13.1三角形的概念课时同步练习 2026‑2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学三角形概念同步练，通过选择、填空、解答三级分层，实现从概念识别到推理证明的知识进阶，适配新授课基础夯实与推理意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（选择1-10）|三角形概念、分类、三边关系|图形辨析（如第1题三角形识别）、简单计算（如第3题三边能否组成三角形）| |中档（填空11-16）|三角形计数、边长计算、性质应用|情境化计数（如第11题图形中三角形个数）、参数计算（如第13题求x值）| |提升（解答17-21）|综合计数、推理证明、拓展应用|逻辑推理（如第21题证明线段关系）、规律探究（如第20题三角形个数规律）|

第十三章 三角形 13.1三角形的概念 1、 选择题 1．观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有△ABE，△ABC,△BCD,△BCE,△DCE，共5个， 故选C． 3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．5cm，6cm，10cm B．1cm，1cm，3cm C．2cm，3cm，5cm D．3cm，4cm，9cm 【答案】A． 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：A、5+6＞10，符合三角形三边关系，故可构成三角形，符合题意； B、1+1＜3，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意； C、2+3＝5，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意； D、3+4＜9，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 4．在中，若，则是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，结合可得，即可判定是直角三角形． 【详解】解： ， ， 又 ， ， ， 是直角三角形． 故选A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，三角形的分类，解题的关键是牢记三角形内角和为180度． 5．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 6．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 7．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 8．若三角形两边长分别是3、5，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．3 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此进行作答即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别是3、5， ∴5-3＜第三边的长＜5＋3， 即2＜第三边的长＜8， ∴观察4个选项，第三边的长可能是3， 故选：B 9．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角单脚的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D 10．有下列说法： ①等边三角形是等腰三角形； ②等腰三角形也可能是直角三角形； ③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】①根据等腰三角形的定义判定等边三角形是等腰三角形； ②举出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形； ③三角形共三条边，若按边分类，可分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形； ④三角形中最大的角可能是锐角可能是直角，也可能是钝角，按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【详解】①有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正确； ②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正确； ③三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故③错误； ④根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形，熟练掌握三角形的定义及分类是解题的关键． 2、 填空题 11．如图所示，图中共有________个三角形，用符号表示为________________，其中以为边的三角形是________，以为一个内角的三角形是________． 【答案】 （1）；（2），，，，；（3），，；（4），. 【分析】本题考查了三角形的知识，关键是熟练掌握三角形的边及角； 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形，据此找出图中所有的三角形并确定三角形的个数； 找出以点和另外一点组成的三角形，就是以为边的三角形.观察各三角形，还能确定以为内角的三角形. 【详解】解：图中共有个三角形，分别是，，，，； 以为边的三角形有：，，； 以为一个内角的三角形是：，； 故答案为：（1）；（2），，，，；（3），，；（4）， ． 12．已知中，，，．则是__________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的分类：按照边分类可分为三边均不等三角形和等腰三角形，按照角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，根据三角形三个角的度数即可判断． 【详解】解：已知中，，，． 则是直角三角形， 故答案为：直角． 13．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c边长是偶数，则x的值应该是 　 　． 【答案】2或3． 【分析】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得x的取值范围；再根据边c是偶数这一条件，求得c的值． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 得7﹣3＜2x+2＜7+3， 解得4＜2x+2＜10， 又∵2x+2是偶数， 则2x+2的值为6、8， ∴x＝2或3， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．还要注意偶数这一条件． 14．已知三角形的两边长分别是1和3，第三边的边长为整数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】7． 【分析】本题考查了构成三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 根据构成三角形的三边关系以及题意确定第三边的长度，然后求周长即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得：， 即：， ∵第三边的边长为整数， ∴， ∴这个三角形的周长为， 故答案为：7． 15．已知a，b，c是的三边，且满足，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 16．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 3、 解答题 17．如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 【答案】(1)5个 (2)的边：，角： (3)是的边，是的角 【分析】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义． （1）根据三角形的定义，观察图形可得； （2）根据三角形的边、角的定义，即可求解； （3）根据三角形的边、角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：图中有：，共5个； （2）解：的边：，角：； （3）解：是的边， 是的角． 18．已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)AB=8或10 (2)13 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为偶数即可得出结论； （2）根据AC+BC=15，△ABC的周长为偶数，可得AB为正整数，且AB为奇数，再根据AB＜AC+BC=15，即可得出AB的最大值． 【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：9﹣3＜AB＜9+3， ∴6＜AB＜12， 又∵△ABC的周长为偶数，而AC、BC为奇数， ∴AB为偶数，且AB为正整数，故AB=8或10； （2）解：∵AC+BC=15，△ABC的周长为偶数， ∴AB为正整数，且AB为奇数， ∵AB＜AC+BC=15 ∴AB的最大值为13． 19．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】（1）2c； （2）13． 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 【详解】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c； （2）解方程组， 解得， 根据三角形的三边关系得5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形； 当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形， ∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 20．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可； （2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 21．已知P是△ABC内任意一点． （1）如图1，求证：AB+AC＞PB+PC； （2）如图2，连接PA，比较AB+AC+BC与PA+PB+PC的大小关系． 【答案】（1）见详解；（2）PA+PB+PC（AB+BC+AC）． 【分析】（1）延长BP，交AC于D．在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边可得AB+AD＞BP+PD，同理在△PCD中，可得PD+DC＞PC，再根据不等式的性质得到AB+AD+PD+PC＞BP+PD+PC，进而即可证明AB+AC＞PB+PC； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论； 【详解】解：（1）证明：如图，延长BP，交AC于D． 在△ABD中，AB+AD＞BP+PD， 在△PCD中，PD+DC＞PC， 所以AB+AD+PD+DC＞BP+PD+PC， 即AB+AC＞PB+PC； （2）PA+PB+PC（AB+BC+AC）． 理由：如图2所示，在△ABP中，AP+BP＞AB． 同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC． 以上三式分别相加得到： 2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC， 即PA+PB+PC（AB+BC+AC）． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 1、 选择题 1．观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．5cm，6cm，10cm B．1cm，1cm，3cm C．2cm，3cm，5cm D．3cm，4cm，9cm 4．在中，若，则是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 8．若三角形两边长分别是3、5，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．3 C．10 D．11 9．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 10．有下列说法： ①等边三角形是等腰三角形； ②等腰三角形也可能是直角三角形； ③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题 11．如图所示，图中共有________个三角形，用符号表示为________________，其中以为边的三角形是________，以为一个内角的三角形是________． 12．已知中，，，．则是__________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 13．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c边长是偶数，则x的值应该是 　 　． 14．已知三角形的两边长分别是1和3，第三边的边长为整数，则这个三角形的周长为 ． 15．已知a，b，c是的三边，且满足，则是 三角形． 16．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 3、 解答题 17．如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 18．已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 19．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 20．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 21．已知P是△ABC内任意一点． （1）如图1，求证：AB+AC＞PB+PC； （2）如图2，连接PA，比较AB+AC+BC与PA+PB+PC的大小关系． 学科网（北京）股份有限公司 $