中， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝67.5°， ∵△ADE≌△BCD， ∴∠DAE＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝∠DCF， ∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CDF＝67.5°， ∴∠AFE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AFE＝∠AEF＝67.5°， ∴△AEF是等腰三角形； （3）解：如图3中，延长CF到T，使得FT＝CF，连接AT，DT． ∵AF＝DF，CF＝FT， ∴四边形ATDC是平行四边形， ∴AC＝DT，AC∥DT， ∴∠CAD＝∠ADT， ∵AC＝AD， ∴DA＝DT， ∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠CAD+2∠ACD＝180°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠DCB∠CAD， ∴∠CAD＝∠ADT＝2∠DCB， ∵∠DCB＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠TDE， ∵DA＝DT， ∴DE⊥AT， ∴DE平分AT， ∵AF＝FD， ∴ET＝2EF＝4， ∵DE垂直平分线段AT， ∴EA＝ET＝4， ∵△ADE≌△BCD， ∴BD＝AE＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $