第13章三角形　同步练习题　2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档综合、提升探究三层设计，覆盖三角形三边关系、内角和等核心知识点，实现从概念理解到推理应用的递进，适配单元复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系、内角识别等单一知识点|单选题1（三边关系）、填空题8（三角形计数）等直接应用概念，培养抽象能力与几何直观| |中档|角平分线、高与外角性质的综合应用|填空题11（高与角平分线角度计算）、解答题16（高和角平分线综合），发展推理能力与空间观念| |提升|探究性问题与跨知识点整合|解答题20（角平分线探究）、填空题12（含参数角度表示），强化模型意识与创新意识|

2026-2027学年人教版八年级数学上册《第13章三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，6 C．5，4，10 D．6，2，3 2．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．将一把直尺和一块含角的直角三角尺（，）按如图所示的方式放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．一副直角三角板如图放置，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③ 二、填空题 8．如图，共有_______个三角形． 9．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 10．若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 11．已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 12．如图，平分，的延长线平分，，设，用含的式子表示∠C为_____． 13．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，，若，则__________°． 14．如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则______°，______°． 三、解答题 15．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 16．如图，在中，，，是的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)求的度数． 17．如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 18．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 19．如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，且，求的度数． 20．探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则的度数为__________； (2)如图2，，，分别是，三等分线中的一条，，，求的度数； (3)小明利用图3进行了深入探究： ①若是两个外角与的平分线和的交点，则与的数量关系为__________； ②若是两个外角与其中一条等分线和的交点，，，，则的度数为_____________（用含，的代数式表示）． 参考答案 1．B 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； B．∵，∴能构成三角形，符合题意； C．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D．∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 2．C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 3．A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质得出，最后利用角的和差关系即可求出答案． 【详解】解：， ， 直尺的两边互相平行， ， ， ． 4．C 【分析】根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”即可求解． 【详解】解：由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得： 5．B 【分析】利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 三角尺的两条直角边，分别经过点，， ， 在中，， ． 6．C 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角板的性质求出，由平行线的性质得到，利用三角形外角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图，与交于点， 由题可得， ， ， ． 7．B 【分析】由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ，故②正确； 根据题意无法确定与的大小关系，故③错误； ∵， ∴ ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①②④． 8．8/八 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形从而数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：，共8个． 故答案为：8． 9．15或18 【分析】分两种情况讨论腰长的取值，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论∶ 情况一∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 情况二∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 10． 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴，， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，即． 11． 【分析】由为高，，，利用外角性质求出，根据是角平分线，求出，即可求出的度数. 【详解】解：∵为高，， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴. 12． 【分析】连接、延长至H，设，．利用得同旁内角互补，结合内角和，推导出；再在中用内角和定理，联立消去，最终求得． 【详解】解：连接，延长至H，如图， ∵平分，平分， ∴设，， ∵， ∴， ∵； ， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 在中，， 又∵；， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】解题核心是构造辅助线连接并延长，通过设元法表示角平分线分出的角，利用平行线性质和三角形内角和建立方程，通过联立消元消去未知角，直接得到与的数量关系． 13． 【分析】由三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：设与相交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 14． 【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解． 15．(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 16．(1) (2) 【分析】（1）由高的定义得到，然后利用三角形内角和定理求解； （2）首先求出，然后由角平分线求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：∵是的高 ∴，即 ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∵，即 ∴． 17．(1)见解析 (2)4.5 (3)4 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，三角形周长差的转化，三角形面积的计算，掌握中线将三角形分成面积相等的两部分，周长差可通过消去相等线段转化为边长差是解题的关键． （1）根据三角形高的定义，从点向边作垂线得到，根据中线定义找到的中点，连接得到中线； （2）利用中线的性质，，结合周长差的表达式，消去公共边和相等线段，得到与的差； （3）先计算的面积，再利用中线将三角形分成面积相等的两部分，得到的面积． 【详解】（1）解：如图所示，线段、线段即为所求． （2）解：∵是的中线， ∴． ∵的周长比的周长长， ∴， ． （3）解：∵，是的中线， ∴． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由已知的和邻补角利用同角的补角相等得到，从而判定；再结合的条件，分别运用两直线平行的性质，得到和，通过等量代换推出；最后利用平分得到，代换即可得； （2）代入第一问结论求，由且得，可得，最后在中用内角和定理即可算出． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件，由平行线判定定理：同位角相等，两直线平行，得到，再由平行线的性质：两直线平行，内错角相等，得到； （2）根据同位角相等，两直线平行，得到；由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，结合已知条件，得到，利用同位角相等，得到结论； （3）由（2）的结论，根据两直线平行，同位角相等，得到；由三角形外角的性质得到：，结合已知条件转换：，得到，最后得出结果． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． （2）解：，理由如下： ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （同位角相等，两直线平行）． （3）解：， ， ，， ， ． 20．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，求出，最后利用三角形内角和定理即可求解； （2）同理（1）的方法即可求解； （3）①由角平分线的定义可得，，由平角的定义可得， 再结合三角形内角和定理计算即可得解；②同理①即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点O是内角、的平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，分别是，三等分线中的一条，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $