5.4.2二次函数与不等式同步练习2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 本同步练习通过基础理解、综合应用、拓展探究三层设计，梯度覆盖二次函数与不等式的图象分析、解集求解及综合应用，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一二次函数不等式解集|选择1-3、填空8-9直接应用图象读取解集，强化概念理解| |综合应用|二次函数与一次函数结合的不等式|选择4-7、填空10-11需转化不等式形式，结合函数性质推理，发展逻辑思维| |拓展探究|含参数及综合应用问题|解答12-15综合函数解析式求解与不等式解集应用，渗透模型意识，提升综合能力|

5.4.2二次函数与不等式 同步练习 北师大新版九上 一．选择题（共7小题） 1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（　　） A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞5 2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 3．一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4 4．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（　　） A．ax2+bx+c＞kx+h的解集是2＜x＜4 B．ax2+bx+c＞kx+h的解集是x＞4 C．ax2+bx+c＞kx+h的解集是x＜2 D．ax2+bx+c＝kx+h的解是x＝2或x＝4 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝1，抛物线交x轴交于点（m，0），（n，0），其中1＜m＜2．下列结论中错误的是（　　） A．0＜n＜1 B．若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝1有实数根，则b2﹣4ac≥﹣4a C．b+2c＞0 D．不等式的解集是0＜x＜m 7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4a上，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则不等式ax3﹣4ax＞0的解集是（　　） A．﹣2＜x＜2 B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．x＜﹣2或x＞2 二．填空题（共4小题） 8．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 　 　 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（2，p），B（﹣4，q）两点，则不等式ax2﹣mx﹣n+c≤0的解集是　 　 ． 10．如图，直线y1＝mx+n与抛物线相交于点A（3，0），B（﹣2，5）．下面四个结论： ①m＜0； ②当﹣2＜x＜3时，ax2+bx+c＜mx+n； ③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝3； ④当时，函数值y2随着x的增大而减少． 其中所有正确结论的序号是　 　 ． 11．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y2＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法： ①ab＞0； ②4a+c＞0； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1； ④不等式ax2+bx+c＞kx+c的解集是﹣3＜x＜0； ⑤当x＝1时，二次函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值． 其中正确的有　 　 （填写序号）． 三．解答题（共4小题） 12．如图，二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B． （1）求二次函数的解析式和另一交点B的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式x2+bx＜kx﹣c的解集． 13．数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　 　 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线　 　 ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为　 　 ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为　 　 ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是　 　 ． 15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，其中图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）． （1）求此二次函数的解析式； （2）图象过三点E（﹣2，y1），F（1，y2），G（4，y3），比较y1，y2，y3的大小；（用“＜”连接） （3）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集． 5.4.2二次函数与不等式 同步练习 北师大新版九上 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（　　） A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞5 【解答】解：由图象可得，二次函数的开口向下，对称轴为x＝2，与x轴的一个交点为（5，0） 由对称性可得，与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， 则不等式ax2+bx+c≥0的解集为﹣1≤x≤5， 故选：C． 2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 【解答】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c）， ∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n， ∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n）， ∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上， c＝n． 则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n， ∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 故选：C． 3．一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4 【解答】解：观察图象得，当x＜﹣1或x＞4时，二次函数的图象在一次函数y1＝mx+n（m≠0）图象的上方， 即当x＜﹣1或x＞4时，ax2+bx+c＞mx+n， ∴x＜﹣1或x＞4． 故选：D． 4．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0 【解答】解：A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，由图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确； B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax+c的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确； C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是直线x1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴为直线x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣21，所以，y1＞c，所以C错误； D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确． 故选：C． 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（　　） A．ax2+bx+c＞kx+h的解集是2＜x＜4 B．ax2+bx+c＞kx+h的解集是x＞4 C．ax2+bx+c＞kx+h的解集是x＜2 D．ax2+bx+c＝kx+h的解是x＝2或x＝4 【解答】解：当ax2+bx+c＝kx+h，即求抛物线与直线联立方程的解， 由函数图象得：方程的解为x＝2或x＝4，故D符合题意； 当ax2+bx+c＞kx+h，即求抛物线在直线上方部分的x的取值范围， 由函数图象可得：x＜2或x＞4，故A、B、C不符合题意； 故选：D． 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝1，抛物线交x轴交于点（m，0），（n，0），其中1＜m＜2．下列结论中错误的是（　　） A．0＜n＜1 B．若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝1有实数根，则b2﹣4ac≥﹣4a C．b+2c＞0 D．不等式的解集是0＜x＜m 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝1，抛物线交x轴交于点（m，0），（n，0），其中1＜m＜2， ∴0＜n＜1， 故A正确； ∵关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝1有实数根， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与直线y＝1有交点， ∵抛物线开口向下， ∴1， ∴b2﹣4ac≥﹣4a， 故B正确； ∵对称轴为直线x＝1， ∴1，即a， 由题意可知x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， ∴，即b+2c＞0， 故C正确； ∵抛物线开口向下，0＜n＜1， ∴c＜0， ∴直线yx+c随x的增大而增大， ∴抛物线与直线yx+c的一个交点为（0，c），另一个交点在x轴的下方， ∴不等式的解集是x＜0或x＞m， 故D错误， 故选：D． 7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4a上，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则不等式ax3﹣4ax＞0的解集是（　　） A．﹣2＜x＜2 B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．x＜﹣2或x＞2 【解答】解：已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4a上，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2， ∵抛物线y＝ax2﹣4a， ∴对称轴为直线x＝0， ∵当0＜x1＜x2时，y1＞y2， ∴当x＞0时，y随x增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴ax3﹣4ax＞0， ax（x2﹣4）＞0， x（x2﹣4）＜0， ∴或． 解得x＜﹣2或0＜x＜2． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 8．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 　﹣1＜x＜3　 ． 【解答】解：∵直线y＝kx+b关于y轴对称的直线解析式为y＝﹣kx+b， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b的交点坐标为（3，m），（﹣1，n）， ∴当﹣1＜x＜3时，ax2+c＜﹣kx+b， ∴不等式ax2+kx+c＜b的解集是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（2，p），B（﹣4，q）两点，则不等式ax2﹣mx﹣n+c≤0的解集是x≤﹣4或x≥2　 ． 【解答】解：∵ax2﹣mx﹣n+c≤0， ∴ax2+c≤mx+n， 由题可知抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（2，p），B（﹣4，q）两点， ∴由图象可知：ax2+c≤mx+n的解集为：x≤﹣4或x≥2； 故答案为：x≤﹣4或x≥2． 10．如图，直线y1＝mx+n与抛物线相交于点A（3，0），B（﹣2，5）．下面四个结论： ①m＜0； ②当﹣2＜x＜3时，ax2+bx+c＜mx+n； ③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝3； ④当时，函数值y2随着x的增大而减少． 其中所有正确结论的序号是　①②④　 ． 【解答】解：直线y1＝mx+n经过第一、二、四象限， ∴m＜0， 故①正确； 由图象得：直线y1＝mx+n与抛物线相交于点A（3，0），B（﹣2，5），且当﹣2＜x＜3时，y1＞y2； 故②正确； ∵x＝﹣2时，y＝5， ∴x＝﹣2不是方程ax2+bx+c＝0的解， 故③错误； 由题意可知抛物线的对称轴在直线x的右侧， ∴当时，函数值y2随着x的增大而减少． 故④正确． 故答案为：①②④． 11．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y2＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法： ①ab＞0； ②4a+c＞0； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1； ④不等式ax2+bx+c＞kx+c的解集是﹣3＜x＜0； ⑤当x＝1时，二次函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值． 其中正确的有　①③④　 （填写序号）． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＜0， ∴ab＞0，故①正确； ∵抛物线经过点 （﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0， ∴c＝3b﹣9a＝6a﹣9a＝﹣3a， ∴4a+c＝4a﹣3a＝a＜0，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， ∴x1＝﹣3，x2＝1，故③正确； 由图象可知，当﹣3＜x＜0时，抛物线位于直线的上方， ∴ax2+bx+c＞kx+c， ∴当ax2+bx+c＞kx+c时，﹣3＜x＜0，故④正确； ∵直线y2＝kx+c经过点（﹣3，0）， ∴﹣3k+c＝0， ∴， ∴， ∵a＜0， ∴当时，y有最大值，故⑤错误． 故答案为：①③④． 三．解答题（共4小题） 12．如图，二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B． （1）求二次函数的解析式和另一交点B的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式x2+bx＜kx﹣c的解集． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B． 将点（0，2），点A（1，1）代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点A（1，1）代入y2＝kx得：k＝1， ∴正比例函数的解析式为y2＝x， 令x2﹣2x+2＝x， 解得：x＝1或x＝2， 当x＝1时，y2＝1；当x＝2时，y2＝2； ∵（1，1）为点A的坐标， ∴B的坐标为（2，2）． （2）由（1）可得：x2﹣2x＜x﹣2， ∴x2﹣2x+2＜x，即y1＜y2， ∵y1＜y2，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴1＜x＜2． 13．数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　﹣1≤x≤3　 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）解不等式﹣x2+2x+3≥0，我们构造函数y＝﹣x2+2x+3， 作出它的图象如图所示，可知它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0）和（3，0）， 结合图象可知不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为﹣1≤x≤3； 故答案为：﹣1≤x≤3； （2）∵对于任意实数b，关于x的方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根， ∴方程ax2+bx+b﹣1＝0恒有两个不等实数根对任意的b恒成立． ∴b2﹣4a（b﹣1）＞0对任意的实数b恒成立． 令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，则有（﹣4a）2﹣4×4a＜0，即a2﹣a＜0． 令y＝a2﹣a作出其函数图象如图所示， 对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，当a2﹣a＜0时，实数a的取值范围为0＜a＜1． 14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线x＝1　 ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为x＝0或x＝2　 ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为　2＜x＜4　 ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是　﹣9＜k≤﹣5　 ． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0）， ∴根据对称性可得，对称轴是直线x1． 故答案为：x＝1； （2）由题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值， 又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8）， ∴根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8）， ∴方程ax2+bx+c＝8的解是x＝0或x＝2． 故答案为：x＝0或x＝2； （3）由题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2）， 又∵抛物线过B（2，8）， ∴a×（﹣2）×4＝8． ∴a＝﹣1． ∴y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∵直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0）， ∴该直线为y＝﹣4x+16． 同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象如下： 又∵不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集是y＝ax2+bx+c（a≠0）图象在直线y＝mx+n的图象上方对应的自变量的取值范围， ∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞mx+n的解是2＜x＜4． 故答案为：2＜x＜4； （4）由题意，∵关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根， ∴直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点， ∴结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5． 故答案为：﹣9＜k≤﹣5． 15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，其中图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）． （1）求此二次函数的解析式； （2）图象过三点E（﹣2，y1），F（1，y2），G（4，y3），比较y1，y2，y3的大小；（用“＜”连接） （3）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集． 【解答】解：（1）根据题意，得， 解得， ∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5； （2）∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴G（4，y3）关于直线x＝2的对称点坐标为G′（0，y3）， ∵a＝1＞0， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小， ∵图象过三点E（﹣2，y1），F（1，y2），G′（0，y3），且﹣2＜0＜1， ∴y2＜y3＜y1； （3）令y＝0，得x2﹣4x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点（﹣1，0）和（5，0）， 由函数图象可知，当抛物线在x轴上方时，x＜﹣1或x＞5， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为：x＜﹣1或x＞5． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/5 14:43:40；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $