四川达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学试题

**基本信息** 四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学试题（150分），通过A、B卷梯度设计衔接七年级整式运算、勾股定理等核心知识，融入足球进球概率、风筝高度测量等生活情境与赵爽弦图等数学文化，检测学生知识掌握与思维发展水平。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|整式运算、勾股数、概率等|基础题为主，如第1题考查幂的运算，检测运算能力| |填空题|10题40分|平方根、因式分解、三角形中线等|如12题延长中线构造全等，培养几何直观；20题结合赵爽弦图，渗透文化传承| |解答题|8题78分|计算、化简求值、实际应用等|17题测量风筝高度体现应用意识；26题用“双求法”证明勾股定理，发展推理能力与创新意识|

四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a）3＝﹣6a3 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25 3．乐乐是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，乐乐进球的概率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（　　） A．乐乐明天肯定进球 B．乐乐明天有可能进球 C．乐乐明天比赛每射球5次必进球1次 D．乐乐明天的进球率为10% 4．已知，则（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 5．如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使PE+PF最短，则点P应选在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 6．一个正数的两个平方根是2m﹣4和3m﹣1，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．无法确定 7．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠EBC的度数为（　　） A．12° B．13° C．14° D．15° 8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．的平方根是 　±2　 ，的算术平方根是 　　 ． 10．已知x+y＝3，x﹣y＝5，则2y2﹣2x2＝　　 ． 11．直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长 　　 ． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝3，AD＝5，则AB的取值范围是 　　 ． 故答案为：7＜AB＜13． 13．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算或解方程．（1）； （2）（1+2m）2﹣（3+2m）（﹣3+2m）； （3）4x2﹣20＝0； （4）49（x+1）2+75＝300． 15．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2），其中x＝﹣1． 16．（8分）已知，求下列代数式的值．①a2﹣b2；②a2+b2． 17．（10分）小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 答：BH的长度为9米． 18．（12分）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）图2中的阴影部分的面积为__________ ；（用a、b的代数式表示） （2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是_______________； （3）根据（2）中的结论，若，求（x﹣y）2． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 　　 ． 20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 　　 ． 21．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝155°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是　　 度． 22．如图所示，CD是△ABC的中线，点E是CD的中点，连接AE、BE，若阴影部分的面积4，则△ABC的面积为 　　 ． 23．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D． （1）求证：AB＝FE； （2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数． 25．（10分）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算______ ； 　　 ． （2）用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______________． （3）计算：． 26．（12分）综合与实践：【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，直接写出AB边上的高为　　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 参考答案 四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a）3＝﹣6a3 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a 【解答】解：A、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项不符合题意； B、a3与a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意； D、a3÷a2＝a，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25 【解答】解：A、不是，因62+92≠122； B、不是，因为﹣9不是正整数； C、不是，因为92+122≠132； D、是，因为72+242＝252．且7、24、25是正整数． 故选：D． 3．乐乐是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，乐乐进球的概率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（　　） A．乐乐明天肯定进球 B．乐乐明天有可能进球 C．乐乐明天比赛每射球5次必进球1次 D．乐乐明天的进球率为10% 【解答】解：∵乐乐进球的概率为， ∴乐乐明天将参加一场比赛，有可能进球，也有可能不进球． 故选：B． 4．已知，则（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：∵， ∴a﹣3＝0，3+b＝0， ∴a＝3，b＝﹣3， ∴1． 故选：B． 5．如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使PE+PF最短，则点P应选在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【解答】解：如图，点E′是点E关于直线l的对称点，连接E′F，则E′F与直线l的交点，即为点P，连接PE，此时PE+PF最短， ∵E与E′关于直线l对称， ∴PE＝PE′， ∴PE+PF＝PE′+PF， ∵两点之间线段最短， ∴此时PE'+PF最短，即PE+PF最短， ∵E′F与直线l交于点C， ∴点P应选C点． 故选：C． 6．一个正数的两个平方根是2m﹣4和3m﹣1，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．无法确定 【解答】解：由题意可得：2m﹣4+3m﹣1＝0， 解得：m＝1， 故选：C． 7．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠EBC的度数为（　　） A．12° B．13° C．14° D．15° 【解答】解：在△EDB和△ABC中， ， ∴△EDB≌△ABC（SAS）， ∴∠BDE＝∠CBA＝75°， ∵∠DBE＝∠C＝62°， ∴∠EBC＝∠CBA﹣∠DBE＝75°﹣62°＝13°， 故选：B． 8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm， 在Rt△ABC中：AC15（cm）， 则这支铅笔的长度大于15cm． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．的平方根是 　±2　 ，的算术平方根是 　　 ． 【解答】解：∵， ∴4的平方根是±2． ∵， ∴6的算术平方根是． 故答案为：±2；． 10．已知x+y＝3，x﹣y＝5，则2y2﹣2x2＝　﹣30　 ． 【解答】解：∵x+y＝3，x﹣y＝5， ∴2y2﹣2x2 ＝﹣2（x2﹣y2） ＝﹣2（x+y）（x﹣y） ＝﹣2×3×5＝﹣30， 故答案为：﹣30． 11．直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长 　2或10　 ． 【解答】解：当8是斜边时，第三边长2； 当6和8是直角边时，第三边长10； ∴第三边的长为：2或10， 故答案为：2或10． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝3，AD＝5，则AB的取值范围是 　7＜AB＜13　 ． 【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD＝5，连接CE， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC， ∵AC＝3，AE＝AD+DE＝10， ∴7＜EC＜13， ∴AB的取值范围是：7＜AB＜13． 故答案为：7＜AB＜13． 13．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为 　48cm2 ． 【解答】解∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止， 当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间x的增大而增大， 由图2知，当x＝3时，点P到达点C处， ∴BC＝3×2＝6（cm）； 当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变， 由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为7﹣3＝4（s）， ∴CD＝2×4＝8（cm）， ∴长方形ABCD的面积＝8×6＝48（cm2）． 故答案为：48cm2． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算或解方程．（1）； （2）（1+2m）2﹣（3+2m）（﹣3+2m）； （3）4x2﹣20＝0； （4）49（x+1）2+75＝300． 【解答】解：（1）原式＝﹣2+1+9+1＝9； （2）原式＝1+4m+4m2﹣（4m2﹣9） ＝1+4m+4m2﹣4m2+9 ＝4m+10； （3）∵4x2﹣20＝0， ∴4x2＝20， ∴x2＝5， ∴； （4）∵49（x+1）2+75＝300， ∴49（x+1）2＝225， ∴， ∴或， ∴，． 15．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2），其中x＝﹣1． 【解答】解：（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2） ＝x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4 ＝x2+x﹣3， 当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+（﹣1）﹣3＝1﹣1﹣3＝﹣3． 16．（8分）已知，求下列代数式的值．①a2﹣b2；②a2+b2． 【解答】解：①∵， ∴a+b＝4，a﹣b＝2， ∴a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝4×2 ＝8； ②∵， ∴a+b＝4，ab＝1， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝42﹣2×1 ＝16﹣2 ＝14． 17．（10分）小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD2＝252﹣152＝202， ∴CD＝20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米）， 答：风筝的高度CE为21.7米． （2）由等积法知：，解得：（米）． 在Rt△BDH中，由勾股定理得：， 答：BH的长度为9米． 18．（12分）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）图2中的阴影部分的面积为　（b﹣a）2 ；（用a、b的代数式表示） （2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab .； （3）根据（2）中的结论，若，求（x﹣y）2． 【解答】解：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，所以阴影部分的面积（b﹣a）2； 故答案为：（b﹣a）2； （2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （3）当x+y＝5，时，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 　16　 ． 【解答】解：∵3m＝4，3n＝2， ∴3m+2n＝3m•32n＝3m•（3n）2＝4×22＝16． 故答案为：16． 20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 　3　 ． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4， ∴4ab+（a﹣b）2＝25， ∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9， ∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去）， 故答案为：3． 21．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝155°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是　55　 度． 【解答】解：∵∠ABE＝155°，∠CDF＝150°， ∴∠ABP＝180°﹣155°＝25°，∠CDP＝180°﹣150°＝30°． ∵AB∥MN，CD∥MN， ∴∠BPN＝∠ABP＝25°，∠DPN＝∠CDP＝30°， ∴∠EPF＝∠BPN+∠DPN＝55°． 故答案为：55． 22．如图所示，CD是△ABC的中线，点E是CD的中点，连接AE、BE，若阴影部分的面积4，则△ABC的面积为 　8　 ． 【解答】解：∵CD是△ABC的中线， ∴S△ACD＝S△BCDS△ABC， ∵点E是CD的中点， ∴S△ADES△ACD，S△BCDS△BDC， ∴阴影部分的面积＝S△ABE+S△CED4， ∴S△ABC＝8 故答案为：8． 23．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 　　 ． 【解答】解：∵长方形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°， 又∵四边形ABCD为长方形， ∴AB＝CD， ∴AE＝DC， 而∠AFE＝∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF＝DF； ∵四边形ABCD为长方形， ∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4， ∵Rt△AEF≌Rt△CDF， ∴FC＝FA， 设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x， 则FD＝6﹣x． 故答案为： 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D． （1）求证：AB＝FE； （2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数． 【解答】证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线， ∴∠ACB＝∠FCE， 在△ABC与△FEC中， ， ∴△ABC≌△FEC（AAS）， ∴AB＝FE； （2）∵AB∥CE， ∴∠B＝∠FCE， ∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB， ∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°， ∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°， 即3∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 25．（10分）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算 　7　 ； 　18　 ． （2）用含正整数n的式子表示上述算式的规律：　n+2　 ． （3）计算：． 【解答】解：（1）7， 18， 故答案为：7，18； （2）， 故答案为：n+2； （3） ＝3﹣4+5﹣6+…+2023 ＝（﹣1）×1010+2023 ＝﹣1010+2023 ＝1013． 26．（12分）综合与实践：【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，直接写出AB边上的高为　　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【解答】（1）证明：∵，，， S四边形ABDC＝S梯形AEDC+S△BED， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：， ， ∵， ∵， 即AB边上的高是； 故答案为：； （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2， ∵BD+CD＝BC＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2， ∴16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $